第三章复变积分 说明 ★本章计划讲授学时:4
✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 4
章计划讲 授 时: 章复变积分 83.1复变积分 复变积分是复数平面上的线积分.设C是复平面上的曲线,函数f(2)在C上有定义.把曲线 C任意分割为n段,分点为 20=A,21,22,……,zn=B k是2k-1→ak段上的任意一点,作和数 k=1 若当n→∞,使得max|4zk|→0时,此和数的极限存在,且与k的选取 无关,则称此极限值为函数f(2)沿曲线C的积分,记为 f(a)dz f(xk)△ 个复变积分实际上是两个实变线积分的有序组合 f(z)dz=/(u+iu)(dz +idy) (u dr -vdy)+i/(udr +u dy) 因此,如果C是分段光滑曲线,f(2)是C上的连续函数,则复变积分一定存在 复变积分的基本性质 1.如果积分/f1(z)d fn(z)dz都存在,则 f(x)+f(2)+…+fn(2)dz=/f(x)dz+/f2(2)dz+…+/fn()dz; f(2)d+/f()dz+…+/.f()d f(a)d .rd=- f(z)dz,其中C-表示C的逆向 4./af(a)dz=a/f(2)dz,其中a为常数 61/m)dsMn,其中M为(在C上的上界,1为C的长度 显然,复变积分的数值依赖于
✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 1 ✟ ✠✡☛ ☞ ✌ ✍ ✎ §3.1 ✏ ✑ ✒ ✓ ✔✕✖✗✘✔✙✚✛✜✢✣✖✗✤✥ C ✘✔✚✛✜✢ ✦✣✧★✙ f(z) ✩ C ✜✪✫✬✤✭ ✦✣ C ✮✯✗✰✱ n ✲ ✧✗✳✱ z0 = A, z1, z2, · · · , zn = B, ζk ✘ zk−1→zk ✲ ✜✢✮✯✴✳✧✵✶✙ Xn k=1 f(ζk) (zk − zk−1) = Xn k=1 f(ζk)∆zk, ✷✸ n→∞ ✧✹✺ max |∆zk| → 0 ✻ ✧✼✶✙✢✽✾✿✩ ✧❀❁ ζk ✢❂❃ ❄❅✧❆❇✼✽✾❈✱★✙ f(z) ❉ ✦✣ C ✢✖✗✧❊✱ Z C f(z) dz = lim max |∆zk|→0 Xn k=1 f(ζk)∆zk. ❋ 3.1 ✴●✔✕✖✗❍■✜✘❏● ❍✕✣✖✗✢✪❑▲▼ Z C f(z) dz = Z C (u + iv) (dx + i dy) = Z C (u dx − v dy) + i Z C (v dx + u dy). ◆✼✧❖P C ✘✗✲◗❘ ✦✣✧ f(z) ✘ C ✜✢❙❚★✙✧❆✔✕✖✗✴ ✫✿✩ ✤ ✔✕✖✗✢❯❱❲❳❨ 1. ❖P✖✗ Z C f1(z)dz, Z C f2(z)dz, · · · , Z C fn(z)dz ❩ ✿ ✩ ✧❆ Z C h f1(z) + f2(z) + · · · + fn(z) i dz = Z C f1(z) dz + Z C f2(z) dz + · · · + Z C fn(z) dz; 2. ✷ C = C1 + C2 + · · · + Cn ✧❆ Z C1 f(z) dz + Z C2 f(z) dz + · · · + Z Cn f(z) dz = Z C f(z) dz; 3. Z C− f(z) dz = − Z C f(z) dz ✧❬ ❭ C − ❪❫ C ✢❴ ❵❛ 4. Z C af(z) dz = a Z C f(z) dz ✧❬ ❭ a ✱❜✙❛ 5. Z C f(z) dz ≤ Z C |f(z)| | dz| ❛ 6. Z C f(z) dz ≤ Ml ✧❬ ❭ M ✱ f(z) ✩ C ✜✢✜❝✧ l ✱ C ✢❞❡✤ ❢❣✧✔✕✖✗✢✙❈❤✐❥
被积函数, 端点位置,即积分的“上下限” 积分路径 对于给定的一个被积函数,当端点固定时,对于不同的积分路径,积分值一般是不同的 例31求/ Read,C为(i)沿实轴由0→1,再平行于虚轴1→1+i;(i)沿虚轴由 0→i,再平行于实轴i→1+i;(i)沿直线0→1+i 解对于(i) Rez d 对于(i) Rez dz rdx=- 对于(ii) Re zdz=/(1+i)tdt=5(1+i)
§3.1 ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 2 ✟ • ❦ ✖★✙✧ • ❧ ✳♠♥✧♦✖✗✢ ♣✜q✾r✧ • ✖✗st✤ ✉❥✈✫✢✴●❦✖★✙✧✸❧ ✳ ✇✫✻ ✧✉❥①②✢✖✗st✧✖✗❈✴③✘①②✢✤ ④ 3.1 ⑤ Z C Re z dz ✧ C ✱ (i) ❉ ❍⑥ ⑦ 0 → 1 ✧⑧✚⑨❥⑩⑥ 1 → 1 + i ❛ (ii) ❉ ⑩⑥ ⑦ 0 → i ✧⑧✚⑨❥❍⑥ i → 1 + i ❛ (iii) ❉❶✣ 0 → 1 + i ✤ ❷ ✉❥ (i) ✧ Z C Re z dz = Z 1 0 x dx + Z 1 0 i dy = 1 2 + i; ✉❥ (ii) ✧ Z C Re z dz = Z 1 0 x dx = 1 2 ; ✉❥ (iii) ✧ Z C Re z dz = Z 1 0 (1 + i)t dt = 1 2 (1 + i)
3页 2单连通区域的 Cauchy定理 Cauchy定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系.与涉及的区域有关 区别两种区域 ·单连通区域:在区城中作任何简单闭合围道,围道内的点都属于该区域; 复连通区域,或称多连通区域 图3.2单连通区域与复连通区域 单连通区域的 Cauchy定理如果函数f(2)在单连通区域G中解析,则沿G中任何一个分 段光滑的闭合围道C(见图3.3)有 f(2)dz=0 这里的C也可以是G的边界 图33单连通区域的 Cauchy定理 证为简单起见,下面在更强的条件下证明这个定理.附加的条件是f(z)在石中连续 在此条件下可以应用 Green公式 pv+Q(时=( eQ aP dr dy 于 f fe)d:=f ludr-vdy]+igloo dr+ ud ①只要f(2)在G中解析,即f(2)存在,则f"(2)也存在,z∈G,因而f(2)连续,即四个偏导数aa/x,Ou/Oy,au/0x 和a/oy连续 见后面3.5节
✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 3 ✟ §3.2 ❸❹❺❻❼❽ Cauchy ❾❿ Cauchy ✫➀➁➂✢✘✖✗❈❁✖✗st➃➄✢❅➅✤❁➆➇✢➈➉✪❅✤ ➈➊❏➋➈➉❨ • ➌➍➎➏➐ ❨➑ ➒➓ ➔→➣↔ ↕➙ ➛➜ ➝➞✧➝➞ ➟➠➡➢➤➥➦ ➒➓❛ • ➧➍➎➏➐ ✧➨➩ ➫➭➯ ➒➓✤ ❋ 3.2 ➲➳➵➸➺➻➼➳➵➸➺ ➌➍➎➏➐➽ Cauchy ➾➚ ❖P★✙ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ❭➹➘✧❆ ❉ G ❭ ✮➴✴●✗ ✲◗❘✢➷▼ ➬➮ C(➱✃ 3.3) ✪ I C f(z) dz = 0, ❐❒✢ C ❮❰Ï✘ G ✢Ð❝✤ ❋ 3.3 ➲➳➵➸➺Ñ Cauchy ÒÓ Ô ✱Õ➪Ö➱✧q✛✩×Ø✢ÙÚqÛ Ü❐● ✫➀✤ÝÞ✢ÙÚ✘ f 0 (z) ✩ G ❭❙❚ ß ✤ ✩ ✼ÙÚq❰Ïàá Green âã I C P(x, y) dx + Q(x, y) dy = Z Z S ∂Q ∂x − ∂P ∂y dx dy ❥ I C f(z) dz = I C u dx − v dy + i I C v dx + u dy , ß äå f(z) æ G çèéêë f 0 (z) ìæêí f 00(z) îìæê z ∈ G ê ïð f 0 (z) ➳ñêëòóôõö ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x ÷ ∂v/∂y ➳ñø ùúû 3.5 ü
32单连通区域的 Cauchy定理 而将上面的闭合围道积分化为面积分 dr dy udr+u drd 根据 cauchy- Riemann方程,右端两个积分中的被积函数均为0,故有 f(2)dz=0.口 由于 Green公式的要求,这里所说的单连通区域,只能是一个有界区域,即不能是包含∞点 在内的(无界)区域.即使∫(z)在∞点解析,它绕∞点一周的积分也可以并不为0 Cauchy定理从一个侧面反映了解析函数的一个基本特性:解析函数在它的解析区域内,各 的函数值是密切相关的 · Cauchy- Riemann方程是这种关联的微分形式 · Cauchy定理则是它的积分形式 由 Cauchy定理立即可以得到下面的推论 推论若f(2)在单连通区域石中解析,则复变积分/f(2)d与路径无关 解析函数的)不定积分既然在单连通区域中解析函数的积分与路径无关,因此,如果固定 起点20,而令终点z为变点,则作为积分上限的函数, f(zdz= F(a 是单连通区域G内的单值函数,称为f(x2)的不定积分 定理31如果函数f(x)在单连通区域G内解析,则 F(2)=/f(x) 也在G内解析,并且 F()=af()d2=f(3 证只要直接求出F(2)的导数即可 图35
§3.2 ýþÿ✁✂ Cauchy ✄☎ ✞ 4 ✟ ✆✝✜✛✢➷▼ ➬➮✖✗✞✱✛✖✗ I C u dx − v dy = − ZZ S ∂v ∂x + ∂u ∂y dx dy, I C v dx + u dy = ZZ S ∂u ∂x − ∂v ∂y dx dy. ✟✠ Cauchy-Riemann ✡☛✧☞ ❧ ❏ ● ✖✗ ❭✢❦ ✖★✙✌✱ 0 ✧✍✪ I C f(z) dz = 0. ⑦❥ Green âã✢✎ ⑤ ✧❐❒✏✑✢ ➪ ❙➶➈➉✧✒✓✘ ✴●✪❝➈➉✧♦①✓✘✔✕ ∞ ✳ ✩ ✖ ✢ (❄❝ ) ➈➉✤ ✗✘ f(z) ➑ ∞ ➡✙✚✧✛✜ ∞ ➡✢✣➠✤✥✦✧ ★✩✪✫ 0 ✤ Cauchy ✫➀✬ ✴●✭ ✛✮✯✰➹➘★✙✢✴●❯❱✱❲❨ ✙✚✲✳➑✛➠✙✚ ➒➓ ➟✧✴ ➡➠✲✳✵✶ ✷✸✹ ✺➠✤ • Cauchy-Riemann ✡☛✘❐➋❅✻✢✼✗✽ ã ✧ • Cauchy ✫➀❆✘✾✢✖✗✽ ã ✤ ⑦ Cauchy ✫➀✿♦ ❰Ï✺❀q✛✢❁➂❨ ❂❃ ✷ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ❭➹➘✧❆✔✕✖✗ Z C f(z) dz ❁st❄❅✤ (❷❄❅❆➽) ❇➾❈❉ ❊ ❣ ✩➪❙➶➈➉ ❭➹➘★✙✢✖✗❁st❄❅✧◆✼✧❖P ✇✫ Ö ✳ z0 ✧✆❋●✳ z ✱✕✳✧❆✵✱✖✗✜✾✢★✙✧ Z z z0 f(z) dz = F(z) ✘ ➪ ❙➶➈➉ G ✖ ✢ ➪ ❈★✙✧❇✱ f(z) ✢①✫✖✗✤ ➾➚ 3.1 ❖P★✙ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ✖ ➹➘✧❆ F(z) = Z z z0 f(z) dz ❮✩ G ✖ ➹➘✧❍❀ F 0 (z) = d dz Z z z0 f(z) dz = f(z). Ô ✒✎ ❶■⑤❏ F(z) ✢❑✙♦❰ ✤ ❋ 3.5
第三章复变积分 第5页 为此,设z是G内一点,z+△z是它的邻点,如图35,则 F(2)=/f()d,F(z+4z)= f(odc 因为积分与路径无关,所以 △FF(z+△2)-F(2) 由此可得 △F f(sds-f(z) z+△z [f()-f(2】d 2+△2 f()-f(x)}·|d 由于f(z)是连续的,故对于任给的ε>0,存在δ>0,使当K-2<6时,|f()-f(2)<ε,所以 f(2)≤ 14z E·|△z|=E, 即得 △F=f(2) △z-0△z 这就证明了F(2)在G内可导,并且F(2)=f(2).口 原函数如果函数(2)的导数(2)=f(2),则更(z)称为f(z)的原函数.上面定义的f(2) 的不定积分就是f(z)的一个原函数.对于给定的一个函数f(z)来说,原函数不是唯一的.任意两 个原函数之间只相差一个常数.这是因为,如果西1(2)与重2(2)都是f(x2)的原函数,则 1(2)=f(2),2(2)=f(2 所以,國1(2)-2(2)]=0, 更1(2)-重2(2)=C 知道了被积函数的原函数,可使复变积分的计算大为简化.设更(2)为f(2)的一个原函数,则 f(2)的不定积分 F(a f(a)dz=(z)+C 但是,显然有 所以 / ∫(2)dz=(z)-(x0)
▲▼◆ ❖ P ◗ ❘ ❙ 5 ❚ ✱✼✧✥ z ✘ G ✖✴ ✳✧ z + ∆z ✘✾✢❯✳✧❖✃ 3.5 ✧❆ F(z) = Z z z0 f(ζ) dζ, F(z + ∆z) = Z z+∆z z0 f(ζ) dζ. ◆✱✖✗❁st❄❅✧✏ Ï ∆F ∆z = F(z + ∆z) − F(z) ∆z = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ. ⑦✼❰ ✺ ∆F ∆z − f(z) = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ − f(z) = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) − f(z) dζ ≤ 1 |∆z| Z z+∆z z f(ζ) − f(z) · dζ . ⑦❥ f(z) ✘❙❚✢✧✍✉❥✮ ✈✢ ε > 0 ✧✿ ✩ δ > 0 ✧✹✸ |ζ − z| < δ ✻ ✧ |f(ζ)− f(z)| < ε ✧✏ Ï ∆F ∆z − f(z) ≤ 1 |∆z| · ε · |∆z| = ε, ♦✺ F 0 (z) = lim ∆z→0 ∆F ∆z = f(z). ❐❱Û Ü✰ F(z) ✩ G ✖❰ ❑✧❍❀ F 0 (z) = f(z) ✤ ❲❅❆ ❖P★✙ Φ(z) ✢❑✙ Φ 0 (z) = f(z) ✧❆ Φ(z) ❇✱ f(z) ✢❳★✙✤✜✛✫✬✢ f(z) ✢①✫✖✗❱✘ f(z) ✢ ✴●❳★✙✤✉❥✈✫✢✴●★✙ f(z) ❨ ✑✧❳★✙①✘❩ ✴ ✢✤✮✯❏ ● ❳★✙➃➄✒❬❭✴●❜✙✤❐✘◆✱✧❖P Φ1(z) ❁ Φ2(z) ❩ ✘ f(z) ✢❳★✙✧❆ Φ 0 1 (z) = f(z), Φ0 2 (z) = f(z). ✏ Ï ✧ Φ1(z) − Φ2(z) 0 = 0 ✧ Φ1(z) − Φ2(z) = C. ❪➮✰ ❦ ✖★✙✢❳★✙✧❰ ✹✔✕✖✗✢❫❴❵✱Õ✞✤✥ Φ(z) ✱ f(z) ✢ ✴●❳★✙✧❆ f(z) ✢①✫✖✗ F(z) = Z z z0 f(z) dz = Φ(z) + C. ❛✘✧❢❣✪ F(z0) = Φ(z0) + C = 0, C = −Φ(z0). ✏ Ï Z z z0 f(z) dz = Φ(z) − Φ(z0).
32单连通区域的 Cauchy定理 第6页 例32计算积分/zdz,n为整数 解当n为自然数时,z在全平面解析, zn+1是它的一个原函数.因此,对于z平面 上的任意一条积分路线,均有 当n=-2,-3,-4,……时,zn在不包含z=0点在内的任意一个单连通区域内解析,其原函数 仍可取为2n+1.因此,仍有 1n+1 但由于下一节例3的原因,此结果对于不包含z=0点在内的任意区域均成立 当n=-1时,2-1也是在不包含z=0在内的任一区域内解析,但其原函数应为lnz.因此, 在不包含z=0的任一单连通区域内, 需要特别注意,在一个单连通区域内,上面的积分当然与路径无关.但是对于不同的单连通 区域,同样的起点与终点也还会給出不同的积分值·从计算的过程看,这里的原函数是多值函数 因此积分值与由a变化到b的方式有关.当限制在不含z=0的一个单连通区域内时,就是把lnz 限制在某一个单值分枝内,故积分值lnb-lna是唯一确定的.而对于不同的单连通区域,就可能 对应于hz的不同单值分枝,因而积分值也就可能不同
§3.2 ýþÿ✁✂ Cauchy ✄☎ ✞ 6 ✟ ④ 3.2 ❫❴✖✗ Z b a z ndz ✧ n ✱❜✙✤ ❷ ✸ n ✱ ❝❣✙ ✻ ✧ z n ✩❞ ✚✛➹➘✧ 1 n + 1 z n+1 ✘✾✢ ✴●❳★✙✤◆✼✧✉❥ z ✚✛ ✜✢✮✯✴Ù✖✗s✣✧✌✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ✸ n = −2, −3, −4, · · · ✻ ✧ z n ✩ ①✔✕ z = 0 ✳ ✩ ✖ ✢ ✮✯✴●➪❙➶➈➉ ✖ ➹➘✧❬❳★✙ ❡ ❰ ❃✱ 1 n + 1 z n+1 ✤◆✼✧❡✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ❛ ⑦❥q✴❢❣ 3 ✢❳◆✧✼❤P✉❥①✔✕ z = 0 ✳ ✩ ✖ ✢ ✮✯➈➉✌✐✿✤ ✸ n = −1 ✻ ✧ z −1 ❮ ✘ ✩ ①✔✕ z = 0 ✩ ✖ ✢ ✮✴➈➉ ✖ ➹➘✧❛❬❳★✙ à ✱ ln z ✤◆✼✧ ✩ ①✔✕ z = 0 ✢ ✮✴➪❙➶➈➉ ✖ ✧ Z b a dz z = ln b − ln a. ❥✎✱➊❦ ✯ ✧ ✩✴●➪❙➶➈➉ ✖ ✧✜✛✢✖✗✸❣❁st❄❅✤❛✘ ❧➥✪ ♠➠➙➭➯ ➒➓✧♠♥➠♦➡♣q➡✦rst ✉✪ ♠➠✤✥✵ ✤✬❫❴✢✈ ☛✇✧❐❒✢❳★✙✘①❈★✙✧ ◆✼✖✗❈❁ ⑦ a ✕✞❀ b ✢ ✡ã ✪❅✤✸✾② ✩ ①✕ z = 0 ✢ ✴●➪❙➶➈➉ ✖✻ ✧❱✘✭ ln z ✾② ✩③✴●➪❈✗④ ✖ ✧✍✖✗❈ ln b − ln a ✘❩ ✴⑤ ✫✢✤✆✉❥①②✢➪ ❙➶➈➉✧❱ ❰ ✓ ✉ à ❥ ln z ✢①②➪ ❈✗④✧◆✆✖✗❈❮ ❱ ❰ ✓①②✤
§3.3复连通区域的 Cauchy定理 复连通区域的 Cauchy定理如果f(2)是复连通区域G中的单值解析函数,则 f(a)d f(a)d 其中C0,C1,C2,…,Cn是构成复连通区域G的边界的由个分段光滑闭合曲线,C1,C2,……,Cn都复 变在Co的。部,而且所有的积分路径走向其同 Q 图36复连通区域的 Cauchy定理 证如图3.6,不妨取C,C1,C2,…,Cn均为逆时针方向.作解当的割线把C1,C2,…,Cn和 Co连结起来,义而得且一个单连通区域G,f(z)在单连通区域G是解析的,因而可以应用单 连通区域的 Cauchy定理 f(z)dz+/f(a)dz+ f f(z)dz+f(a) +/f(z)dz+ f(2)dz+f(a)dz+ +/f(2)dz+∮f(2)dz+/f(2)dz=0 由于f(2)在可a单值,故沿同一割线两岸的积分值互其抵消 所以 f(a)dz+ f(adz=0 (31) f(a) f(2)d2=∑pf(a)d (32) 例33计算∮zdz值,n为常数,C的走向为逆时针方向
✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 7 ✟ §3.3 ✏❹❺❻❼❽ Cauchy ❾❿ ➧➍➎➏➐➽ Cauchy ➾➚ ❖P f(z) ✘✔❙➶➈➉ G ❭✢➪ ❈➹➘★✙✧❆ I C0 f(z) dz = Xn i=1 I Ci f(z) dz, ❬ ❭ C0, C1, C2, · · · , Cn ✘⑥✐✔❙➶➈➉ G ✢Ð❝✢⑦ ● ✗ ✲◗❘➷▼ ✦✣✧ C1, C2, · · · , Cn ❩ ✔ ✕ ✩ C0 ✢ ✖⑧✧✆❀✏✪✢✖✗st⑨ ❵❬②✤ ❋ 3.6 ➼➳➵➸➺Ñ Cauchy ÒÓ Ô ❖ ✃ 3.6 ✧①⑩❃ C0, C1, C2, · · · , Cn ✌✱❴✻❶✡ ❵✤✵❷✸✢✰✣✭ C1, C2, · · · , Cn ✶ C0 ❙❤ Ö❨ ✧✬✆✺❀ ✴●➪❙➶➈➉ G0 ✧ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G0 ✖ ✘➹➘✢✧◆✆ ❰Ïàá➪ ❙➶➈➉✢ Cauchy ✫➀✧ I C0 f(z) dz + Z b1 a1 f(z) dz + I C − 1 f(z) dz + Z a1 b1 f(z) dz + Z b2 a2 f(z) dz + I C − 2 f(z) dz + Z a2 b2 f(z) dz + · · · + Z bn an f(z) dz + I C − n f(z) dz + Z an bn f(z) dz = 0. ⑦❥ f(z) ✩ G0 ✖➪ ❈✧✍ ❉ ② ✴ ✰✣❏❸✢✖✗❈❹❬❺❻✧ Z bi ai f(z) dz + Z ai bi f(z) dz = 0. ✏ Ï I C0 f(z) dz + Xn i=1 I C − i f(z) dz = 0, (3.1) I C0 f(z) dz = − Xn i=1 I C − i f(z) dz = Xn i=1 I Ci f(z) dz. (3.2) ④ 3.3 ❫❴ I C z ndz ❈✧ n ✱❜✙✧ C ✢⑨ ❵✱❴✻❶✡ ❵✤
3复连通 解当n为自然数时,显然,按照单连通区域的 cauchy定理 endz=0 当n为负常数时,如果Cc不变z=0,则也有 endz=o 如果C变有2=0,则按复连通区域的 Cauchy定理,有 =a={n 总结上面的结果,就有 2πi,n=-1,且C变有z=0; 其他情形 或之,更一般 2ri,n=-1,且C变有 (2-a)"dz= 其他情形
§3.3 ✄ þÿ✁✂ Cauchy ✄☎ ✞ 8 ✟ ❷ ✸ n ✱ ❝❣✙ ✻ ✧❢❣✧❼❽➪ ❙➶➈➉✢ Cauchy ✫➀ I C z n dz = 0. ✸ n ✱❾❜✙ ✻ ✧❖P C ✖ ①✕ z = 0 ✧❆❮ ✪ I C z ndz = 0. ❖P C ✖ ✕✪ z = 0 ✧❆❼✔❙➶➈➉✢ Cauchy ✫➀✧✪ I C z ndz = I |z|=1 z ndz = Z 2π 0 e iθ n e iθ i dθ = Z 2π 0 e i(n+1)θ i dθ = 2π i, n = −1; 0, n = −2, −3, −4, · · ·. ❿❤✜✛✢❤P✧❱✪ I C z n dz = 2π i, n = −1, ❀ C ✖ ✕✪ z = 0; 0, ❬➀➁✽. ➂➃✧ ×✴③➄ ✧ I C (z − a) ndz = 2π i, n = −1, ❀ C ✖ ✕✪ z = a; 0, ❬➀➁✽
9页 3.4两个有的理 别理31如果函数f(x)在z=a点的邻域连续,并且当61≤arg(2-a)≤的2,|z-a→0 时,(z-a)∫(z)一致。趋近于k,则 1..f()d=i(2-), 其中C6是以z=a为圆心,6为半径,夹区为62-1的圆域,|z-a|=6,61≤arg(z-a)≤的2 见图37 证因为 62-61) 所以 f(z)dz-ik(62-61 f(a) 2-a 由于当61≤arg(x-a)≤b2,2-a→0时,(2-a)f(2)一致。趋近于k,这意味着ve>0,3(与 arg(z-a)无关的)r()>0,使当1(2-a)=6<r时,(2-af()-k<ε.所以 f(2)dz-ik(O2-61)≤(e2-61 即 Bf(a)d=i认(2-6)口 别理3.2设f()在∞点的邻域积连续,当的≤ag2≤B2,2→∞时,2f(2)一致间趋 近于K,则 f(z)dz=i(62-61) 其中CR是以原点为圆心,R为半径、夹区为62-61的圆域,|2=R,1≤argz≤的2(见图38)
✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 9 ✟ §3.4 ➅➆➇➈❽➉❿ ➊ ➚ 3.1 ❖P★✙ f(z) ✩ z = a ✳✢❯➉ ✖ ❙❚✧❍❀✸ θ1 ≤ arg(z − a)≤ θ2, |z − a| → 0 ✻ ✧ (z − a)f(z) ✴➋➄➌➍❥ k ✧❆ lim δ→0 Z Cδ f(z)dz = ik(θ2 − θ1), ❬ ❭ Cδ ✘ Ï z = a ✱ ➎➏✧ δ ✱➐t✧➑➒✱ θ2 − θ1 ✢ ➎➓✧ |z − a| = δ, θ1 ≤ arg(z − a) ≤ θ2 ✧ ➱✃ 3.7 ✤ ❋ 3.7 Ô ◆✱ Z Cδ dz z − a = i(θ2 − θ1), ✏ Ï Z Cδ f(z)dz − ik(θ2 − θ1) = Z Cδ f(z) − k z − a dz ≤ Z Cδ |(z − a)f(z) − k| |dz| |z − a| . ⑦❥✸ θ1 ≤ arg(z − a) ≤ θ2 ✧ z − a → 0 ✻ ✧ (z − a)f(z) ✴➋➄➌➍❥ k ✧❐ ✯➔→ ∀ε > 0 ✧ ∃(❁ arg(z − a) ❄❅✢ ) r(ε) > 0 ✧✹✸ |(z − a)| = δ < r ✻ ✧ |(z − a)f(z) − k| < ε ✤✏ Ï Z Cδ f(z)dz − ik(θ2 − θ1) ≤ ε(θ2 − θ1), ♦ lim δ→0 Z Cδ f(z)dz = ik(θ2 − θ1). ➊ ➚ 3.2 ✥ f(z) ✩ ∞ ✳✢❯➉ ✖ ❙❚✧✸ θ1 ≤ arg z ≤ θ2 ✧ z → ∞ ✻ ✧ zf(z) ✴➋➄➌ ➍ ❥ K ✧❆ lim R→∞ Z CR f(z) dz = iK(θ2 − θ1), ❬ ❭ CR ✘ Ï ❳✳✱ ➎➏✧ R ✱➐t➣➑➒✱ θ2 −θ1 ✢ ➎➓✧ |z| = R, θ1 ≤ arg z ≤ θ2 (➱✃ 3.8) ✤