第一部分复变函数
第一章复数和复变函数 ★本章计划讲授学时:2 ★§1.7为教学叁考资料,不讲授
F ✂✁✂✄✆☎✞✝✂✟✡✠☞☛☞✌ 2 F §1.7 ✍✞✎ ✠✞✏✆✑✆✒✔✓✡✕✗✖✘✝☞✟
§1.1复数及其运算规则 第一章复数和复变函数 1.1复数及其运算规则 复数定义设有一对有序实数(a,b),遵从下列运算规则 加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2) 乘法(a,b)c,d)=(ac-bd,ad+be), 则称这一对有序实数(a,b)定义了一个复数a,记为 a=(a,b)=a(1,0)+b(0,1) 称为a的实部,b称为a的虚部 复数相等:两复数的实部、虚部分别相等 复数不能比较大小! ★特殊的复数:实数1 (1,0)(1,0)=(1,0),(1,0)(a,b)=(a,b) 可见(1,0)具有和实数1同样的运算效果 (1,0)=1 ★特殊的复数:虚单位i (0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 这样就定义了虚单位i=(0,1) 所以,复数a又可以记为 a=a+ib. ★特殊的复数:0 (a,b)+(0,0)=(a,b),(a,b)(0,0)=(0, 可见(0,0)具有和实数0同样的运算效果, (0,0)=0. ★复数共轭复数a*≡a-ib与a=a+ib互为共轭
§1.1 ✁✂✄☎✆✝✞ ✟ 2 ✠ ✡☛☞ ✌✍✎✌✏✑✍ §1.1 ✒✓✔✕✖✗✘✙ ✚✛✜✢ ✣✤✥✦✤✧★✩ (a, b) ✪✫✬✭✮✯✰✱✲✳ ✴✵ (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), ✶✵ (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc), ✲✷✸✥✦✤✧★✩ (a, b) ✹✺✻✥✼✽✩ α ✪✾✿ α = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), a ✷✿ α ❀ ★❁✪ b ✷✿ α ❀❂❁ ✪ a = Re α, b = Im α. F ✚✛❃❄✳ ❅ ✽✩❀ ★❁❆❂ ❁❇❈❉❊❋ ✽✩●❍ ■❏❑▲ ▼ F ◆❖P✚✛✳◗✛ 1 (1, 0)(1, 0) = (1, 0), (1, 0)(a, b) = (a, b), ❘❙ (1, 0) ❚ ✤❯★✩ 1 ❱❲❀✯✰❳❨✪ (1, 0) = 1. F ◆❖P✚✛✳❩❬❭ i (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1, ✸❲❪✹✺✻❂❫❴ i = (0, 1) ✪ i 2 = −1. ❵❛✪ ✽✩ α ❜ ❘❛ ✾✿ α = a + i b. F ◆❖P✚✛✳ 0 (a, b) + (0, 0) = (a, b), (a, b)(0, 0) = (0, 0), ❘❙ (0, 0) ❚ ✤❯★✩ 0 ❱❲❀✯✰❳❨✪ (0, 0) = 0. F ✚✛❝❞ ✽✩ α ∗ ≡ a − i b ❡ α = a + i b ❢✿❣❤❋ (α ∗ ) ∗ = α
第一章复数和复变函数 第3页 共轭复数的乘积为实数 (a+ib(a-ib) ★复数减法复数加法的逆运算 a +ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d), ★复数除法复数乘法的逆运算 a+ib (a+ib)(c-id) ac+ bd. bc c+id (c+id)(c-id) c2+d2
✐❥❦ ✁❧♠♥✁ ✟ 3 ✠ ❣❤✽✩❀ ✶♦✿ ★✩❋ (a + i b)(a − i b) = a 2 + b 2 . F ✚✛♣q ✽✩✴✵❀r✯✰✳ (a + i b) − (c + i d) = (a − c) + i (b − d), F ✚✛sq ✽✩✶✵❀r✯✰✳ a + i b c + i d = (a + i b)(c − i d) (c + i d)(c − i d) = ac + bd c 2 + d 2 + i bc − ad c 2 + d 2
1.2复数的几何表示 第4页 31.2复数的几何表示 一个复数可以用复平面上的一个点表示(见图1.1) 图1.1复数a和a 复数a=a+ib还可以表示成复平面上的一个矢量(见图1.2) 图1.2矢量OP和O'P代表同一个复数 这里的矢量是自由矢量:将一个矢量平移(例如将矢量的一个端点移到原点仍代表同一个 复数 复数加法的几何意义:横坐标、纵坐标分别相加 满足平行四边形法则(或称为三角形法则,见图1.3) 图1.3复数加法的平行四边形法则和三角形法则 平行四边形法则(或三角形法则)也可以应用于复数相减a-B≡a+(-B)(见图1.4) 1.将代表B的矢量反向(即表示一B),然后作加法; 2.由B的终点指向a的终点作一矢量,即代表a-B 图1.4复数减法的平行四边形法则和三角形法则 复数的极坐标表示: r( r,称为复数a的模和辐角 arg a 显然 复数0的模为0,辐角不定
§1.2 ✁t✉✈✇① ✟ 4 ✠ §1.2 ✒✓②③④⑤⑥ ✥✼✽✩❘❛⑦✽⑧⑨⑩❀ ✥✼❶❷❸ (❙❹ 1.1) ❋ ❺ 1.1 ❻❼ α ❽ α ∗ ✽✩ α = a + i b ❾ ❘❛❷❸❿✽⑧⑨⑩❀ ✥✼➀➁ (❙❹ 1.2) ❋ ❺ 1.2 ➂➃ OP ❽ O0P 0 ➄➅➆➇➈❻❼ ✸➉❀➀➁➊ ➋➌➍➎ ✳➏✥✼➀➁⑧➐ (➑➒➏➀➁❀ ✥✼➓❶➐➔→❶) ➣↔❷ ❱ ✥✼ ✽✩❋ ✚✛↕qP➙➛➜✢ ✳ ➝➞➟❆➠➞➟❇❈❉✴❋ ➡➢⑧➤➥➦➧✵✲ (➨✷✿➩➫➧✵✲✪❙❹ 1.3) ❋ ❺ 1.3 ❻❼➭➯➲➳➵➸➺➻➯➼❽➽➾➻➯➼ ⑧➤➥➦➧✵✲ (➨➩➫➧✵✲) ➚ ❘❛➪⑦➶✽✩❉➹ α − β ≡ α + (−β)( ❙❹ 1.4) ✳ 1. ➏↔❷ β ❀ ➀➁➘ ➴ (➷ ❷❸ −β) ✪➬➮➱✴✵✃ 2. ❐ β ❀❒❶❮ ➴ α ❀❒❶ ➱ ✥➀➁✪➷↔❷ α − β ❋ ❺ 1.4 ❻❼❰➯➲➳➵➸➺➻➯➼❽➽➾➻➯➼ ✚✛PÏÐÑÒÓ✳ α = r(cos θ + i sin θ). r, θ ✷✿✽✩ α ❀Ô❯Õ➫✪ r = |α|, θ = arg α. Ö ➬✪ a = r cos θ, b = r sin θ. ✽✩ 0 ❀Ô✿ 0 ✪ Õ ➫ ● ✹ ❋
第一章复数和复变函数 第5页 图1.5复数的模和辐角及辐角的多值性 ★复数辐角的多值性:由于三角函数的周期性,所以一个复数的辐角不是唯一的,它还 可以加上2的任意整数倍 通常把(-兀,可之间的辐角值称为辐角的主值 极坐标表示下的复数运算 复数共轭 复数乘法 a1=ri(cos 01 +i sin 01), a2=r2(cos B2 +i sin 82) 是 I(cos 01 cos A2-sin 01 sin 02) +i(sin B1 cos B2+cos 0, sin 02) =r1r2cos(61+62)+isin(61+62) 个复数相乘,就是它们的模相乘,辐角相 复数除法 cos(61-62)+isin(61-62 两个复数相除,就是它们的模相除,辐角相减 复数的指数表示:定义复指数函数 cos0+i sin g 且具有和实指数函数相同的性质 i1,e2=e(e1+62) 则复数a又可以表示成 指数表示形式下的复数乘法和除法 717T2
✐❥❦ ✁❧♠♥✁ ✟ 5 ✠ ❺ 1.5 ❻❼➲×❽Ø➾ÙØ➾➲ÚÛÜ F ✚✛ÝÞPßàá✳ ❐ ➶ ➩➫â✩ ❀ãäå✪❵❛ ✥✼✽✩❀ Õ ➫ ●➊æ✥❀✪ç ❾ ❘❛✴⑩ 2π ❀èéê✩ë❋ ìíî (−π, π] ïð❀Õ ➫ñ✷✿Õ ➫❀òñ❋ ÏÐÑÒÓóP✚✛ôõ✳ ✽✩❣❤ α ∗ = r(cos θ − i sin θ). ✽✩✶✵ α1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1), α2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2), ➶➊ α1 · α2 = r1r2 (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2) = r1r2 [cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)] . ❅ ✼✽✩❉✶✪❪➊çö❀Ô❉✶✪ Õ ➫ ❉✴❋ ✽✩÷✵ α1 α2 = α1 · α ∗ 2 α2 · α ∗ 2 = r1 r2 [cos (θ1 − θ2) + i sin (θ1 − θ2)] . ❅ ✼✽✩❉÷✪❪➊çö❀Ô❉÷✪ Õ ➫ ❉➹❋ ✚✛Pø✛ ÒÓ✳ ✹✺✽❮✩â ✩ e i θ = cos θ + i sin θ, ù ❚ ✤❯★❮✩â ✩❉❱❀åú✳ e i θ1 · e i θ2 = ei (θ1+θ2) , ✲ ✽✩ α ❜ ❘❛❷❸❿ α = re i θ . ❮✩❷❸➧û✭❀✽✩✶✵❯÷✵✳ α1 · α2 = r1e i θ1 · r2e i θ2 = r1r2e i (θ1+θ2) ,
1.2复数的几何表示 第6页 Q1 (1-62)
§1.2 ✁t✉✈✇① ✟ 6 ✠ α1 α2 = r1e i θ1 · 1 r2 e −i θ2 = r1 r2 e i (θ1−θ2)
第一章复数和复变函数 第7页 81.3复数序列 按照一定顺序排列的复数 1,2,3 称为复数序列,记为{an} 复数序列的性质和实数序列完全相同 一个复数序列完全等价于两个实数序列 聚点给定序列{zn},若存在复数z,对于任意给定的ε>0,恒有无穷多个zn满足 zn-20,总能找到N(=)>0,使当 >N()时,有|zn-20,存在正整数N()>0 使对于任意正整数p,有 z N 个无界序列不可能是收敛的
✐❥❦ ✁❧♠♥✁ ✟ 7 ✠ §1.3 ✒ ✓ ü ý þÿ✥ ✹ ✧✁ ✮❀✽✩ zn = xn + i yn, n = 1, 2, 3, · · · , ✷✿✽✩✧✮✪✾✿ {zn} ❋ ✽✩✧✮❀åú❯★✩✧✮✂✄❉ ❱ ❋ ✥✼✽✩✧✮✂✄❊☎➶ ❅ ✼★✩✧✮ ❋ ✆✝ ✞ ✹ ✧ ✮ {zn} ✪✟✠✡✽✩ z ✪ ✦➶ èé✞ ✹❀ ε > 0 ✪☛ ✤☞✌✍✼ zn ➡➢ |zn − z| 0 ✪✬ ❍✭➔ N(ε) > 0 ✪✤✮ n > N(ε) ✯✪ ✤ |zn − z| 0 ✪✠✡✣ ê ✩ N(ε) > 0 ✪ ✤ ✦➶ èé✣ ê ✩ p ✪ ✤ |zN+p − zN | < ε. ✥✼☞✦✧ ✮ ●❘❍➊✰✱❀ ❋
1.4复变函数 第8页 4复变函数 只介绍定义在复数平面上的一定区域的复变函数 点集的内点以某一点为圆心作一个圆,只要半径足够小,使得圆内的所有的点都属于该点 集,则称此点为点集的内点 区域满足下列两个条件的点集:(1)全部都由内点组成;(2)具有连通性,即点集中任意 两点,都可以用一条折线连接起来,折线上的点全都属于此点集 图1.6(a)和(b)中的图形都是区域,但(c)不构成区域 图1.6区域(a)和(b)与非区域(c) 区域常用不等式表示.例如 2|<r表示以原点为圆心、r为半径的圆内区域 0<argz<π/2表示第一象限 Imz<0表示下半平面 等等.图1.7中给出了几个典型的区域 R1<|2<R2 81< argz <62 图1.7几个典型的区域(阴影在边界外侧)
§1.4 ♠ ♥ ✁ ✟ 8 ✠ §1.4 ✒ ✻ ✼ ✓ ✽✾✿✹✺✡ ✽✩⑧⑨⑩❀ ✥ ✹❀❁❀ ✽❂ â ✩❋ ✝❃P❄ ✝ ❛❅✥❶✿ ❆❇➱ ✥✼ ❆✪ ✽❈❉❊➢❋▲ ✪✤● ❆❍❀ ❵✤ ❀ ❶ ✥■➶❏❶ ❑ ✪✲✷▲ ❶ ✿ ❶❑ ❀ ❍ ❶❋ ▼◆ ➡➢✭✮❅✼❖P❀ ❶❑ ✳ (1) ✄ ❁ ✥ ❐❍ ❶◗❿✃ (2) ❚ ✤❘ì å✪➷❶❑ ✖èé ❅ ❶ ✪✥ ❘❛⑦✥❖❙❚❘❯❱❲✪ ❙❚⑩ ❀ ❶ ✄✥■➶ ▲ ❶❑❋ ❹ 1.6(a) ❯ (b) ✖❀ ❹➧ ✥ ➊ ❀❁✪❳ (c) ●❨❿ ❀❁❋ ❺ 1.6 ❩❬ (a) ❽ (b) ❭❪❩❬ (c) ❀❁í⑦●❊û❷❸❋➑➒✪ |z| r R1 0 |z| 0 ❺ 1.7 ❞➈❡❢➲❩❬ (❣❤✐➺❥❦❧)
第一章复数和复变函数 第9页 区域的边界点和边界所谓区域的边界点,并不属于区域,但是以它为圆心作圆,不论半径 如何小,圆内总含有区域的点 边界点的全体就构成边界 区域边界的方向如果沿着边界走,区域保持在左方,则走向称为边界的正向.例如,对于 环域a<|<b,边界是圆周||=a和|z=b.对于内圆|2=a来说,边界正向是顺时针方向 对于外圆||=b来说,边界正向是逆时针方向 区域G加上边界C就构成闭区域石.石=G+C 复变函数设有复数平面上的一个区域G,如果对于G内的每一个z值,都有一个或多个 复数值v与之对应,则称为z的函数一—复变函数,记为 U=f(2), 定义域为G 因为z=x+iy,所以 w=f(a=u(r, y)+iv(a, y), 其中u(x,y)和v(x,y)都是x和y的实函数 一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合
✐❥❦ ✁❧♠♥✁ ✟ 9 ✠ ▼◆P♠ ✙✝✜ ♠ ✙ ❵♥ ❀❁❀ ➦✦❶ ✪ ♦● ■ ➶ ❀❁✪❳ ➊❛ç ✿ ❆❇➱ ❆✪ ●♣❉❊ ➒q ▲ ✪❆❍✬r✤ ❀❁❀ ❶❋ ➦✦❶ ❀✄s❪ ❨❿➦✦❋ ▼◆♠ ✙ Pt✉ ➒❨✈✇➦✦①✪❀❁②③✡④⑤✪✲① ➴ ✷✿➦✦ ❀ ✣ ➴❋➑➒✪✦➶ ⑥ ❁ a < |z| < b ✪ ➦✦➊ ❆ã |z| = a ❯ |z| = b ❋✦➶ ❍❆ |z| = a ❲⑦✪ ➦✦✣ ➴➊✯⑧⑤ ➴✃ ✦➶⑨ ❆ |z| = b ❲⑦✪ ➦✦✣ ➴➊r✯⑧⑤ ➴❋ ❀❁ G ✴⑩➦✦ C ❪ ❨❿⑩ ❀❁ G ❋ G = G + C ❋ ✚❶❷✛ ✣✤✽✩⑧⑨⑩❀ ✥✼❀❁ G ✪➒❨✦➶ G ❍❀❸ ✥✼ z ñ✪✥ ✤✥✼➨ ✍✼ ✽✩ñ w ❡ï✦➪ ✪✲✷ w ✿ z ❀â✩ ✽❂ â ✩ ✪✾✿ w = f(z), ✹✺❁✿ G ❋ ❹ ✿ z = x + i y ✪ ❵❛ w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y), ✕ ✖ u(x, y) ❯ v(x, y) ✥ ➊ x ❯ y ❀ ★ â ✩❋ ✥✼✽❂ â ✩✽●❺➊ ❅ ✼❻❼★❂ â ✩ ❀ ✤✧◗❽❋