第十四讲(一)偏微分方程定解问题 814.1边界条件与初始条件 ★只根据 Newton第二定律列出的动力学方程并不能唯一地确定质点的运动 ★要完全确定一个质点的运动,除了微分方程之外,还必须有初始条件.否则二阶常微分方程 的通解中含有两个任意常数,因而解不是唯一确定的 只有偏微分方程,也不能唯一地、确定地描写某一个具体的物理过程. ★二阶偏微分方程的通解,含有两个任意函数.例如,偏微分方程 n(,y)=0 的通解就是 u(, y)=ci(y)+ac2(y) 其中c1(y)和c2(y)是y的任意函数 仅有方程,而解并不唯一从物理上来看,也是自然的,因为 ★在推导方程时,只考虑了介质的内部,并没有考虑介质通过表面和外界的相互作用.因此 严格说来,方程只适用于介质内部 ★如果问题与时间有关的话,在推导方程时也并没有考虑介质的历史状况.如果我们适当选取 计时的零点,那么,就可以说,方程也只适用于t>0的任一时刻 为了完全描写一个具有确定解的物理问题,在数学上就是要构成一个定解问题,这除了微分 方程之外,还必须有边界条件和初始条件 初始条件初始条件应该完全描写初始时刻(t=0时)介质内部及边界上任意一点的状况 ★对于波动方程来说,就是应该给出初始时刻的位移和速度(如果是力学问题的话) du p(r, y, 2) v(x,3,z),(x,y,z)∈V ★对于热传导方程,由于方程中只出现未知函数u(x,y,z,t)对t的一阶偏微商,所以只需给出
Wu Chong-shi ✁ ✂✄ (☎) ✆✝✞✟✠✡☛☞✌ §14.1 ✍✎✏✑✒✓✔✏✑ F ✕✖✗ Newton ✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✚✰✱✣✲✤✳ F ✴✵✶✯✚✭✷✰✱✣✲✤✸✹✺✻✼✧★✽✾✸✿❀❁❂❃❄❅❆✳❇❈✙❉❊✻✼✧★ ✣❋● ❍■❂❏✷❑▲❊▼✸◆❖●✪P✬✭✯✚✣✳ F ✕❂◗✻✼✧★✸❘✪✫✬✭✮❙✯✚✮❚❯❱✭✷❲❳✣❨❩❬★✳ F ✙❉◗✻✼✧★✣❋●✸■❂❏✷❑▲❭▼✳❪❫✸◗✻✼✧★ ∂ 2u(x, y) ∂x2 = 0 ✣❋●❴P u(x, y) = c1(y) + xc2(y), ❵ ❍ c1(y) ❛ c2(y) P y ✣❑▲❭▼✳ ❜ ❂✧★✸❖●✩✪✬✭✳❝❨❩❞❡❢✸❘P ❣ ❤ ✣✸◆✐ F ❥❦❧✧★♠✸✕♥♦✺♣✰✣ qr✸✩s❂♥♦♣✰❋❬t✉❛✾✈✣✇①②③✳◆④✸ ⑤⑥⑦❡✸ ⑧⑨⑩❶❷❸❹❺❻❼✳ F ❫❽❾❿➀♠➁❂➂✣➃✸❥❦❧✧★♠❘✩s❂♥♦♣✰✣➄➅➆➇✳❫❽➈➉➊➋➌➍ ➎ ♠✣➏✱✸➐➑✸❴➒➓⑦ ✸ ⑧⑨➔⑩❶❷❸ t > 0 →➣↔↕➙✳ ✐✺✵✶❚❯✭✷❲❂✯✚●✣❨❩❾❿✸❥▼✦❞❴P✴➛➜✭✷✚●❾❿✸➝✹✺✻✼ ✧★✽✾✸✿❀❁❂➞✈❅❆❛❃❄❅❆✳ ➟➠➡➢ ➟➠➡➢➤➥➦➧➨➩➟➠↕➙ (t = 0 ↕) ❹❺❻❼➫➭➯➲➣➳↔➵→➸➺✳ F ➻➼➽✤✧★❡⑦ ✸❴P➾➚➪✢❃❄♠➶✣➹➘❛➴➷ (❫❽P✥✦❾❿✣➃) ✸ u t=0 = φ(x, y, z), ∂u ∂t t=0 = ψ(x, y, z), (x, y, z) ∈ V . F ➻➼➬➮❧✧★✸➱➼✧★ ❍✕✢✃❐❒❭▼ u(x, y, z, t) ➻ t ✣✭❉◗✻❮✸❰➓✕Ï➪✢
§14.1边界条件与初始条件 初始时刻的温度 (x,y,2),(x,y,z)∈ 边界亲件的形式比较多样化,要由具体问题中描述的具体状况决定.总的原则是:边界亲件 应该完全描写边界上各点在任一时刻(t≥0)的状况 弦的横振动如果弦的“两端固定”,则边界条件就是 u=0=0.ul=1=0.t≥0 杆的纵振动若x=0端固定,则x=0端的边界条件仍是 若另一端(x=l)受x方向上的外力作用,单位面积上的力 是F(t).模仿推导方程的办法,在端点x=l处截取一小块 介质,长度为ε.根据 Newton第二定律可知,这一小段介质 P(l-E, ts 所受的合力(外力加内应力),应该等于介质的质量乘以介质 I-e a=l 中某一点的加速度 图14.1端点所受外力与应力平衡 F(tS-P(l-E, t). 其中0≤a≤1.令E→0,并代入 则有 1 F(t) ·如果外力为0,即x=l端是自由的,则 ·如果外力F(t)不是一个确定的已知函数,而是由弹簧提供的弹性力,则 [a(,t) k是弹簧的劲度系数,于是, 热传导问题常见的边界条件有下列几种类型: ★边界上各点的温度已知
Wu Chong-shi §14.1 ÐÑÒÓÔÕÖÒÓ × 2 Ø ❃❄♠➶✣Ù➷ u t=0 = φ(x, y, z), (x, y, z) ∈ V . ➭➯➡➢ ✣ÚÛ ÜÝÞßà✸✴ ➱❲❳❾❿ ❍❚á✣❲❳➆➇â✚✳ ã→äåæç➭➯➡➢ ➤➥➦➧➨➩➭➯➲è➵é➣↔↕➙ (t ≥ 0) →➸➺✳ ê →ëìí ❫❽î✣ ï ðñòó ô ✸❈➞✈❅❆❴P u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0. õ →öìí ÷ x = 0 ñòó ✸❈ x = 0 ø✣➞✈❅❆ùP u x=0 = 0. ÷ ú↔ñ (x = l) û x ⑧ü➲→ýþÿ❷ ✸➹✉✁❞✣✥ P F(t) ✳✂✄❦❧✧★✣☎✆✸❥ø✱ x = l ✝✞➍✭✟✠ ♣✰✸✡ ➷✐ ε ✳✖✗ Newton ✘✙✚✛➒❒✸➝✭✟☛♣✰ ❰☞✣✌✥ (✾✥✍ q➾✥) ✸➾➚✎➼♣✰✣✰✏✑➓♣✰ ❍❱✭✱✣✍➴➷✸ ρεS ∂ 2u ∂t2 x=l−αε = F(t)S − P(l − ε, t)S, ✒ 14.1 ✓✔✕✖✗✘✙✚✘✛✜ ❵ ❍ 0 ≤ α ≤ 1 ✳✢ ε → 0 ✸✩✣✤ P = E ∂u ∂x, ❈❂ ∂u ∂x x=l = 1 E F(t). • ❫❽✾✥✐ 0 ✸✥ x = l ñ æ ✦✧→ ✸❈ ∂u ∂x x=l = 0. • ❫❽✾✥ F(t) ✪P✭✷✯✚✣ ★❒❭▼✸❖P ➱✩✪✫✬✣✩✭✥✸❈ F(t) = −k u(l, t) − u0 , k P✩✪✣✮➷✯▼✸➼P✸ ∂u ∂x + k E u x=l = k E u0. ✰✱✲✳✴ ❊✵✣➞✈❅❆❂✶✜✷✸✹✺ç F ➭➯➲è➵→✻✼✽✾✸ u Σ = φ(Σ, t).
第十四讲(一)偏微分方程定解问题 第3页 ∑表示边界上的变点,同时也表示这些点的坐标 单位时间内、通过单位面积的边界面流人的热量已知 在边界内侧截取一小薄层介质,一个底面在介质的表面, 另一个底面在介质内部.柱体的两底面积相等,厚度趋于0 根据能量守恒定律可知,介质从两个底面及侧面流入的热量 之和,应该等于这一块介质温度升高所需要的热量.但是,当 介质的厚度趋于0时,通过侧面流入的热量应该趋于0(因为 侧面积趋于0),介质的热容量趋于0(因为介质的质量趋于 0),因此,通过介质表面流入的热量,应当全部通过薄层的另 底面流向介质内部.于是,可以写出边界条件 图142边界面处的热流连续 rv(∑,t), 其中an1称为法向微商,它是梯度矢量在外法线方向n上的投影 nV即 ·边界绝热,则v≡0 ins ★介质通过边界按 Newton冷却定律散热:单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介 质表面温度叫和外界温度uo之差成正比,设比例系数为H H(uIs-uo) 或者写成 +hu huo 上面出现的边界条件有一个共同的特点:就未知函数而言,它们都是线性的.再进一步细分 还可以分为三类: ★第一类边界条件:给出边界上各点的函数值 ★第二类边界条件:给出边界上各点函数的法向微商值 ★第三类边界条件:给出边界上各点的函数值与法向微商值之问的线性关糸
Wu Chong-shi ✿❀❁❂ (❃) ❄❅❆❇❈❉❊❋● × 3 Ø Σ t❍➞✈❞✣■✱✸❏♠❘t❍➝❑✱✣▲▼✳ F ◆❖↕P❻❙◗❘◆❖❙❚→➭➯❙❯❱→ ✰❲✽✾✳ ❥➞✈ q❳ ✞➍✭✟❨❩♣✰✸✭✷❬✉❥♣✰✣t✉✸ ❭ ✭✷❬✉❥♣✰ qr✳❪ ❳✣❏❬✉✁✇✎✸ ❫ ➷❴➼ 0 ✳ ✖✗✫✏❵❛✚✛➒❒✸ ❜❝❞❡❢❣ ❤✐❥ ❤❦❧♠ ♥♦ ♣q✸ rst✉✈✇①❜❝②③④ ⑤⑥⑦⑧♠ ♥♦✳ ⑨ P✸➋ ♣✰✣❫ ➷❴➼ 0 ♠✸❋❬❳ ✉⑩✤✣➬✏➾➚❴➼ 0 (◆✐ ❳ ✉✁❴➼ 0) ✸♣✰✣➬❶✏❴➼ 0 (◆✐♣✰✣✰✏❴➼ 0) ✸◆④✸❋❬♣✰t✉⑩✤✣➬✏✸➾➋✶r❋❬❨❩✣ ❭ ✭❬✉⑩ ❷♣✰ qr✳➼P✸➒➓❯✢➞✈❅❆ ∂u ∂n Σ = 1 k ψ(Σ, t), ✒ 14.2 ❸❹❺❻❼❽❾❿➀ ❵ ❍ ∂ ∂n ➁ ✐✆ ❷✻❮✸➂P➃➷➄✏❥✾✆➅✧ ❷ n ❞✣➆➇✸ ∂ ∂n = n · ∇ ✥ ∂u ∂n = n · (∇u). • ➭➯➈ ✰ ✸❈ ψ ≡ 0 ✸ ∂u ∂n Σ = 0. F ❹❺◗❘➭➯➉ Newton ➊➋ó➌➍✰ ç◆❖↕P◗❘◆❖❙❚➎❙➏ý➯➐➑→ ✰❲➒❹ ❺➎❙✻✼ u|Σ ➏ý➯✻✼ u0 ➓➔→➣↔ ✳↕ Ü❪✯▼✐ H ✸ −k ∂u ∂n Σ = H u Σ − u0 , ➙➛❯➜ ∂u ∂n + hu Σ = hu0. ❞✉✢✃✣➞✈❅❆❂✭✷➜❏✣➝✱ç❴❐❒❭▼❖➞✸➂➉➟P➅✭✣✳➠➡✭➢➤✼✸ ✿➒➓✼✐➥✹ç F ➦ ✇ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸♠➺➻➼ F ➦➽ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸➺➻♠➾ ➚➪➶➼ F ➦➹ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸♠➺➻➼➘➾ ➚➪➶➼♣ ➴♠➷➬ ➮➱
§14.1边界条件与初始条件 第4页 在整个边界面上,各点的边界条件并不一定能冇统一的表达式,也不见得同属于一种 类型.其实上面讨论的弹性杄的边界条件,就是如此 ★无界空间的问题 这时的边界条件就应当给出未知函数在无穷远处的极限行为,例如 函数乃至它的导数在无穷远处有界 在有界空间的问题中,有时也要出现有界条件.例如,当我们采用极坐标糸、柱坐标糸 或球坐标亲时,偏微商∂u/ωr在坐标原点失去意义.因而需要针对具体情况,在坐标原 点补充上有界条件或其他条件
Wu Chong-shi §14.1 ÐÑÒÓÔÕÖÒÓ × 4 Ø ✃ ❐ ❢ ➨➩ ❤ ➳ ✸ ➵➸♠ ➨➩➫➭❒❮✇❰ÏÐÑ✇♠ÒÓÔ✸Õ ❮Ö× ØÙ✉✇Ú ➧Û✳Ü Ý➳ ❤Þß♠à➬á♠➨➩➫➭✸âãäå✳ F æ➯çP→ ✳✴ ➝♠✣➞✈❅❆❴➾➋ èéê✾ëìéæíîï→ðñòó ✸❪❫ ❭▼ôõ➂✣❧▼❥ö÷ø✝❂✈✳ ✃Ð➩ ù➴ ♠ úû ü✸ ÐýÕ⑧ ➲þÐ➩➫➭✳ ÿ ä✸✁✂✄☎✆✝✞ ➱❙ ✟ ✝✞ ➱ ✠✡✝✞ ➱ ý ✸ ☛ ➪➶ ∂u/∂r ✃ ✝✞☞➸✌✍✎✏✳✑✒⑦⑧✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜☞ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬★✩✭
第十四讲(一)偏微分方程定解问题 第5页 814.2定解问题的适定性 在什么条件下,定解问题的解是存在的,唯一的,并且是稳定的? 解的存在性——定解问题有解. 如果定解条件过多,互相矛盾,则定解问题无解,.例如,如果一方面要求弦的两端固定,另一 方面又要求它的端点受到确定的外力作用.这两个要求就是互相矛盾的 ★解的唯一性——定解问题的解是唯一的 如果定解条件不足,定解问题的解就不是唯一的 所以,要求定解问題的解存在并且唯一,就是要求定解问题抽象得“合理”,定解条件 要不多不少,恰到好处 ★解的稳定性—如果定解问题中的已知条件(例如方程或定解条件中的已知函数有微 小改变时,解也只有微小的改变 在构造定解间题时,不可避免地总要作简化和近似,显然,只有在稳定性所许可的限度内所 作的简化和近似才是有意义的 所谓定解问题解的存在性、唯一性和稳定性,统称适定性 只要对实际物理问题的抽象是合理的,初始条件的确是完全地、确定地描写了初始时刻(通常 取为t=0)体系内部以及边界面上任意一点的状况,边界条件的确是完全而且确定地描写了边界 面上任意一点在t≥0的状况,那么,这样构成的定解问题就一定是适定的,也就是说,解一定是 存在的、唯一的,并且是稳定的 与此相关的问题是,初始条件和边界条件中出现的已知函数必须满足一定的连续性要求 以热传导问题为例.如果边界条件是 u(x,y,2,t)=f(E,1 而初始条件是 u(x,y,2,t)=0=9(x,y,2) 那么,就应当有 f(,t)=0=叭(x,y,2) 有些定解问题不一定满足这个要求,可以设想,把初始温度分布为o(x,y,2)的一块介质 放到一个恒温环境(例如温度恒为o)中,从而使介质表面的温度也迅速达到恒温uo 如果要求的精度许可,介质表面冷却或升温过程的影响可以忽略,那么,就可以简单地 将边界条件写成
Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (✲) ✳✴✵✶✷✸✹✺✻ ✼ 5 ✽ §14.2 ✾✿❀❁❂❃✾❄ ❅❆❇❈❉❊✙❋●❍■❏●❑▲❅ ❏✙▼◆❏✙❖P❑◗❋❏ ❘ F ●❏▲❅❙ ❋●❍■❚●✭ ❯❱❲❳❨❩❬❭✙ ❪❫❴❵✙ ❛❲❳❜❝❞❳✭❡❯✙ ❯❱❢❣❤✐❥❦❧♠♥ ♦❲✙ ♣❢ ❣❤q✐❥r❧♥st✉✈❲❧✇①②③✭④♠⑤✐❥⑥⑦❪❫❴❵❧✭ F ●❏▼◆❙ ❋●❍■❏●❑▼◆❏✭ ❯❱❲❳❨❩⑧⑨✙ ❲❳❜❝❧❳⑥⑧⑦⑩❢❧✭ ❶ ❷✙❸❹❺❻ ❼❽❾❻❿✚➀➁➂➃✙➄➅❸❹❺❻ ❼❽➆➇➈ ➉➊➋➌✙❺❻★✩ ❸➍ ➎➍ ➏✙➐➑➒➓✭ F ●❏◗❋❙ ➔→❋●❍■➣❏↔↕❈❉ (➙ ➔➛➜➝❋ ● ❈❉➣❏↔↕➞➟) ❚➠ ➡➢➤➥✙●➦➧❚➠➡ ❏ ➢➤✭ ➨➩➫❲❳❜❝➭✙ ⑧➯➲➳➵➸✐②➺➻➼➽➾✭➚➪✙➶➹➨➘❲➴➷➬➯❧➮➱ ✃➷ ②❧➺➻➼➽➾❐⑦➹❒❮❧✭ ❰Ï❋●❍■●❏▲❅❙Ð▼◆❙Ñ◗❋❙ ✙ÒÓÔ❋❙✭ ➧ÕÖ×ØÙÚ❍■❏ÛÜ❑ÝÚ❏✙Þß❈❉❏à❑áâãÐ à❋ãäåæÞß➥ç (èé êë t = 0) ìíîïðñòóôõö÷◆ø❏ùú✙òó❈❉❏à❑áâûPà❋ãäåæòó ôõö÷◆ø❅ t ≥ 0 ❏ùú✙ü❇ ✙ ýþÿ ❏❋●❍■✁◆❋❑Ô❋❏✙➦✁❑✂✙●◆❋❑ ▲ ❅ ❏ Ð ▼◆❏✙❖P❑◗❋❏✭ ✄☎❫✆❧❜❝⑦✙ Þß❈❉Ñòó❈❉➣✝✞❏↔↕➞➟✟✠✡☛◆❋❏☞✌❙ Õ✍ ✭ ✎✏✑✒❜❝✓❡✭❯❱✔✕❨❩⑦ u(x, y, z, t) Σ = f(Σ, t), ✖✗✘❨❩⑦ u(x, y, z, t) t=0 = φ(x, y, z), ✙✚✙ ⑥✛✜➹ f(Σ, t) t=0 = φ(x, y, z) Σ . ➹✢ ❲❳❜❝⑧❢❲✣⑨④⑤✐❥✭➯✎✤✥✙ ✦✗✘✧➱★✩✓ φ(x, y, z) ❧❢✪✫✬ ✭✉❢⑤✮✧✯✰ (❡❯✧➱✮✓ u0) ✱✙ ✲✖✳✫✬✴❤❧✧➱✵✶✷✸✉✮✧ u0 ✙ ❯❱✐❥❧✹➱➬➯✙ ✫✬✴❤✺✻✼✽✧❬✾❧✿❀➯✎❁❂✙ ✙✚✙ ⑥➯✎➺❃➵ ❄✔✕❨❩❅❆ u(x, y, z, t) Σ = u0
§142定解问题的适定性 第6页 这样做的结果,尽管和精确的边界条件还有差别,但只要这种差别足够小,那么,解的 稳定性就告诉我们,由此引起的解的差异也是足够小的.当然,如果我们就是要研究这 种冷却或升温过程的影响,这种近似就是不可取的
Wu Chong-shi §14.2 ✸✹✺✻❇❈✸❉ ✼ 6 ✽ ④❊❋❧●❱ ✙ ❍■➼✹✈❧✔✕❨❩❏ ➹❑▲✙ ▼ ➶ ✐④◆ ❑▲⑨❖P✙ ✙✚✙ ❳❧ ➘❲➴⑥◗❘❙❚✙❯ ☎❱❲❧❳❧❑❳✵⑦⑨❖P❧✭✜➪ ✙ ❯❱❙❚⑥⑦✐❨❩④ ◆✺✻✼✽✧❬✾❧✿❀✙ ④◆➽➾⑥⑦⑧➯❬❧✭
第十四讲( 分离变量法 第7页 第十四讲(二)分离变量法 偏微分方程定解问题的最常用解法,分离变量法 解常微分方程定解问题时,通常总是先求岀微分方程的特解,由线性无关的特解叠加出 通解,而后用定解条件(例如初条件)定出叠加数, 阶线性偏微分方程的求解问題,基本的方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求 解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题,情况有些不同:即使可以先求出偏微分方 程的通解,由于通解中含有待定函教,一般说来,难以直接根据定解条件定出.为了求 解偏微分方程的定解问題,就必须把求解步骤加以适当的修 814.3两端固定弦的自由振动 定解问题考虑长"l、两端固定的弦的自由振动,方及定解条件 00. t≥0 u-0=0(,m=(a),0≤x≤ 知。点所 条件都是齐次的,受外力条件是非齐次的 我们希望求得的特解具有分离变量的形式,即 u(a, t)=X(r(t) ★将u(x,t)代入方,即得 X(x)T"()=a2x"(x)r() 等式两端除x(x)T(), 1m"(t) a2 T(t) 在这个等式 传 左端只是t的函数(换句话说,x无 仿 右端只是x的函数(换句话说,t无 因,左端和右端相等,就必须共同等于一个既”x无、又"t无-的常数 入端 ,上面的 结果就可化成 T"(t)+a2T()=0
Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (❭) ✵❪❫❴❵ ✼ 7 ✽ ❛❜ ❝❞ (❡) ❢ ❣ ❤ ✐ ❥ ❦❧♠♥♦❺❻ ❼❽❾♣qr❻s ✙ ♠ t✉✈s✭ ❻q❧♠♥♦❺❻ ❼❽✇ ✙①q②➅③❹ ④❧♠♥♦❾⑤❻ ✙⑥⑦⑧⑨ ⑩❾⑤❻ ❶❷ ④ ①❻ ✙❸❹r❺❻★✩ (❺❻❼★✩) ❺ ④❶❷ ❽❾✭ ➃❿⑦⑧❦❧♠♥♦❾❹❻ ❼❽✙➀➁❾♥s➂➅➃➄➅➃❿⑦⑧q❧♠♥♦➆❾❹ ❻ ❼❽✭ ➇➈➉❿ ❷➊➋ ➌❿❾❦❧♠♥♦❺❻ ❼❽✙✗✘✦➍➍ ➎➏➐➑➒ ❷③❹ ④❦❧♠♥ ♦❾①❻ ✙⑥➈①❻ ➓➔✦→❺➣❾✙ ➃↔↕➙✙ ➛ ❷➜➝➞➟❺❻★✩❺ ④✭➅ ➠❹ ❻❦❧♠♥♦❾❺❻ ❼❽✙➄➡➢➤❹❻ ➥➦❷ ❷➧ ➨❾➩➫✭ §14.3 ➭➯➲✾➳❂ ➵➸➺➻ ❋●❍■ ➼➽➾✓ l Ð♠♥ ♦❲❧❦❧ ➚ ❯➪➶✙ ❣✾➹❲❳❨❩✓ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. ❣✾➼✔✕❨❩➘⑦➴➷❧ ✙ ✖✗✘❨❩⑦➬➴➷❧✭ ➮➱✃ ❐❹➈❾⑤❻❒✦♠ t✉✈❾❮❰✙➐ u(x, t) = X(x)T (t). F ❄ u(x, t) ÏÐ❣✾ ✙ÑÒ X(x)T 00(t) = a 2X 00(x)T (t). ÓÔ♠♥Õ✎ X(x)T (t) ✙ 1 a 2 T 00(t) T (t) = X00(x) X(x) . ➨④⑤ÓÔ ✱✙ Ö ♥ ➶ ⑦ t ❧×Ø (ÙÚÛÜ✙ ✄ x ❞✆ ) Ý♥ ➶ ⑦ x ❧×Ø (ÙÚÛÜ✙ ✄ t ❞✆ ) Þ☎ ✙ Ö ♥➼Ý♥❫Ó ✙ ⑥ßàáâÓã❢⑤ä✄ x ❞✆Ðq✄ t ❞✆❧åØ✭✤✓ −λ ✙ æ❤❧ ●❱⑥➯✎➻❆ T 00(t) + λa2T (t) = 0, X00(x) + λX(x) = 0
§14.3边界条件与初始条件 第8页 ★将u(x,t)代入边界条件,得 x(0)T(t)=0,X()T(t)=0. 这时必须有 X(0)=0,X() 这样就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的 第一步:分离变量 ★目标:分离变量形式的非零解u(x,t)=X(x)m(t) ★结果:函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T(t)满足的常微分方程 条件:偏微分方程和边界条件都是齐次的 现在出现的函数X(x)的常微分方程定解问题,特点是:微分方程中含有待定常数入 定解条件是一对齐次边界条件,这样的定解问题不同于常微分方程的初值问题 并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零解 只有当λ取某些特定值时,才有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零 解X(x) 入的这些特定值称为本征值 相应的非零解称为本征函数 函数(x)的常微分方程定解问题,称为本征值问题 [第二步。求解本征值问题 ★若λ=0,微分方程的通解是 X(r=AoI+ Bo. 代入边界条件 ()=0,X()=0, 就可以定出 A0=0,B0 这说明λ=0时微分方程只有零解.换句话说,X=0不是本征值 ★当λ≠0时,常微分方程
Wu Chong-shi §14.3 çèéêëìíéê ✼ 8 ✽ F ❄ u(x, t) ÏÐ✔✕❨❩✙Ò X(0)T (t) = 0, X(l)T (t) = 0. ④➭ßà➹ X(0) = 0, X(l) = 0. ④❊⑥î❆ï③★ðñòó❥❳ôõ★❣✾❲❳❜❝❧ ö❢÷➏ øù➤ú F ûü➏★ðñòýÔ❧➬þ❳ u(x, t) = X(x)T (t) F ÿ →➏×Ø X(x) ✣⑨❧åõ★❣✾➼✔✕❨❩✎➹ T (t) ✣⑨❧åõ★❣✾ F ❈❉➏ôõ★❣✾➼✔✕❨❩➘⑦➴➷❧ ➨✁❧×Ø X(x) ❧åõ★❣✾❲❳❜❝✙ ✂s⑦➏õ★❣✾ ✱✄➹☎ ❲åØ λ ✙ ❲❳❨❩⑦❢✆➴➷✔✕❨❩✭④❊❧❲❳❜❝⑧âãåõ★❣✾❧✗✝❜❝✭ ✞➬✆ã✟✠ λ ✝ ✙ ➘ ➹ ä✣⑨➴➷åõ★❣✾Ðq✣⑨➴➷✔✕❨❩❧➬þ❳✭ ➶➹✜ λ ❬✡ ✢ ✂❲✝➭ ✙ ❐ ➹ ä✣⑨➴➷åõ★❣✾Ðq✣⑨➴➷✔✕❨❩❧➬þ ❳ X(x) ✭ λ ❧④ ✢ ✂❲✝☛✓ ☞✌✍ ✎ ❫✛❧➬þ❳☛✓ ☞✌➞➟ ✭ ×Ø X(x) ❧åõ★❣✾❲❳❜❝✎☛✓ ☞✌✍❍■ ✭ ö✏÷➏ ✍● ☞✌✍❍■ F ✑ λ = 0 ✎õ★❣✾❧✒❳⑦ X(x) = A0x + B0. ÏÐ✔✕❨❩ X(0) = 0, X(l) = 0, ⑥➯✎❲✁ A0 = 0, B0 = 0. ④ Ü ✓ λ = 0 ➭õ★❣✾ ➶➹þ❳✭ ÙÚÛÜ✎ λ = 0 ⑧⑦✔✕✝✭ F ✜ λ 6= 0 ➭✎åõ★❣✾ X00(x) + λX(x) = 0
第十四讲( 第9页 的通解是 X(r)=Asin vAr B cos VAr, 边界条件,就有 谓 B=0.Asin√M=0. 初为A≠0,故始有√M=nπ 本征值 n=1,2,3, 相应的本征就是 Xn(r) 这下求统的奎砾值有无穷多个,它”可以用正整n标记,初此,在面的结果中,把本征值和 相应的本征稳记为An和Xn(x)
Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (❭) ✵❪❫❴❵ ✼ 9 ✽ ❧✒❳⑦ X(x) = A sin √ λx + B cos √ λx, ÏÐ✔✕❨❩✎⑥ ➹ B = 0, A sin √ λl = 0. Þ✓ A 6= 0 ✎✖ß ➹ √ λl = nπ ✎ Ñ ✔✕✝ λn = nπ l 2 , n = 1, 2, 3, · · · . ❫✛❧✔✕×Ø⑥⑦ Xn(x) = sin nπ l x. ④❊❥ Ò ❧✔✕✝ ➹ ❞✗✘⑤✎✙❚➯✎③✚✛Ø n ✜✢✎Þ✣✎✤æ✥✦✧★ ✩✎✪✔✕✝✫ ✬✭✦✔✕×Ø➘✢✮ λn ✫ Xn(x) ✯