第十章6函数 说明 ★本章计划讲授学时:4 ★关于常微分方程的(reen函数问题,控 制在2学时左右
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第十章6函数 ★介绍一种新的“函数”,δ函数 ★δ函数是由物理学家P.A.M. Dirac首先引进的,在近代物理学中有着广泛的应用.它 可以用于描写物理学中的一切点量,例如点质量、点电荷、瞬时源等,物理图象清晰 ★在数学上,δ函数可以当作普通函数一样进行运算,如进行微分和积分变换,甚至应 用于求解微分方程,而且得到的结果和物理结论是一致的 运用δ函数,可以为我们处理有关的数学物理问题,带来极大的便利 ★δ函数是一类“奇怪”的函数,按照“古典”的数学概念是无法理解的.它的严格数学 理论,要涉及泛函分析的知识 ★本章将从物理学的直观出发,引进δ函数的概念,介绍它的最基本的知识及其初步应
✁✂ δ ✄ ☎ 1 ✆✝✞ δ ✟ ✠ F ✡☛☞✌✍✎ ✏ ✑✒✓✔ δ ✑✒✕ F δ ✑✒✖ ✗✘✙ ✚✛ P. A. M. Dirac ✜✢ ✣✤✎✔✥✦✧✘✙ ✚★✩✪ ✫✬✎✭✮✕✯ ✰ ✱✮✲✳ ✴✘✙ ✚★✎☞✵✶✷✔✸✹✶✺✷✻✶ ✼✽✻✾✿❀❁✔✘✙ ❂❃❄❅✕ F ✥✒ ✚❆✔ δ ✑✒✰ ✱❇❈❉❊✑✒☞❋✤●❍■✔✹ ✤●❏❑▲▼❑◆❖✔P◗✭ ✮✲❘❙❏❑❚❯✔❱❲❳❨✎❩❬▲✘✙❩❭✖ ☞❪✎✕ F ❍✮ δ ✑✒✔✰ ✱❫❴❵❛✙✩ ❜✎ ✒ ✚✘✙ ❝❞✔❡❢❣❤✎✐❥✕ F δ ✑✒✖☞ ❦ ✏ ❧♠✓ ✎ ✑✒✔♥♦ ✏♣q✓ ✎ ✒ ✚rs✖t✉✙❙✎✕✯ ✎✈✇✒ ✚ ✙ ❭✔① ②③✬✑❑④✎⑤⑥✕ F ⑦⑧⑨⑩✘✙ ✚✎❶❷ ❸❹✔✣✤ δ ✑✒✎ rs✔✡☛✯ ✎❺❻⑦✎⑤⑥③❼❽ ❾✭ ✮ ✕
810.16函数 作为δ函数的物理背景,先讨论点源、例如点电荷的电荷分布密度函数的数学表示.为 简单起见,主要讨论一维情形 图10.1单位点电荷的电荷密度 如图10.1,设在无穷直线上01/2,就有 f(x)6(x)dx=f(6l),-1/2≤6≤1/2. 作为极限情形,当l→0时,就得到点电荷的密度函数,记为 0,当x0,就有 f(x)6(x)dx=f(0) 显然,还可以把区间内的电荷分布函数修改为其他任意连续函数,再重复上面的讨论 作为它们的极限情形,我们总会得到同样的结果
§10.1 δ ✄ ☎ 2 §10.1 δ ❿ ➀ ❈❫ δ ✑✒✎ ✘✙➁➂✔✢➃❭✶❀ ✻ ✸✹✶ ✼✽✎ ✼✽❑➄ ➅➆✑✒✎ ✒ ✚➇➈✕❫ ➉➊➋➌✔➍①➃❭☞➎➏➐✕ ➑ 10.1 ➒➓➔→➣↔→➣↕➙ ➛➜ 10.1 ✔➝➞➟➠➡➢➤ 0 l 2 . ➬➮➱✃❐➼ ➞ −l/2 l/2 ✔Ü➨ Z b a f(x)δ(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2. Ý ➻Þ×ßà✔➷ l → 0 á✔Üâãä ➯➲➭➶➹➘➴✔å➻ δ(x) = lim l→0 δl(x) = 0, ➷ x 0. æç✔➬➮➱✃❐➼ ➞ x = 0 ä❒❮➭➘➴ f(x) ✔➨ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0). ÔÕ➤✔Ö➳×Ø❐ ÒÙ ±∞ ✕ÚÛ a 0 ✔Ü➨ Z b a f(x)δ(x)dx = f(0). èé✔ê✰ ✱ë ìíî✎ ✼✽❑➄✑✒ïð❫ ❼ñòóôõ✑✒✔ö÷ø❆ ù✎➃❭✕ ❈❫✯❵ ✎❣ú➏➐✔❴❵ûü❳❨ ý❋✎❩❬✕
6函数,并不是通常意义下的函数:它并没有给出函数与自变量之间的对应关系,或者说, 它给出的对应关系 6(x) 当x≠0 在通常意义下是没有意义的 6函数表示的是(任意阶可微)函数序列的极限.它所给出的“函数值”只是在积分运算中 才有意义 f(x)6(x)dx=f(0),特别是 6(x)dx=1 ★这个积分应该理解为 f(r)8(a)dr=lim/ f(a)6u(a)dr 从计算的角度来看,引进δ函数的目的,即在于简化对函数序列进行微积分计算、而后取极 限的过程.由于函数序列是由具有足够好的连续性质的函数组成的,所以,在计算中可以把δ函 数当作(任意阶)连续可微的函数处理,甚至可以定义6函数的导数6(x):对于在x=0点连续并 有连续导数的任意函数f(x),有 //(a'(z)dr=f(tr)o(a) - -/ f(r)8(a)dr f(0) 这里,就把6函数当作普通的连续函数一样进行分部积分 ★δ函数并不是给出普通的数值之间的对应关系,也并不像普通函数那样具有唯一、确定的表 达式 ★凡是具有 lim/ f(r)(r)dr= f(o) l→0 性质的函数序列(x),或是具有 f(ar)8n (r)dr= f(o) 性质的函数序列6n(x),它们的极限都是6函数
✁✂ δ ✄ ☎ 3 F δ ➘➴✔þ ØÙÿ✃✁✂➭➘➴✄ ☎þ✆ ➨✝✞➘➴✟ ✠ ✡ ➺☛➦➭➬☞✌✍✔✎✏✑✔ ☎ ✝✞➭ ➬☞✌✍ δ(x) = ( 0, ➷ x 6= 0; ∞, ➷ x = 0 ➞ ÿ✃✁✂Ù✆ ➨ ✃✁ ➭ ✕ F δ ➘➴ ✒✓➭Ù (➱✃✔✕✖) ➘➴✗✘➭Þ×✕☎ ✙ ✝✞➭ ✏➘➴Ñ✓ÚÙ➞ Ö➳✚✛ Ð ✜ ➨ ✃✁ ✕ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0), ✢✣Ù Z ∞ −∞ δ(x)dx = 1. F ✤➼Ö➳ ☞✥Ó✦➻ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx. ✧★✛➭✩➹✪✫✔✬✭ δ ➘➴➭ ✮➭✔✯➞➮✰✱➬ ➘➴✗✘✭✲✖ Ö➳ ★ ✛✻ æ✳✴Þ ×➭✵✶✕✷➮ ➘➴✗✘Ù ✷✸➨✹✺✻➭❒❮✼✽➭➘➴✾✿➭✔✙❀✔➞★ ✛ Ð✕❀❁ δ ➘ ➴➷Ý (➱✃✔ ) ❒❮✕✖➭➘➴❂Ó✔❃❄✕❀ Ò✁ δ ➘➴➭❅➴ δ 0 (x) ✄ ➬➮➞ x = 0 ä❒❮þ ➨❒❮❅➴➭➱✃➘➴ f(x) ✔➨ Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx = f(x)δ(x) ∞ −∞ − Z ∞ −∞ f 0 (x)δ(x)dx = −f 0 (0). ✤❆✔Ü❁ δ ➘➴➷Ý❇ ÿ➭❒❮➘➴❐❈ ✭✲➳❉Ö➳ ✕ F δ ➘➴þ ØÙ✝✞❇ ÿ➭➴Ñ☛➦➭➬☞✌✍✔❊þ Ø❋ ❇ ÿ➘➴● ❈✸ ➨❍ ❐ ✻ ■ Ò➭✒ ❏❑✕ F ▲Ù✸ ➨ lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(0) ✼✽➭➘➴✗✘ δl(x) ✔✎ Ù✸ ➨ limn→∞ Z ∞ −∞ f(x)δn(x)dx = f(0) ✼✽➭➘➴✗✘ δn(x) ✔☎▼➭Þ×◆Ù δ ➘➴✕
图10.26函数的通近序列举例 有关δ函数的等式,也应当从积分意义下去理解.例如 r6(x) 6(-x)=0(x) 6(-x)=-6(x) ax)=6(x), g(x)6(x)=g(0)6(x) 就分别应该理解为 f(r)rb(r)dr =0, f(r)8(-c)dr f(r)8(a)dx, f(ar)8(-c)dr f(a)8(ar)dz, f(r)6(ar)dr=/f(a)25(r)dr, ★6函数还可以表示成初等函数的微商.由于 因此 6(x)= dn(ar)
§10.1 δ ✄ ☎ 4 n √ π e −n2x 2 n π 1 1 + n2x2 sin nx πx ➑ 10.2 δ ❖P↔◗❘❙❚❯❱ F ➨ ✌ δ ➘➴➭❲ ❑ ✔❊☞ ➷ ✧ Ö➳ ✃✁✂❳Ó✦ ✕❨➛ xδ(x) = 0, δ(−x) = δ(x), δ 0 (−x) = −δ 0 (x), δ(ax) = 1 |a| δ(x), g(x)δ(x) = g(0)δ(x) Ü➳✣ ☞✥Ó✦➻ Z ∞ −∞ f(x)xδ(x)dx = 0, Z ∞ −∞ f(x)δ(−x)dx = Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx, Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (−x)dx = − Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx, Z ∞ −∞ f(x)δ(ax)dx = Z ∞ −∞ f(x) 1 |a| δ(x) dx, Z ∞ −∞ f(x)g(x)δ(x)dx = Z ∞ −∞ f(x) g(0)δ(x) dx. F δ ➘➴❩ ✕❀ ✒✓✿❬❲➘➴➭✖❭✕✷➮ Z x −∞ δ(x)dx = η(x), ❪❫✔ δ(x) = dη(x) dx .
也可以对δ函数作 Laplace变换 8(t-to)e-ptdt=e-pto, to>0 ★6函数也可以表示成初等函数的 Fourier积分.因为 所以,根据 Fourier变换的反演公式,有 维或三维δ函数 ★在平面上(xo,3)点处有一个单位点电荷,那么,它的密度分布函数就是b(x-xo)6(y-o) ★在三维空间(xo,3,)处有一个单位点电荷,它的密度分布函数就是6(x-ro)6(y-)6(2 ★从三维空间来看,所谓一维点电荷应该是三维空间内的面电荷;二维点电荷就是三维空间内 的线电荷 例10.1证明 V2-=-46(r) 其中 ax2 ay 2 a22 称为 Laplace算符,r=√r2+y2+z2,6(x)=6(a)6(y)6(2) 证正像前面指出的,凡是涉及δ函数的等式都应该从积分意义下去理解,即应该去证明 rydz 当r=0gV; 当r=0∈V 当r≠0时,直接微商可得 ax√m+y2+2(x2+y2+2)3/2 x2m2+y2+2(x2+y2+2)y2 同理, y2r2+y2+2z (x2+y2+2)5/2 r2+y2+2 22.215/2
✁✂ δ ✄ ☎ 5 F ❊✕❀➬ δ ➘➴Ý Laplace ✡❴✔ δ(t − t0) ; Z ∞ 0 δ(t − t0)e−ptdt = e−pt0 , t0 > 0. F δ ➘➴❊✕❀ ✒✓✿❬❲➘➴➭ Fourier Ö➳ ✕❪ ➻ Z ∞ −∞ δ(x)e−ikxdx = 1, ✙❀✔❰Ï Fourier ✡❴➭❵❛❜❑ ✔➨ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ e ikxdk. ❝❞❡❢❞ δ ❣❤ F ➞✐❥➤ (x0, y0) ä❂➨ ❐ ➼➽➾ä ➯➲✔●❦✔☎ ➭➶➹➳➵➘➴ÜÙ δ(x− x0)δ(y − y0) ✕ F ➞❧♠♥➦ (x0, y0, z0) ❂➨ ❐ ➼➽➾ä ➯➲✔☎ ➭➶➹➳➵➘➴ÜÙ δ(x − x0)δ(y − y0)δ(z − z0) ✕ F ✧❧♠♥➦✪✫✔✙♦❐♠ ä ➯➲☞✥Ù❧♠♥➦ ➧➭❥ ➯➲♣q♠ ä ➯➲ÜÙ❧♠♥➦ ➧ ➭ ➢ ➯➲✕ r 10.1 s t ∇2 1 r = −4πδ(r), ✉ Ð ∇2 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 ✈ ➻ Laplace ✛✇✔ r = p x 2 + y 2 + z 2, δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) ✕ ① ② ❋③❥④✞➭✔▲Ù⑤⑥ δ ➘➴➭❲ ❑ ◆ ☞✥✧Ö➳ ✃✁✂❳Ó✦✔✯☞✥❳s t Z ZZ V ∇ 2 1 r dxdydz = ( 0, ➷ r = 0 6∈ V ; −4π, ➷ r = 0 ∈ V. ➷ r 6= 0 á✔➡⑦✖❭✕â ∂ ∂x 1 p x 2 + y 2 + z 2 = − x (x 2 + y 2 + z 2) 3/2 , ∂ 2 ∂x2 1 p x2 + y 2 + z 2 = 3x 2 − x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y 2 + z 2) 5/2 . ⑧ Ó✔ ∂ 2 ∂y2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3y 2 − x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y 2 + z 2) 5/2 , ∂ 2 ∂z2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3z 2 − x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y 2 + z 2) 5/2
三式相加,即得 0,r≠0. 这样就证得:当积分体积V内不包含原点r=0时,积分恒为0 当积分体积V内包含原点r=0时,由于函数1/r在r=0点不可导,上面的结果不成立.这 时不妨将V就取为整个(三维)空间.容易得到 dzdydz a→0 / +a2)a2r2 dr sin eded 127 lim 令r=atanθ,即可证明上面的积分与a无关,且 an 6 V--dzdydz =-127T (1+tan2) 12丌 sin e cos ede -127.-sing 4丌.口
§10.1 δ ✄ ☎ 6 ❧❑⑨⑩✔✯â ∇2 1 r = 0, r 6= 0. ✤ ❈ Üsâ✄➷Ö➳❶Ö V ➧Ø❷❸❹ä r = 0 á✔Ö➳❺➻ 0 ✕ ➷Ö➳❶Ö V ➧❷❸❹ä r = 0 á✔✷➮ ➘➴ 1/r ➞ r = 0 äØ ✕ ❅✔➤❥ ➭❻❼Ø✿❽✕ ✤ áØ❾❿ V Ü✴ ➻➀➼ (❧♠) ♥ ➦ ✕➁➂âã ZZ Z ∇2 1 r dxdydz = lim a→0 Z ZZ ∇2 1 √ r 2 + a 2 dxdydz = − lim a→0 ZZ Z 3a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr sin θdθdφ = − 12π lim a→0 Z ∞ 0 a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr, ➃ r = a tan θ ✔✯✕ s t➤❥ ➭Ö➳✟ a ➟✌ ✔ç ZZ Z ∇2 1 r dxdydz = −12π Z π/2 0 tan2 θ 1 + tan2 θ 3/2 dθ = −12π Z π/2 0 sin2 θ cos θdθ = −12π · 1 3 sin3 θ π/2 0 = −4π.
第十章函数 810.2利用6函数计算定积分 利用δ函数的常用积分表达式 cos kzk I cos krak 也可以计算定积分.下面通过几个例题来说明一般的计算步骤 例10.2计算积分 解考虑辅助积分 sin ar F 显然有 F()= cos Ar dr=2no(A) 所以 F(A)=2m()+C 其中C为积分常数,待定.故当λ>0时, F(A)=2+C 考虑到F()是A的奇函数, 即可定出C 因此 入>0; F 入<0. 特别是,当入 就有 dr=7 sin 2 例10.3计算积分I x2+x+1 解引进辅助积分 F(入) 它满足微分方程 ()-iF(A)+F(A)=276(入)
✁✂ δ ✄ ☎ 7 §10.2 ➄➅ δ ❿➀➆➇➈➉➊ ➋➌ δ ➘➴➭➌ Ö➳✒ ❏❑ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ e ikxdk, ✎ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ cos kxdk = 1 π Z ∞ 0 cos kxdk, ❊✕❀★ ✛ÒÖ➳ ✕✂❥ ÿ✵➍➼ ❨➎✪ ✑ t ❐➏ ➭ ★ ✛➐➑✕ r 10.2 ★ ✛Ö➳ Z ∞ −∞ sin x x dx ✕ ➒ ➓➔→➣Ö➳ F(λ) = Z ∞ −∞ sin λx x dx, ↔↕➨ F 0 (λ) = Z ∞ −∞ cos λx dx = 2πδ(λ). ✙❀ F(λ) = 2πη(λ) + C, ✉ Ð C ➻Ö➳➴✔➙Ò✕➛ ➷ λ > 0 á✔ F(λ) = 2π + C, F(−λ) = C. ➓➔ã F(λ) Ù λ ➭➜➘➴✔ F(−λ) = −F(λ), F(0) = 0, ✯✕ Ò✞ C = −π ✕❪❫ F(λ) = π, λ > 0; 0, λ = 0; −π, λ < 0. ✢✣Ù✔➷ λ = 1 ✔Ü➨ Z ∞ −∞ sin x x dx = π. r 10.3 ★ ✛Ö➳ I = Z ∞ −∞ sin 2x x 2 + x + 1 dx ✕ ➒ ✬✭→➣Ö➳ F(λ) = Z ∞ −∞ e iλx x 2 + x + 1 dx, ☎➝✹ ✖ ➳➞✶ −F 00(λ) − iF 0 (λ) + F(λ) = 2πδ(λ). (F)
§10.2利用δ函数计算定积分 这是一个特殊的二阶常微分方程:其非齐次项含有δ函数.这种特殊性表现在两方面 当A≠0时,()=0,方程是齐次的 当入=0时,F(川)是连续的, im[F(0-)-F(0+E)=0 但F(λ)并不连续, P"()+iF(x)-F()dx=-2x/6(x 一E 由于F(入)在λ=0点连续,故当ε→+0时,上式左 端第二项和第三项的积分均趋于0,于是 lim F() 2. F'(λ)在λ=0点的不连续性,即F(λ)在λ=0点的左右极限存在但不相等,恰好反映 了二阶微分方程(★)的非齐次项为δ函数 现在回到微分方程(★)的求解上.因为当入≠0时6(X)=0,所以 考虑到F()有界,A和D必为0;再因为F(入)在A=0点连续, B=C: F()在入=0点不连续 因此求得 √3 所以 2-√3M/2e-i/2 F(入 所要求的积分即为 I=Im F(2)=--
§10.2 ➟➠ δ ✄☎➡➢➤➥➦ 8 ✤Ù❐ ➼✢➧➭q✔ ✖ ➳➞✶✄✉➨➩➫➭❸➨ δ ➘➴✕ ✤➯✢➧✼✒➲➞➳ ➞ ❥ ✄ • ❇ λ 6= 0 ✿ ✔ δ(λ) = 0 ✔❚❯✖➵➸✎✔ • ❇ λ = 0 ✿ ✔ F(λ) ✖ ôõ✎✔ limε→+0 [F(0 − ε) − F(0 + ε)] = 0, ➺ F 0 (λ) ➻➼ôõ✔ Z 0+ε 0−ε h F 00(λ)+iF 0 (λ)−F(λ) i dλ = −2π Z 0+ε 0−ε δ(λ)dλ = −2π. ✗ ✲ F(λ) ✥ λ = 0 ✶ôõ✔➽ ❇ ε → +0 ✿ ✔❆➾➚ ➪ ➶➹➘▲ ➶➴➘✎▼❑➷➬✲ 0 ✔✲ ✖ limε→+0 F 0 (λ) 0+ε 0−ε = −2π. F 0 (λ) ✥ λ = 0 ✶✎➼ôõ➮✔➱ F 0 (λ) ✥ λ = 0 ✶✎➚✃❣ú❐✥➺ ➼❒❁ ✔❮❰ÏÐ Ñ➹Ò❏❑❚❯ (F) ✎ Ó ➵➸➘❫ δ ✑✒✕ ➲ ➞ Ô ã✖ ➳➞✶ (F) ➭Õ✦➤✕❪ ➻➷ λ 6= 0 á δ(λ) = 0 ✔✙❀ F(λ) = Ae λe −π i/6 + Be λe −5π i/6 , λ > 0; Ce λe −π i/6 + De λe −5π i/6 , λ 0; 2π √ 3 e √ 3λ/2 e −iλ/2 , λ < 0. ✙Û Õ➭Ö➳✯➻ I = Im F(2) = − 2π √ 3 e − √ 3 sin 1
F()在A=0点不连续性的验证 F(入) zev3A/2e-iA/2 入<0. 或者统一写成 特别是,在λ=0点,F()的左右极限为 mF(0±)
✁✂ δ ✄ ☎ 9 F 0 (λ) Ú λ = 0 ÛÜÝÞßàá① F 0 (λ) = − h 1 + i √ 3 i πe − √ 3λ/2 e −iλ/2 , λ > 0; h 1 − i √ 3 i πe √ 3λ/2 e −iλ/2 , λ < 0, âãä☞ ✴å F 0 (λ) = h 1 − i √ 3 − 2η(λ) i πe − √ 3|λ|/2 e −iλ/2 . æç✖ ✔✥ λ = 0 ✶✔ F 0 (λ) ✎ ➚✃❣ú❫ limε→+0 F 0 (0 ± ε) = − π i √ 3 ∓ π