第五章解析函数的局域展开 说明 ★本章计划讲授学时:6 ★§5.8为教学参考资料,不讲授
✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 6 F §5.8 ☛☞✟✌✍✎ ✏ ✑✒✝✞
学时头教 参考 贫 料,不析函数的局域性展开 §5.1解析函数的 Taylor展开 个幂函数在它的收敛圊内代表一个解析函数 如何把一个解析函数表示成幂级数? 定理5.1( Taylor)设函数f(2)在以a为圆心的圆C内及C上解析,则对于圆内的任何z 点,f(2)可用幂级数展开为(或者说,f(2)可在a点展开为幂级数) f(2)=∑an(2 其中 f() C取逆时针方向 证根据 Cauchy积分公式,对于圆C内任意一点z,有 )=如 f() 但是, 此级数在/r<1的区域中一致收敛,因此可以逐项积分, ( n=0 (S-a n+ds f(n)(a) 说明 1.定理的条件可以放宽,只要f(2)在C内解析即可 ①以后的围道积分,除特别说明的以外,均为逆时针方向
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 1 ✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛ §5.1 ✜✢✣✤✥ Taylor ✦✧ ★✩✪✫✬✭✮✯✰✱ ✲✳✴✵★✩✶✷✫✬✸ ✹✺✻★✩✶✷✫✬✵✼✽✪✾✬ ✿ ❀❁ 5.1 (Taylor) ❂❃❄ f(z) ❅❆ a ❇ ❈❉❊ ❈ C ❋● C ❍■❏❑▲▼◆ ❈❋❊❖P z ◗ ❑ f(z) ❘❙❚❯❄❱❲❇ (❳❨❩❑ f(z) ❘❅ a ◗ ❱❲❇❚❯❄) f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , ❬ ❭ an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! , C ❪❫❴❵❛ ❜ ❝ ✸ ❞ ❡❢ Cauchy ❣❤✐❥❑▼◆ ❈ C ❋❖❦❧◗ z ❑♠ f(z) = 1 2π i I C f(ζ) ζ − z dζ. ♥♦❑ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a X∞ n=0 z − a ζ − a n . ♣ ❯❄❅ z − a ζ − a ≤ r < 1 ❊qr ❭ ❧st✉❑✈♣ ❘❆✇①❣❤❑ f(z) = 1 2π i I C "X∞ n=0 (z − a) n (ζ − a) n+1 # f(ζ)dζ = X∞ n=0 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ (z − a) n = X∞ n=0 an(z − a) n , an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! . ❩ ②③ 1. ④⑤❊⑥⑦❘❆⑧⑨❑⑩❶ f(z) ❅ C ❋■❏❷❘✸ ❝ ❸❹❺❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄❺❸➅❿➆➇➈➉➊➋➌➍
51解析函数的 Taylor展开 这时对于给定的z,总可以以α为圆心作一圆C",把z包围在圆内.f(z)在C"内及 上是解析的 2.这里 Taylor展开的形式和实变函数中的 Taylor公式相同,但是条件不同 ★在实变函数中,f(x)的任何阶导数存在,还不足以保证 Taylor公式存在(或 Taylor公式收 敛) ★在复变函数中,解析的要求(一阶导数存在)就足以保证 Taylor级数收敛 3.收敛范围函数∫(z)的奇点完全决定了 Taylor级数的收敛半径.设b是f(2)的离a点最 近的奇点,则一般说来,收敛半径R=|-a ∫(z)在圆|z-a<|-叫内处处解析,∫(z)可以在圆内展开为 Taylor级数(或者说 Taylor级数在圆|z-a<阝b-叫内收敛)·这就是说,f(z)的 Taylor级数收敛半径不小 于|-a 收敛半径一般也不能大于阝-a.否则,b点就包含在收敛圆内,因而幂级数在收敛 圆内处处解析,与b点为奇点的假设矛盾(除非b点是可去奇点,见5.5节) 1+z2 ∑(-)"a z|< 函数的奇点z=±就决定了 Taylor级数的收敛半径R=|±i=1 而在实数范围内, Taylor级数的收敛半径与函数性质之间的联系就难以讨论 )nx2n,-1<x<1 1+ 就难以理解收敛半径为何是1,因为函数1/(1+x2)在整个实轴上都是连续可导、并且任何阶导数 都是存在的! 4. Taylor展开的唯一性给定一个在圆C内解析的函数,则它的 Taylor展开是唯一的,即 展开系数an是完全确定的 证假定有两个 Taylor级数在圆C内都收敛到同一个解析函数f(z) f(2)=a0+a1(2-a)+a2(2-a)2+…+an(z-a)+ a+a1(z-a)+a2(2-a)2+…+aln(z-a)+ 取极限z 则由于级数在C内的任一闭区域中一致收敛,故有 逐项微商,再取极限z→a,又得
§5.1 ✄☎✆✝✞ Taylor ☛☞ ✌ 2 ✍ ➎➏➐➑➒➓✯ z ❑ ➔→ ➣➣ a ↔ ✲↕➙★ ✲ C 0 ❑✻ z ➛➜✭ ✲✳✸ f(z) ✭ C 0 ✳➝ C 0 ➞➟✶✷✯✸ 2. ➠➡ Taylor ❱❲❊➢❥➤➥➦❃❄ ❭ ❊ Taylor ✐❥➧➨❑♥♦⑥⑦➩➨✸ F ❅➥➦❃❄ ❭ ❑ f(x) ❊❖P➫➭❄➯❅❑➲➩➳❆➵➸ Taylor ✐❥➯❅ (❳ Taylor ✐❥t ✉) ✸ F ❅➺➦❃❄ ❭ ❑■❏❊❶➻ (❧➫➭❄➯❅) ➼➳❆➵➸ Taylor ❯❄t✉✸ 3. ➽➾➚➪ ❃❄ f(z) ❊➶◗➹➘➴④➷ Taylor ❯❄❊t✉➬➮✸❂ b ♦ f(z) ❊➱ a ◗✃ ❐ ❊➶◗ ❑▲❧❒❩❮❑t✉➬➮ R = |b − a| ✸ f(z) ✭ ✲ |z − a| < |b − a| ✳❰❰✶✷❑ f(z) → ➣✭ ✲✳ÏÐ↔ Taylor ✾✬ (ÑÒÓ❑ Taylor ✾✬✭ ✲ |z − a| < |b − a| ✳✰✱) ✸➎Ô➟Ó❑ f(z) ✯ Taylor ✾✬✰✱ÕÖ×Ø ➑ |b − a| ✸ ✰✱ÕÖ★ÙÚ×ÛÜ➑ |b − a| ✸ÝÞ❑ b ß Ô ➛à✭✰✱ ✲✳❑áâ✪✾✬✭✰✱ ✲✳❰❰✶✷❑ã b ß↔äß✯åæ çè (é ê b ß➟→ëäß❑ì 5.5 í) ✸ 1 1 + z 2 = X∞ n=0 (−) n z 2n , |z| < 1. ❃❄❊➶◗ z = ±i ➼ ➴ ④➷ Taylor ❯❄❊t✉➬➮ R = | ± i| = 1 ✸ î ❅➥❄ï ð❋❑ Taylor ❯❄❊t✉➬➮ñ❃❄òóôõ❊ö÷➼ø❆ùú✸ 1 1 + x 2 = X∞ n=0 (−) nx 2n , −1 < x < 1, ➼ø❆⑤■t✉➬➮❇P♦ 1 ❑✈❇❃❄ 1/(1 + x 2 ) ❅ûü➥ý❍þ♦ÿ ❘➭✁ ✂✄❖P➫➭❄ þ ♦ ➯❅❊ ☎ 4. Taylor ✆✝✞✟✠✡ ☛④❧ü❅ ❈ C ❋■❏❊❃❄❑▲☞❊ Taylor ❱❲♦✌ ❧❊❑❷ ❱❲÷❄ an ♦➹➘✍ ④❊✸ ❞ ✎ ④♠✏ü Taylor ❯❄❅ ❈ C ❋þt✉✑➨❧ü■❏❃❄ f(z) ❑ f(z) = a0 + a1(z − a) + a2(z − a) 2 + · · · + an(z − a) n + · · · = a 0 0 + a 0 1 (z − a) + a 0 2 (z − a) 2 + · · · + a 0 n (z − a) n + · · · . ❪✒✓ z→a ❑▲ ✔◆❯❄❅ C ❋❊❖❧✕qr ❭ ❧st✉❑✖♠ a0 = a 0 0 . ✇①✗✘❑✙❪✒✓ z → a ❑✚✛ a1 = a 0 1
展开的唯一性给它 如此继续,即可证得 an,n=0,1,2, Taylor开的唯一性告诉我们: 不论用什么方法,得到的f(2)在同一个圆内的 Taylor展开是唯一的.因此,不一定要用求 导数的办法定展开系数 ★如果在同一点展开的两个 Taylor级数相等,则可以逐项比较系数 必须是在同一点展开的两个 Taylor级数相等,才可以逐项比较系数. 同一个函数在不同点展开得到的两个 Taylor级数,即使有公共的收敛区域,也不能直 接比较展开系数
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 3 ✍ ✜♣✢❑❷❘➸✛ an = a 0 n , n = 0, 1, 2, · · · . Taylor ❱❲❊✌ ❧ò✣✤✥✦③ F ➩ú❙✧★❛✩❑✛✑❊ f(z) ❅➨❧ü ❈❋❊ Taylor ❱❲♦✌ ❧❊✸✈ ♣ ❑➩❧④❶❙➻ ➭❄❊✪✩④❱❲÷❄✸ F ✜✫ ❅➨❧◗ ❱❲ ❊✏ü Taylor ❯❄➧✬❑▲❘❆✇① ✭✮÷❄✸ • ✯✰♦ ❅➨❧◗ ❱❲❊✏ü Taylor ❯❄➧✬❑✱❘❆✇① ✭✮÷❄✸ • ➨❧ü❃❄❅➩➨◗ ❱❲✛✑❊✏ü Taylor ❯❄❑❷✲♠✐✳❊t✉qr❑✴ ➩✵✶ ✷ ✭✮❱❲÷❄✸
52m级讲法举例 参考 5.2 Taylor级数求法举例 求 Taylor级数的方法很难一一罗列,这里只介绍一些普通常见的方法 基本公式 e2=1+x++…++ n=0 -)n2n+1 2=6(2n+1) 2|<1 n=0 ★对于其他函数,总是尽量利用这些基本公式 1+z2 有理函数总可以用部分分式的方法化为更简单的形式 3z+222 1-2 z2+2∑(2)n 有些函数可以表示成更简单的函数的导数或积分,从而可以容易地求出其 Taylor级数, (n+1)z,|z|< 如果函数可以表示成两个(或几个函数的乘积,而每一部分的 Taylor晨开比较容易求出时, 则可采用级数相乘的方法 2k.)2 k=0 <
§5.2 Taylor ✸ ✝✹✺✻✼ ✌ 4 ✍ §5.2 Taylor ✽✤✾✿❀❁ ➻ Taylor ❯❄❊❛✩❂ø❧❧❃❄✸➠➡⑩❅❆❧❇❈❉❊❋❊❛✩✸ F ●❍✐❥③ e z = 1 + z + z 2 2! + · · · + z n n! + · · · = X∞ n=0 z n n! , |z| < ∞, sin z = e iz − e −iz 2i = X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n+1 , |z| < ∞, cos z = e iz + e−iz 2 = X∞ n=0 (−) n (2n)! z 2n , |z| < ∞, 1 1 − z = X∞ n=0 z n , |z| < 1. F ▼◆❬■ ❃❄❑❏ ♦❑▲▼❙➠❇●❍✐❥✸ 1 1 + z 2 = X∞ n=0 −z 2 n = X∞ n=0 (−) n z 2n , |z| < 1. ♠⑤❃❄❏❘❆❙◆❤❤❥❊❛✩❖❇P◗❘❊➢❥❑ 1 1 − 3z + 2z 2 = − 1 1 − z + 2 1 − 2z = − X∞ n=0 z n + 2X∞ n=0 (2z) n = X∞ n=0 2 n+1 − 1 z n , |z| < 1 2 . ♠❇❃❄❘❆❙❚❯P◗❘❊❃❄❊➭❄❳❣❤❑❱ î ❘❆❲❳❨➻❩ ❬ Taylor ❯❄✸ 1 (1 − z) 2 = d dz 1 1 − z = d dz X∞ n=0 z n = X∞ n=1 nzn−1 = X∞ n=0 (n + 1)z n , |z| < 1. F ✜✫❃❄❘❆❙❚❯✏ü (❳❬ü) ❃❄❊❭❣❑î❪ ❧◆❤❊ Taylor ❱❲ ✭✮❲❳➻❩❴❑ ▲❘❫❙❯❄➧❭❊❛✩✸ 1 1 − 3z + 2z 2 = 1 1 − z · 1 1 − 2z = X∞ k=0 z k · X∞ l=0 2 l z l = X∞ k=0 X∞ l=0 2 l z k+l = X∞ n=0 Xn l=0 2 l ! z n = X∞ n=0 2 n+1 − 1 z n , |z| < 1 2
第五章解析函数的局域性展开 第5页 由部示成列介收敛普见绝,收敛,故成列相乘是合法常乘积介两收敛普常公共区域见仍绝。收 待定系列法级 例51求tanz介z=0常 Taylor从容 解由部tanz是奇罗列,故介z=0常 Taylor从容应只有奇次示 2k+1 a2k+12 k=0 COS 2 2k+1 SIn 2= cOs 2 比较系列,即得 所绍 a1=1; 241-2 因此 2 从tanz常奇单绍判断成列常收敛半径应些m3152 15 应用待定糸数法能得到亲数之间的递推关糸。原则上可以逐法求出展开亲数,但一般 不容易求出求数的通项公式(即展开亲数an的解析表达式)级 求果只需要求出孓数中的某一项或某几项糸数,也可以采用待定糸数法级 ★多值函数的 Taylor展开部多值罗列,介适当规定了单值分枝后,即单像单值罗列那样 作 Taylor从容级 例52求多值罗列(1+x)介2=0常 Taylor从容,规定z=0时(1+x)=1级
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 5 ✍ ✔◆❚❯❄❅t✉ ❈❋❴▼t✉❑✖❯❄➧❭ ♦❵ ✩❊❑❭❣❅✏t✉ ❈❊✐✳qr ❋❛❴▼t ✉✸ F ❜④÷❄✩✸ ❝ 5.1 ➻ tan z ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲✸ ❞ ✔◆ tan z ♦ ➶❃❄❑✖ ❬ ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲❡⑩♠➶❢❚❑ tan z = X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = sin z cos z , sin z = cos z · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 , X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n+1 = X∞ l=0 (−) l (2l)! z 2l · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = X∞ n=0 Xn k=0 (−) n−k (2n − 2k)!a2k+1! z 2n+1 . ✭✮÷❄❑❷✛ Xn k=0 (−) k (2n − 2k)!a2k+1 = 1 (2k + 1)!. ❣ ❆ n = 0 : a1 = 1; n = 1 : 1 2 a1 − a3 = 1 6 , a3 = 1 3 ; n = 2 : 1 24 a1 − 1 2 a3 + a5 = 1 120 , a5 = 2 15 ; . . . ✈ ♣ ❑♠ tan z = z + 1 3 z 3 + 2 15 z 5 + 17 315 z 7 + · · · . ❱ tan z ❊➶◗ ❘❆❤✐❑❯❄❊t✉➬➮❡❇ π/2 ✸ ❥❦❧➓ ♠✬♥❑Û♦♣ ♠✬q r✯st ✉♠ ❑ ✈Þ➞→ ➣✇✩① ②ÏÐ ♠✬❑③★Ù ×④ ⑤① ②✾✬✯⑥⑦⑧⑨ (⑩ÏÐ ♠✬ an ✯✶✷✵❶⑨) ✸ ✹❷ ❸❹❺① ②✾✬ ❻✯ ❼★⑦Ñ ❼❽⑦ ♠✬❑Ú→ ➣❾❦❧➓ ♠✬♥✸ F ❿➀➁➂✞ Taylor ✆✝ ▼◆➃➄❃❄❑❅ ➅➆➇④➷❘➄❤➈➉ ❑❷❘➊❘➄❃❄➋➌ ➍ Taylor ❱❲✸ ❝ 5.2 ➻➃➄❃❄ (1 + z) α ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲❑➇④ z = 0 ❴ (1 + z) α = 1 ✸
52 Taylor级数求法举例 第6页 解可直接求出函数(1+2)°在2=0点的各阶导数值 f(0)=1 f(0)=a(1+2)0 f"0)=a(a-1)(1+2)0-2l2 f(n)(0)=a(a-1)(a-2)…(a-n+1)(1+2) (a-1)…(a-n+1) 因此 (1+2)=1+a2+-1)3x 2 2 其中 a(a-1)…(a-n+1) 称为普遍的二项式展开系数 级数的收敛区域,还要视割线的作法而定.收敛半径等于z=0到割线的最短距离,所以 最大可能的收敛区域是||<1,R=1 例5.3求多值函数m(1+2)在2=0的Tyor展开,规定m(1+2)2=0=0 解在上述规定下,函数l(1+2)可表示为定积分,因此 ,+== n=0 (-)nn+1 收敛区域也要看割线怎么作.收敛半径等于z=0到割线的最短距离,最大可能的收敛区域是 2<1,R=1 在无穷远点的 Taylor展开如果函数f(x)在z=∞点解析,则也可以在z=∞点展开成 Taylor级数
§5.2 Taylor ✸ ✝✹✺✻✼ ✌ 6 ✍ ❞ ❘✶ ✷ ➻❩❃❄ (1 + z) α ❅ z = 0 ◗ ❊➎➫➭❄➄❑ f(0) = 1, f 0 (0) = α (1 + z) α−1 z=0 = α, f 00(0) = α(α − 1) (1 + z) α−2 z=0 = α(α − 1), . . . f (n) (0) = α(α − 1)(α − 2)· · ·(α − n + 1) (1 + z) α−n z=0 = α(α − 1)· · ·(α − n + 1), . . . ✈ ♣ (1 + z) α = 1 + αz + α(α − 1) 2 z 2 + · · · + α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! z n + · · · = X∞ n=0 α n z n , ❬ ❭ α 0 = 1 ➤ α n = α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! ➏ ❇❈➐❊➑①❥❱❲÷❄✸ ❯❄❊t✉qr❑➲ ❶➒➓➔❊ ➍ ✩ î ④✸t✉➬➮✬◆ z = 0 ✑➓➔❊ ✃→➣➱ ❑ ❣ ❆❑ ✃↔ ❘✵❊t✉qr♦ |z| < 1, R = 1 ✸ ❝ 5.3 ➻➃➄❃❄ ln(1 + z) ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲❑➇④ ln(1 + z) z=0 = 0 ✸ ❞ ❅❍↕➇④➙❑❃❄ ln(1 + z) ❘❙❚❇④❣❤❑✈♣ ln(1 + z) = Z z 0 1 1 + z dz = Z z 0 X∞ n=0 (−) n z ndz = X∞ n=0 (−) n Z z 0 z ndz = X∞ n=0 (−) n n + 1 z n+1 = X∞ n=1 (−) n−1 n z n . t✉qr✴ ❶➛➓➔➜★➍✸t✉➬➮✬◆ z = 0 ✑➓➔❊ ✃→➣➱❑✃↔ ❘✵❊t✉qr♦ |z| < 1 ❑ R = 1 ✸ F ➝➞➟➠➡✞ Taylor ✆✝ ✜✫❃❄ f(z) ❅ z = ∞ ◗ ■❏❑▲✴ ❘❆❅ z = ∞ ◗ ❱❲❯ Taylor ❯❄✸
所谓∫(z)在∞点展开成 Taylor级数,就是作变换z=1/t,而将∫(1/t)在t=0点展 开成 Taylor级数,因为∫(1/t)在t=0点解析,故 1/r,也就是说,级数在以∝为圆心的某个圆内收敛
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 7 ✍ ➢➤ f(z) ✭ ∞ ßÏÐ✽ Taylor ✾✬❑ Ô➟➙➥➦ z = 1/t ❑â➧ f(1/t) ✭ t = 0 ßÏ Ð✽ Taylor ✾✬✸á↔ f(1/t) ✭ t = 0 ß✶✷❑➨ f 1 t = a0 + a1t + a2t 2 + · · · + ant n + · · · , |t| 1 r . ➩➫③ f(z) ✭ ∞ ß✯ Taylor ✾✬ ❻❸➭➯✬⑦➝ ➲✪⑦❑➳➭➵✪⑦❑â✰✱ ➸➜↔ |z| > 1/r ❑ÚÔ➟Ó❑✾✬✭ ➣ ∞ ↔ ✲↕✯ ❼✩ ✲✳✰✱✸
3解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 §5.3解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 ★介绍解析函数的两个重要性质,它们具有非常重要的理论价值 定义如果f(z)在α点及其邻域内解析,f(a)=0,则称z=a为f(2)的零点 设∫(x)在z=a点及其邻域内解析,则当|z-a充分小时, f(2)=∑an(2-a)n, 故若z=a为零点,则必有 此时,称z=a点为f(2)的m阶零点,相应地 f(a)=f(a)=…=f(m-1)(a)=0,f(m(a)≠0 零点的阶数都是确定的正整数——一在函数的解析区域内,不可能有分数次的零点 解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性 定理52若f(2)不恒等于零,且在包含z=a在内的区域内解析,则必能找到圆|z-a= (p>0),使在圆内除了z=a可能为零点外,f(2)无其他零点 这个定理称为解析函数的零点孤立性定理.根据这个定理,可以推出解析函数零点 的下面两个重要性质 推论1设f(z)在G:|z-叫<R内解析.若在G内存在∫(z)的无穷多个零点{zn},且 但zn≠a,则f(2)在G内恒为0 推论1中的条件 lim zn=a可以减弱为序列{zn}的一个极限点为a 推论2设f(2)在G:|z-叫<R内解析.若在G内存在过a点的一段弧l或含有a点的 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0 推论2的成立范围是以z=a点为圆心的圓域,但是很容易推广到一般形状的区域 推论3设f(z)在G内解析·若在G内存在一点z=a及过a点的一段弧l或含有a点的 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0
§5.3 ✄☎✆✝✞➺➻➼➽✡➾✄☎✆✝✞➚➪✡ ✌ 8 ✍ §5.3 ✜✢✣✤✥➶➹➘➴➷➬✜✢✣✤✥➮➱➷ F ❅❆■❏❃❄❊✏ü✃❶òó❑☞✦❐♠❒❊✃❶❊⑤ú❮➄✸ ❀❰ ✜✫ f(z) ❅ a ◗ ● ❬Ï r ❋■❏❑ f(a) = 0 ❑▲➏ z = a ❇ f(z) ❊Ð ◗✸ ❂ f(z) ❅ z = a ◗ ● ❬Ï r ❋■❏❑▲➆ |z − a| Ñ❤Ò❴❑ f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , ✖Ó z = a ❇Ð ◗ ❑▲✯♠ a0 = a1 = · · · = am−1 = 0, am 6= 0. ♣ ❴❑➏ z = a ◗ ❇ f(z) ❊ m ➫Ð ◗ ❑➧❡❨❑ f(a) = f 0 (a) = · · · = f (m−1)(a) = 0, f(m) (a) 6= 0. Ð ◗ ❊➫❄þ♦✍ ④❊Ôû❄ ❅❃❄❊■❏qr ❋❑➩❘✵♠❤❄❢❊Ð ◗✸ ✶✷✫✬Õß✯★✩Ö❺×Ø➟✮✯ÙÚ× ❀❁ 5.2 Ó f(z) ➩Û✬◆Ð❑ ✄ ❅ÜÝ z = a ❅ ❋❊qr ❋■❏❑▲✯✵Þ✑ ❈ |z − a| = ρ (ρ > 0) ❑✲❅ ❈❋ß➷ z = a ❘✵❇Ð ◗à ❑ f(z) á ❬■ Ð ◗✸ ➎✩➓âã↔✶✷✫✬✯ÕßÙÚ×➓â✸äå➎✩➓â ❑ → ➣t ②✶✷✫✬Õß ✯æ çè✩Ö❺×Ø③ éê 1 ❂ f(z) ❅ G : |z − a| < R ❋■❏✸Ó❅ G ❋➯❅ f(z) ❊áë➃üÐ ◗ {zn} ❑ ✄ limn→∞ zn = a, ♥ zn 6= a ❑▲ f(z) ❅ G ❋Û❇ 0 ✸ tì 1 ❻✯íî limn→∞ zn = a → ➣ïð↔ñò {zn} ✯★✩óôß↔ a ✸ éê 2 ❂ f(z) ❅ G : |z − a| < R ❋■❏✸Ó❅ G ❋➯❅õ a ◗ ❊❧ö÷ l ❳Ý♠ a ◗ ❊❧ üøqr g ❑❅ l ❍❳ g ❋ f(z) ≡ 0 ❑▲❅ûüqr G ❋ f(z) ≡ 0 ✸ tì 2 ✯✽Ú ➸➜➟ ➣ z = a ß↔ ✲↕✯ ✲ù ❑③➟ú④ ⑤t û♣★Ùüý✯ þù✸ éê 3 ❂ f(z) ❅ G ❋■❏✸Ó❅ G ❋➯❅❧◗ z = a ●õ a ◗ ❊❧ö÷ l ❳Ý♠ a ◗ ❊❧ üøqr g ❑❅ l ❍❳ g ❋ f(z) ≡ 0 ❑▲❅ûüqr G ❋ f(z) ≡ 0 ✸
本章戋搜时头教 参 考 图5.1 很容易把推论1第五成解析函数的章一性定现 定理53设在区域G内有两个解析函数f1(z)和f2(2),且在G内存在一个列{zn} f1(zn)=f2(zn),若{zn}的一个极限点z=a(≠zn)也析在G内,则在G内有f1(2)≡f2(x) 函数,可以把推论3 第五推论4 推论4设f1(z)和f2(z)都在区域G内解析,且在G内的一段弧或一个子区域内相等,则在 G内f1(2)≡f2(2) 作为它的的局域形,有 推论5在实轴上成展的恒等式,在2开第上仍页成展’只要这个恒等式两端的函数在2开 上都是解析的
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 9 ✍ ÿ 5.1 ú④ ⑤✻tì 1 ✁✽✶✷✫✬✯✂★×➓â✸ ❀❁ 5.3 ❂❅qr G ❋♠✏ü■❏❃❄ f1(z) ➤ f2(z) ❑ ✄ ❅ G ❋➯❅❧ü✄❄ {zn} ❑ f1(zn) = f2(zn) ✸Ó {zn} ❊❧ü✒✓◗ z = a(=6 zn) ✴☎ ❅ G ❋❑▲❅ G ❋♠ f1(z) ≡ f2(z) ✸ ✆✝❑ → ➣✻tì 3 ✁↔tì 4 ✸ éê 4 ❂ f1(z) ➤ f2(z) þ❅qr G ❋■❏❑✄ ❅ G ❋❊❧ö÷❳❧üøqr ❋➧✬❑▲❅ G ❋ f1(z) ≡ f2(z) ✸ ➙↔✮✯✞✟✠ü❑✡➭ ③ éê 5 ❅➥ý❍❯☛❊Û✬❥❑❅ z ☞✌❍❛✍❯☛❑⑩❶➠üÛ✬❥✏✎❊❃❄❅ z ☞ ✌❍þ♦ ■❏❊✸