第三十一讲变分法初步 第三十一讲变分法初步 §31.1泛函的概念 ·泛函,简单地说,就是以整个函数为自变量的函数.这个概念,可以看成是函数概念的推广 所谓函数,是指给定自变量x(定义在某区间内)的任一数值,就有 与之对应.y称为 x的函数,记为y=f(x) ·设在x,y平面上有一簇曲线y(x),其长度 =/=C 显然,y(x)不同,L也不同,即L的数值依赖于整个函数y(a)而改变.L和函数y(x)之间 的这种依赖关系,称为泛函关系 类似的例子还可以举出许多.例如,闭合曲线围成的面积,平面曲线绕固定轴而生 成的旋转体体积或表面积,等等.它们也都定了各自的泛函关糸 ·设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x),有另一个数J与之对应,则称J列为y(x) 的泛函. 这里的函数集合,即泛函的定义域,通常包含要求y(x)满足一定的边界条件,并且具有连续 的二阶导数.这样的y(x)称为可取函数 泛函是函数概念的推广·对于后者,给定一个x值,有一个函数值与之对应 对于前者,则必须给出某一区间上的函数y(x),才能得到一个泛函值J (定义在同一区间上的)函数不同,泛函值当然不同 为了强调泛函值J与函数叭(x)之间的依赖关糸,常常又把函数y(x)称为变量函数 泛函的形式可以是多种多样的,但是,在本书中我们只限于用积分 F(a, y, y)dx 定义的泛函,其中的F是它的宗量的已知函数,具有连续的二阶偏导数 如果变量函数是二元函数u(x,y),则泛函为 F(a, y, u, ur, uy) drdy
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✡ 1 ☛ ☞✌✍✎✏ ✑ ✒ ✓ ✔ ✕ §31.1 ✖ ✗ ✘ ✙ ✚ • ✛✜✢✣✤✥✦✢ ✧★✩✪✫✜✬✭ ✮ ✯✰✱✜✬✲✳✫✴✵✢ ✶✩✷✸★✜✬✴✵✱✹✺✲ • ✻✼✜✬✢★✽✾✿ ✮ ✯✰ x(✿❀❁❂❃❄ ❅) ✱❆❇✬❈✢✧❉❇✫ y ❊❋●❍✲ y ■✭ x ✱ ✜✬✢❏✭ y = f(x) ✲ • ❑ ❁ x, y ▲▼◆❉❇❖ P◗ y(x) ✢❘❙❚ L = Z C ds = Z x1 x0 q 1 + y 02 dx. ❯❱✢ y(x) ❲❳✢ L ❨❲❳✢❩ L ✱ ✬❈❬❭❪✪✫✜✬ y(x) ❫❴✯ ✲ L ❵✜✬ y(x) ❋ ❄ ✱✳❛❬❭❜❝✢■✭✛✜❜❝✲ ❞❡❢❣❤✐❥ ❦❧ ♠♥ ♦✲ ❣♣✢qr st ✉✈❢ ✇①✢ ② ✇ st③ ④⑤⑥⑦⑧ ✈ ❢⑨⑩❶❶①❷❸ ✇①✢❹❹✲❺❻❼❽⑤ ❾ ❿ ➀❢➁➂ ➃➄✲ • ❑●❪ (❂❇✜✬➅➆ ❅✱ ) ❆➇❇✫✜✬ y(x) ✢ ❉➈❇✫✬ J[y] ❊❋●❍✢➉ ■ J[y] ✭ y(x) ✱ ✛✜✲ ✳➊✱✜✬➅➆✢❩ ✛✜✱✿❀➋✢ ➌➍➎➏➐➑ y(x) ➒➓❇✿✱➔→➣↔✢ ↕➙➛❉➜➝ ✱➞➟➠✬✲✳➡✱ y(x) ■✭✶➢✜✬✲ ➤➥➦➥➧➨➩➫➭➯ ✲➲➳➵➸✢➺⑤➻➼ x ➽✢➾➻➼➂➚➽➪➶➲➹➘ ➲➳➴➸✢➷➬➮➺ ♠➱➻ ✃❐❒❢➂➚ y(x) ✢❮❰ÏÐ➻➼➁➂➽ J[y] ✲ (⑤ÑÒ Ó➻ ✃❐❒❢ ) ➂➚Ô Ó✢➁➂➽ ÕÖÔ Ó✲ × ❾ ØÙ➁➂➽ J[y] ➪ ➂➚ y(x) ➶ ❐❢ÚÛ ➃➄✢ ÜÜÝÞ➂➚ y(x) ß ×àá➂➚✲ ✛✜✱âã✶✩★ä❛ä➡✱✢å★ ✢ ❁æç èéêëì❪íîï J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y0 ) dx ✿❀✱✛✜✢❘ è✱ F ★ð✱ñ✰✱ òó✜✬✢➛❉➜➝✱➞➟ô➠✬✲ õö✯✰✜✬★➞÷✜✬ u(x, y) ✢ ➉ ✛✜✭ J[u] = ZZ S F (x, y, u, ux, uy) dxdy
其中ux≡Ou/x,uy≡Ou/oy 对于更多个自变量的多元函数,也可以有类似的定义 例31.1如图31.1所示,在重力作用下,一个质点从(xo,o)点沿平面曲线y(x)无摩擦地自 由下滑到(x1,)点,则所需要的时间 (x0,o)√29(90-3) 2a(00-u) 就是y(x)的泛函.这里,要求变量函数y(x)一定通过端点(x03)和(x1,y1).(此问题最早由 Galileo galilei提出) 例31.2弦的横振动问题.设在弦上隔离出足够短的一段弦,则该段弦的 动能=5△x/2)2 ot 势能=T△r(m ar 其中u(x,t)是弦的横向位移,ρ是弦的线密度,T是张力.这样,弦的 Hamilton作用量 2四八(就 也是位移u(x,t)的泛函 Ir/du 称为 Lagrange量 Lagrangian),而被积函数 称为 Lagrange量密度
Wu Chong-shi §31.1 ø ù ú û ü ✡ 2 ☛ ❘ è ux ≡ ∂u/∂x, uy ≡ ∂u/∂y ✲ ●❪ýä✫ ✮ ✯✰✱ä÷✜✬✢❨✶✩❉þÿ✱✿❀✲ 31.1 ✁ 31.1 õ✂ 31.1 ✻✄✢ ❁☎✆✝í✞✢ ❇✫✟✠✡ (x0, y0) ✠☛▲▼ P◗ y(x) ☞✌✍✥ ✮ ✎ ✞✏✑ (x1, y1) ✠ ✢ ➉ ✻✒ ➐✱✓❄ T = Z (x1,y1) (x0,y0) ds p 2g(y0 − y) = Z x1 x0 p 1 + y 02 p 2g(y0 − y) dx ✧★ y(x) ✱ ✛✜✲✳➊✢ ➐➑✯✰✜✬ y(x) ❇✿➌✔✕✠ (x0, y0) ❵ (x1, y1) ✲ (✖ ✗✘✙✚ ✛ Galileo Galilei ✜ ♠ ) ✁ 31.2 ✢ ✱✣✤✥✦✧✲❑❁ ✢◆★✩✪➓✫✬✱❇✭ ✢✢ ➉✮✭ ✢ ✱ ✥✯ = 1 2 ρ∆x ∂u ∂t 2 , ✰ ✯ = 1 2 T ∆x ∂u ∂x2 , ❘ è u(x, t) ★ ✢ ✱✣ ✱✲✳✢ ρ ★ ✢ ✱◗✴ ❚✢ T ★✵✆✲ ✳➡✢✢ ✱ Hamilton ✝ í ✰ S = Z t1 t0 dt Z x1 x0 1 2 h ρ ∂u ∂t 2 − T ∂u ∂x2 i dx ❨ ★✲✳ u(x, t) ✱ ✛✜✲ L = Z x1 x0 1 2 h ρ ∂u ∂t 2 − T ∂u ∂x2 i dx ■✭ Lagrange ✰ (Lagrangian) ✢❫✶î✜✬ 1 2 h ρ ∂u ∂t 2 − T ∂u ∂x2 i ■✭ Lagrange ✰✴ ❚✲
第三十一讲变分法初步 第3页 §31.2泛函的极值 何谓泛函极值? ·泛函取极值的必要条件 ·先回忆一下有关函数极值的概念 所谓函数f(x)在r0点取极小值,是指当x在xo点及其附近|x-ro<ε时,恒有 ∫(x)≥f(x0); 而如果恒有 f(x)≤f(x0), 则称函数f(x)在x0点取极大值 函数f(x)在x0点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0 f(co)=0 ·可以用同样的方法定义泛函的极值 当变量函数为y(x)时,泛函J回取极小值”的含义就是:对于极值函数y(x)及其“附近” 的变量函数y(x)+8y(x),恒有 Jy+y≥Jyl 所谓函数y(x)+6y(x)在另一个函数y(x)的“附近”,指的是: 1.|y(x)<; 2.有时还要求|6y)(x)< 这里的8y(x)称为函数y(x)的变分 ·可以仿照函数极值必要条件的导出办法,导出泛函取极值的必要条件 不妨不失普遍性地假定,所考虑的变量函数均通过固定的两个端点 x0)=a y(x1)=b, 考虑泛函的差值 F(,y+8y,y+(5y))-F(a,y,y' 当函数的变分8y(x)足够小时,可以将被积函数在极值函数附近作 Taylor展开,于是,有 Jy+8y]-JlyI {py7+7+ Syo+(8y F
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✡ 3 ☛ §31.2 ✖ ✗ ✘ ✷ ✸ • ✹✼✛✜✺❈ ✻ • ✛✜➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔ ✻ • ✽ ✾✿❇ ✞ ❉ ❜✜✬✺❈ ✱✴✵✲ ✻✼✜✬ f(x) ❁ x0 ✠➢ ✺❀❈✢★✽❁ x ❁ x0 ✠❂❘❃❄ |x − x0| < ε ✓ ✢❅ ❉ f(x) ≥ f(x0); ❫ õö❅ ❉ f(x) ≤ f(x0), ➉ ■✜✬ f(x) ❁ x0 ✠➢ ✺❆❈✲ ✜✬ f(x) ❁ x0 ✠➢ ✺❈ (✺❀❇✺❆) ✱✼➐➣↔★❁✮✠✱➠✬✭ 0 ✢ f 0 (x0) = 0. • ✶✩ í❳➡✱❈❉✿❀✛✜✱ ✺❈✲ ❊❁✯✰✜✬✭ y(x) ✓ ✢✛✜ J[y] ➢ ✺❀❈❋ ✱➏❀✧★● ●❪✺❈✜✬ y(x) ❂ ❘ ❊ ❃❄❋ ✱✯✰✜✬ y(x) + δy(x) ✢❅ ❉ J[y + δy] ≥ J[y]. ✻✼✜✬ y(x) + δy(x) ❁➈❇✫✜✬ y(x) ✱ ❊ ❃❄❋✢ ✽✱★● 1. |δy(x)| < ε ➘ 2. ❉✓❍➐➑ |(δy) 0 (x)| < ε ✲ ✳➊✱ δy(x) ■✭✜✬ y(x) ✱ ■❏ ✲ • ✶✩❑▲✜✬✺❈ ✼➐➣↔✱➠✪▼❉ ✢ ➠ ✪✛✜➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔✲ ❲◆❲❖P◗❘✥❙✿ ✢✻❚❯✱✯✰✜✬❱ ➌✔ ❲✿✱❳✫✕✠ y(x0) = a, y(x1) = b, ❩ δy(x0) = 0, δy(x1) = 0. ❚❯✛✜✱❨ ❈ J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 h F (x, y + δy, y0 + (δy) 0 ) − F(x, y, y0 ) i dx, ❁ ✜✬✱✯ï δy(x) ➓✫❀✓ ✢ ✶✩❩ ✶î✜✬❁ ✺❈✜✬❃❄✝ Taylor ❬❭✢❪★ ✢ ❉ J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i F + 1 2! h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 F + · · · dx
第4页 5+a62J+ 其中 6J[列≡ / dy ay' 0 +(6y)y y20)2+2aF i raF 分别是泛函J的一级变分和二级变分这样就得到:泛函J取极小值的必要条件是泛函的 级变分为0 F OF 6J(≡ 广y +(by) 将上式积分中的第二项分部积分,同时代入边界条件,就有 g dr oy' d aF sydr 0. 由于Sy的任意性,就可以得到 oF d OF dy dr ay 这个方程称为 Euler- Lagrange方程,它是泛函J取极小值的必要条件的微分形式.一般说来, 这是一个二阶常微分方程 对于泛函J取极大值的情形,也可以类似地讨论,并且也会得到同样形式的必要条 在导出 Euler- Lagrange方程时,实际上用到了变分法的一个重要的基本引理: 设叭a)是x的连续函数,m)具有连续的士阶导数,且m()=xn=mx)=n,=0,若 对于任意n(x) p(r)n(r)dz=0 均成立,则必有叭(x)≡0 例313设质点在有势力场中沿路径q=q(t)由to,q(to)点运动到t1,q(t1)点,它的 Hamilton 作用量是 L(t, g, i) dt 其中q和q是描写质点运动的广义坐标和广义动量,L V是动能T和势能V之差,称为 量
Wu Chong-shi §31.2 ø ù ú ❪ ❫ ✡ 4 ☛ = δJ[y] + 1 2!δ 2J[y] + · · · , ❘ è δJ[y] ≡ Z x1 x0 h ∂F ∂y δy + ∂F ∂y0 (δy) 0 i dx, δ 2J[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 Fdx = Z x1 x0 h ∂ 2F ∂y2 (δy) 2 + 2 ∂ 2F ∂y∂y0 δy(δy) 0 + ∂ 2F ∂y02 (δy) 02 i dx ï❴ ★ ✛✜ J[y] ✱❇❵✯ ï❵➞❵✯ ï✲✳➡✧❛ ✑ ● ➤➥ J[y] ❜❝❞❡➫❢❣❤✐➦➤➥➫❥ ❦■❏❧ 0 ✢ δJ[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂F ∂y + (δy) 0 ∂F ∂y0 i dx = 0. ❩ ◆ ã îï è✱♠➞♥ ï♦îï✢❳✓♣q➔→➣↔✢ ✧❉ δJ[y] = ∂F ∂y0 δy x1 x0 + Z x1 x0 h δy ∂F ∂y − δy d dx ∂F ∂y0 i dx = Z x1 x0 h ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 i δy dx = 0. ✎ ❪ δy ✱❆➇❘✢ ✧✶✩❛ ✑ ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 = 0. ✳✫❈r■✭ Euler–Lagrange ❈r✢ ð★✛✜ J[y] ➢ ✺❀❈ ✱✼➐➣↔✱s ï âã✲ ❇t✦✉ ✢ ✳★❇✫➞➟➍s ï ❈r✲ ➲➳➁➂ J[y] ✈✇①➽ ❢②③✢❼❥ ❦❞❡④⑤⑥✢⑦⑧❼⑨ÏÐ Ó⑩ ③❶❢ ➬❷❸ ❹ ✲ ❁➠✪ Euler–Lagrange ❈r✓✢❺❻◆í✑❼✯ ï ❉✱❇✫☎➐✱❽æ❾❿● ❑ φ(x) ★ x ✱➜➝✜✬✢ η(x) ➛❉➜➝✱➞➟➠✬✢➙ η(x) x=x0 = η(x) x=x1 = 0 ✢ ➀ ●❪❆➇ η(x) ✢ Z x1 x0 φ(x) η(x) dx = 0 ❱ ✸➁ ✢ ➉✼❉ φ(x) ≡ 0 ✲ ✁ 31.3 ❑ ✟✠❁❉✰ ✆➂ è☛➃➄ q = q(t) ✎ t0, q(t0) ✠➅✥✑ t1, q(t1) ✠ ✢ ð✱ Hamilton ✝ í ✰★ S = Z t1 t0 L(t, q, q˙) dt ❘ è q ❵ q˙ ★➆➇✟✠➅✥✱✺❀➈➉❵ ✺❀✥✰ ✢ L = T − V ★✥✯ T ❵✰ ✯ V ❋ ❨ ✢■✭ Lagrange ✰ ✲
第三十一讲变分法初步 第5页 Hamilton原理告诉我们,在一切(运动学上允许的)可能路径中,真实运动的(即由力学规 律决定的)路径使作用量S取极值 根据上面的讨论可知,作用量S取极值的必要条件的积分形式和微分形式分别是 [m的+=0 aL d aL 0 在给定的有势力场中,写出 Lagrange量L的具体形式,就会发现,它和 Newton力学的动力学方 程完全一样 现在讨论泛函 F(r, y, y)dr 的两种常见的特殊情形 ★泛函中的F=F(x,y)不显含y 这时的Euer- Lagrange方程就是 d aF dz ay' 0, 所以,立即就可以得到它的首次积分 F 常量C ★泛函中的F=F(y,y)不显含x 容易证明 aF d OF aF y Op dy dz ayay a af d aF 所以,这时的 Euler- Lagrange方程也可以有首次积分 F=常量C. 把这个结果应用到例31.3中,如果 Lagrange量L不显含t,则有 OL 9-L=常量C 这就是能量守恒 下面研究二元函数的情形.设有二元函数u(x,y),(x,y)∈S,在此基础上可以定义泛函 J=//F(x, y, u, ur, uy)dr : dy
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✡ 5 ☛ Hamilton ➊➋ ➌➍éê✢ ➎ ❥➏ (➐➑➒➓➔→➫ ) ➣↔↕➙➛✢➜➝➐➑➫ (➞➟➠➒➡ ➢➤➥➫ ) ↕➙➦➧➨➩ S ❜❝❡ ✲ ➫➭◆▼✱➯➲✶ó ✢ ✝ í ✰ S ➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔✱îïâã❵ s ï âãï❴ ★ δS = Z t1 t0 h ∂L ∂q δq + ∂L ∂q˙ δq˙ i dt = 0 ❵ ∂L ∂q − d dt ∂L ∂q˙ = 0. ❁✾✿✱❉✰ ✆➂ è ✢ ➇ ✪ Lagrange ✰ L ✱➛➳âã✢ ✧➵➸➺✢ ð ❵ Newton ✆➻✱✥✆➻❈ r➼➽❇➡✲ ➺❁➯➲✛✜ J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y0 ) dx ✱❳❛➍➾✱➚➪➶â ✲ F ✛✜ è✱ F = F(x, y0 ) ❲ ❯➏ y ✳✓✱ Euler–Lagrange ❈r✧★ d dx ∂F ∂y0 = 0, ✻ ✩ ✢ ➁❩✧✶✩❛ ✑ ð✱➹➘îï ∂F ∂y0 = ➍✰ C. F ✛✜ è✱ F = F(y, y0 ) ❲ ❯➏ x ➴➷➬ ➮✢ d dx h y 0 ∂F ∂y0 − F i =y 00 ∂F ∂y0 + y 0 d dx ∂F ∂y0 − ∂F ∂y y 0 − ∂F ∂y0 y 00 = − y 0 h ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 i , ✻ ✩ ✢ ✳✓✱ Euler–Lagrange ❈r❨ ✶✩❉➹➘îï y 0 ∂F ∂y0 − F = ➍✰ C. ➱✳✫✃ö ❍í✑❐ 31.3 è ✢ õö Lagrange ✰ L ❲ ❯➏ t ✢ ➉❉ q˙ ∂L ∂q˙ − L = ➍✰ C, ✳✧★ ↔➩❒❮ ✲ ✞▼❰Ï➞÷✜✬✱➶â ✲❑❉➞÷✜✬ u(x, y), (x, y) ∈ S ✢ ❁Ð❽Ñ◆ ✶✩✿❀✛✜ J[u] = ZZ S F(x, y, u, ux, uy) dx dy
仍然约定,u(x,y)在S的边界r上的数值给定,即 ur固定 首先,当然要计算 F y, u EC (Su)ye Eddy 0 于是,泛函J取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0 F 6J[u]= aF +(Su) +(u) oF a/aF Su dr d 0(O ∥m(m)+(m 利用公式 aQ aP F Q dur P 6u, 就能将上面的结果化为 af a af a aF OF Su dr dy t dr +ady 8 根据边界条件,叫r固定,可知 上式右端第二项的线积分为0,所以 fa aF jUl Su dz dy=0
Wu Chong-shi §31.2 ø ù ú ❪ ❫ ✡ 6 ☛ Ò❱Ó✿ ✢ u(x, y) ❁ S ✱➔→ Γ ◆ ✱ ✬❈✾✿✢ ❩ u Γ ❲✿ . ➹ ✽✢ ❁❱➐ÔÕ J[u + δu] − J[u] = Z Z S F (x, y, u + δu, (u + δu)x, (u + δu)y) dx dy − ZZ S F(x, y, u, ux, uy) dx dy = Z Z S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i F dx dy + 1 2! Z Z S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i2 F dx dy + · · · , ❪ ★ ✢✛✜ J[u] ➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔✧★✛✜✱❇❵✯ ï✭ 0 ✢ δJ[u] = Z Z S h δu ∂F ∂u + (δu)x ∂F ∂ux + (δu)y ∂F ∂uy i dx dy = Z Z S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy i δu dx dy + ZZ S h ∂ ∂x ∂F ∂ux δu + ∂ ∂y ∂F ∂uy δu i dx dy = 0. Ö í× ã Z Z S ∂Q ∂x − ∂P ∂y dx dy = Z Γ Pdx + Qdy , ➢ Q = ∂F ∂ux δu, P = − ∂F ∂uy δu, ✧✯❩◆▼✱✃öØ ✭ δJ[u] = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy i δu dx dy + Z Γ h − ∂F ∂ux dx + ∂F ∂uy dy i δu. ➫➭➔→➣↔✢ u Γ ❲✿ ✢ ✶ó δu Γ = 0, ◆ ãÙ✕♠➞♥✱◗îï✭ 0 ✢✻✩ δJ[u] = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy i δu dx dy = 0
再利用δu的任意性,就可以导出上面的被积函数一定为 dF a aF 这就是二元函数情形下,泛函 J F(a, y, u, ur, uu)dr dy 取极值的必要条件的微分形式( Euler- Lagrange方程) 把这个结果应用到例312中弦的横振动间题上,就得到使作用量 dt at 取极值的必要条件 a2u Tau=0 t2 p ar2 这正是第13讲导出的弦的横振动方程 以上在一元函数和多元函数的泛函极值问题中,都限定了变量函数在端点或边界上取 定值,因而变量函数的变分在端点或边界上一定为0 这种泛函极值问题称为固定端点或固定边界的泛函极值问题 这类问题在数学上是最简单的,然而却又是物理上最常用 下面以一元函数为例,总结一下变分的几条简单运算法则 1.首先,由于变分是对函数y进行的,独立于自变量x,所以,变分运算和微分或微商运算 可交换次序 dy d(Sy) 即y′=(y)y 2.变分运算也是一个线性运算 8F+BSG 其中a和β是常数 3.直接计算,就可以得到函数乘积的变分法则: 6(FG)=(6F)G+F(6G) 4.变分运算和积分(微分的逆运算)也可以交换次序 8 Fdr= (sf)dr 这只要把等式两端的定积分写成级数和即可看出
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✡ 7 ☛ ÚÖ í δu ✱❆➇❘✢ ✧✶✩➠✪◆▼✱ ✶î✜✬❇✿✭ 0 ✢ ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy = 0, ✳✧★➞÷✜✬➶â ✞✢✛✜ J[u] = Z Z S F(x, y, u, ux, uy)dx dy ➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔✱s ï âã (Euler–Lagrange ❈r) ✲ ➱✳✫✃ö ❍í✑❐ 31.2 è ✢ ✱✣✤✥✦✧◆✢✧❛ ✑Û✝ í ✰ S = Z t1 t0 dt Z x1 x0 1 2 h ρ ∂u ∂t 2 − T ∂u ∂x2 i dx ➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔ ∂ 2u ∂t2 − T ρ ∂ 2u ∂x2 = 0, ✳Ü★♠ 13 Ý ➠ ✪ ✱ ✢ ✱✣✤✥❈r✲ ❦ ❒Ò➻Þ ➂➚ß ♦ Þ ➂➚❢➁➂✇➽ ✗✘ à✢❽á⑤ ❾ àá➂➚Òâã❷äå❒✈ ⑤➽✢æ⑦ àá➂➚❢àç Òâã❷äå❒➻⑤× 0 ✲ èé➤➥❝❡êëì❧í➥îïðí➥ñò➫➤➥❝❡êë ✲ ó ❞ ✗✘Ò ➚ ô ❒õ✙ ö÷❢ ✢Ö⑦ø Ý õùú❒✙ Üû❢ ✲ ✞▼ ✩❇÷✜✬✭❐✢ü ✃❇ ✞ ✯ ï ✱ý➣✣✤➅Õ❉➉ ✲ 1. ➹ ✽✢ ✎ ❪ ✯ ï ★ ●✜✬ y þÿ✱ ✢ ➁ ❪ ✮ ✯✰ x ✢✻✩ ✢ ✯ ï ➅Õ ❵ s ï❇ s✁➅Õ ✶✂✄➘☎ ✢ δ dy dx = d(δy) dx ❩ δy 0 = (δy) 0 . 2. ✯ ï ➅Õ ❨ ★❇✫◗❘ ➅Õ ✢ δ(α F + β G) = α δF + β δG, ❘ è α ❵ β ★➍ ✬✲ 3. ✆✝ÔÕ✢ ✧✶✩❛ ✑✜✬✞î ✱✯ï ❉➉● δ(F G) = (δF) G + F (δG). 4. ✯ ï ➅Õ ❵îï (s ï ✱✟➅Õ ) ❨ ✶✩✂✄➘☎ ✢ δ R b a F dx = R b a (δF) dx. ✳ë➐➱✠ã❳✕✱✿îï➇✸❵ ✬❵❩✶✷ ✪✲
第8页 5.复合函数的变分运算,其法则和微分运算完全相同,只要简单地将微分法则中的“d”换 即可.例如 8F(r, y, y) 3+8y 这里注意,引起F变化的原因,是函数y的变分,而自变量x是不变化的.所以,绝对不会出现 (OF/Ox)6x”项 这些运算法则,当然完全可以毫不困难地推广到多元函数的情形 ·作为完整的泛函极值问题,在列出泛函取极值的必要条件、即Euer- Lagrange方程后,还需 要在给定的定解条件下求解微分方程,才有可能求得极值函数 ·需要注意, Euler- Lagrange方程只是泛函取极值的必要条件,并不是充分必要条件.在给定 的定解条件下,Euer- lagrange方程的解可能不止一个,它们只是极值函数的候选者.到底 哪一(几)个解是要求的极值函数,还需要进一步加以甄别 和求函数极值的情形一样,甄别的方法有两种. ·一种是直接比较所求得的解及其“附近”的函数的泛函值,根据泛函极值的定义加以判断 这种方法不太实用,至少会涉及较多的计算 ·另一种方法是计算泛函的二级变分832J,如果对于所求得的解,泛函的二级变分取正(负) 值,则该解即为极值函数,泛函取极小(大).这种方法当然比较简便,但如果二级变分为0 则需要继续讨论高级变分 ·实际问题往往又特别简单:这就是在给定的边界条件下, Euler- Lagrange方程只有一个解, 同时,从物理或数学内容上又能判断,该泛函的极值一定存在,那么,这时求得的唯一解一 定就是所要求的极值函数
Wu Chong-shi §31.2 ø ù ú ❪ ❫ ✡ 8 ☛ 5. ☞➆✜✬✱✯ï ➅Õ ✢❘❉➉ ❵ s ï ➅Õ➼➽✌✍✎✏✑✒✓✔✕✖✗✘✙ ✚✛ ✜ d ✢✣ ✤ ✜ δ ✢✥✦✧★✩✎ δF(x, y, y0 ) = ∂F ∂y δy + ∂F ∂y0 δy 0 . ✪✫✬✭✎✮✯ F ✰✱✛✲✳✎✴✵✶ y ✛ ✰ ✗✎✷ ✸ ✰✹ x ✴✺✰✱✛ ✧✻✼✎✽✾✺✿❀❁ ✜ (∂F /∂x)δx ✢❂✧ ✪❃❄❅✘✙✎❆❇❈❉✦✼❊✺❋●✔❍■❏❑▲✵✶✛▼◆✧ • ❖P❈◗✛❘✵❙❚❯❱✎❲❳❀❘✵❨❙❚✛❩✑❬❭❪✥ Euler–Lagrange ❫❴❵✎❛❜ ✑❲❝❞✛❞❡❬❭❢❣❡✖✗❫❴✎❤✐✦❥❣❦❙❚✵✶✧ • ❜✑✬✭✎ Euler–Lagrange ❫❴✏✴❘✵❨❙❚✛❩✑❬❭✎❧✺✴♠✗❩✑❬❭✧ ❲❝❞ ✛❞❡❬❭❢✎ Euler–Lagrange ❫❴✛❡✦❥✺♥♦♣✎qr✏✴❙❚✵✶✛st✉✧ ❏✈ ✇♦ (①) ♣❡✴✑❣✛❙❚✵✶✎❛❜✑②♦③④✼⑤⑥✧ • ⑦ ❣✵✶❙❚✛▼◆♦⑧✎⑤⑥✛ ❫ ✘✐⑨⑩✧ • ♦⑩✴❶❷ ❸❹✻ ❣❦✛❡❺❻ ✜❼❽✢ ✛✵✶✛❘✵❚✎❾❿❘✵❙❚✛❞➀④✼➁➂✧ ✪⑩❫ ✘✺➃➄➅✎➆➇✿➈❺❹❑✛➉❅✧ • ➊ ♦⑩❫ ✘✴➉❅❘✵✛➋➌✰ ✗ δ 2J ✎ ✩➍✾➎✻ ❣❦✛❡✎❘✵✛➋➌✰ ✗❨➏ (➐) ❚✎✙➑❡✥P❙❚✵✶✎❘✵❨❙➒ (➓) ✧ ✪⑩❫ ✘❆❇ ❸❹✒➔✎→ ✩➍➋➌✰ ✗ P 0 ✎ ✙❜✑➣↔↕➙➛➌✰ ✗ ✧ • ➄➜❯❱➝➝➞➟⑥ ✒✓➠✪➡✴❲❝❞✛➢➤❬❭❢✎ Euler–Lagrange ❫❴✏✐♦♣❡✎ ✍➥✎➦➧➨➩✶➫ ➭➯➲➞❥➁➂✎➑❘✵✛❙❚♦❞➳❲✎➵➸✎✪➥❣❦✛➺♦❡♦ ❞➡✴✻ ✑❣✛❙❚✵✶✧