第二十四讲(一)柱函数(三 8241半奇数阶 函数 本节讨论另一类特殊的Beel函数:半奇数阶的 Bessel函数 先讨论J1/2(x) J1/2()=∑ 所以,J1/2(x)是初等函数.同样也能推出 Cos工 实际上,把J(x)的两个递推关系改写成 )xJ)=-1( 1 d 1(x) 就可以得到 J1/2(x) dr x1/3J1m2(x) 因此,任意一个半奇数阶 Bessel函数都是初等函数,都是幂函数和三角函数的复合函数 2(x)与J (x)是线性无关 而Nn+1/2(x)与J-(m+1/2)(x)线性相关 1/2(x) co(n+1/2)r:Jn+12()-J=ax+1/2( )n+J-(n+1/2)(x)
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎ (✆) ✝ ✞ ✟ (✠) §24.1 ✡☛☞✌ Bessel ✍☞ ✎✏✑✒✓✔✕✖✗✘ Bessel ✙✚✛✜✢✚✣✘ Bessel ✙✚✤ ✥✑✒ J1/2(x) ✛ J1/2(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + 3/2) x 2 2k+1/2 = r 2 πx X∞ k=0 (−) k (2k + 1)!x 2k+1 = r 2 πx sin x. ✦✧★ J1/2(x) ✩✪✫✙✚✤✬✭✮✯✰✱ J−1/2(x) = r 2 πx cos x. ✲✳✴★✵ Jν(x) ✘✶✷✸✰✹✺✻✼✽ 1 x d dx x ν Jν(x) = x ν−1 Jν−1(x), − 1 x d dx x −ν Jν(x) = x −(ν+1)Jν+1(x), ✾✿✧❀❁ x −n+1/2 J−n+1/2(x) = 1 x d dx n x 1/2 J1/2(x) = 1 x d dx nr 2 π sin x, x −n−1/2 Jn+1/2(x)= − 1 x d dx n x −1/2 J1/2(x)= − 1 x d dx nr 2 π sin x x . ❂❃★❄❅✔✷✜✢✚✣ Bessel ✙✚❆✩✪✫✙✚★ ❆✩❇✙✚❈❉❊✙✚✘❋●✙✚✤ ❍■★ Jn+1/2(x) ❏ J−(n+1/2)(x) ✩❑▲▼✹✘★ W[Jn+1/2(x), J−(n+1/2)(x)] = (−) n+1 2 πx . ◆ Nn+1/2(x) ❏ J−(n+1/2)(x) ❑▲❖✹★ Nn+1/2(x) = cos(n + 1/2)π · Jn+1/2(x) − J−(n+1/2)(x) sin(n + 1/2)π = (−) n+1J−(n+1/2)(x)
§242球 Bessel函数 324.2球 Bessel函数 Helmholtz方程V2u+k2u=0在球坐标系下分离变量时,我们曾经得到常微分方程 r2 在一般情况下=l(+1),l=0,1,2,……,本节就讨论这个方程的求解问题 ★k=0:两个线性无关解是r和r- (见第20讲) ★k≠0:可作变换x=k和y(x)=R(r),将方程变为 1 d l(l+1) x」y(x)=0 这个方程称为球Bese方程,它的形式和Bese方程非常相似 ★球Besl方程也有两个奇点,一个是x=0,正则奇点,一个是x=∞,非正则奇点,也和 Bessel方程相同 ★因此,可以试图将它化为 Bessel方程 考虑到这个方程在x=0点的指标方程 (+1) 因而指标为P1=l和P2=-(+1),和Besl方程的指标p=±u不同,故应该作变换 y()=v(z) 这样,可以预料,v(x)的微分方程在x=0点的指标就会变为 和Bese方程的特点完全一样,这样,(x)所满足的微分方程就是 1 d/ du (+1/2)2 U=0. 正是l+1/2阶的Beel方程.它的两个线性无关解就是J+1/2(x)和N+1/2(x)·在此基础上,就 可以将球 Bessel方程(1784)的线性无关解取为 i()-(h+()=∑ 2n+l nl!r(n+l+3/2) n(x)=(-)+-1()=y2N+12(x) n!r(n-l+1/2)(2 分别称为l阶球 Bessel函数和球 Neumann函数
Wu Chong-shi §24.2 P Bessel ◗❘ ❙ 2 ❚ §24.2 ❯ Bessel ✍☞ Helmholtz ❱❲ ∇2u+k 2u= 0 ❳❨❩❬✺❭❪❫❴❵❛★❜❝ ❞❡❀❁❢❣❪❱❲ 1 r 2 d dr r 2 dR dr + k 2 − λ r 2 R = 0. ❳ ✔❤✐❥❭ λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, · · · ✤ ✎✏✾✑✒❦✷❱❲✘❧♠♥♦✤ F k = 0 ✛ ✶✷❑▲▼✹♠ ✩ r l ❈ r −l−1 ✤ (♣q 20 r) F k 6= 0 ✛ ✿s❴t x = kr ❈ y(x) = R(r) ★✉❱❲❴✈ 1 x 2 d dx x 2 dy dx + h 1 − l(l + 1) x 2 i y(x) = 0. ❦✷❱❲✇✈❨ Bessel ❱❲★①✘②③❈ Bessel ❱❲④❢ ❖⑤✤ F ❨ Bessel ❱❲✮⑥✶✷✢⑦★✔✷✩ x = 0 ★⑧⑨✢⑦★✔✷✩ x = ∞ ★ ④ ⑧⑨✢⑦★ ✮❈ Bessel ❱❲❖✬✤ F ❂❃★✿✧⑩❶✉①❷✈ Bessel ❱❲✤ ❸❹❁❦✷❱❲❳ x = 0 ⑦ ✘❺❬❱❲ ρ(ρ − 1) + 2ρ − l(l + 1) = 0, ❂◆❺ ❬✈ ρ1 = l ❈ ρ2 = −(l + 1) ★ ❈ Bessel ❱❲✘❺❬ ρ = ±ν ❻✬★❼❽❾s ❴t y(x) = v(x) √ x , ❦ ✭ ★✿✧❿➀★ v(x) ✘❣ ❪❱❲❳ x = 0 ⑦ ✘❺❬ ✾➁❴✈ ρ = ± l + 1 2 , ❈ Bessel ❱❲✘✖⑦➂➃✔ ✭✤❦ ✭ ★ v(x) ✦➄➅✘❣ ❪❱❲✾ ✩ 1 x d dx x dv dx + 1 − (l + 1/2)2 x 2 v = 0. ⑧ ✩ l + 1/2 ✣ ✘ Bessel ❱❲✤①✘✶✷❑▲▼✹♠✾✩ Jl+1/2(x) ❈ Nl+1/2(x) ✤❳❃➆➇✴★✾ ✿✧✉❨ Bessel ❱❲ (17.84) ✘ ❑▲▼✹♠➈✈ jl(x) = r π 2x Jl+1/2(x) = √ π 2 X∞ n=0 (−) n n! Γ (n + l + 3/2) x 2 2n+l nl(x) = (−) l+1j−l−1(x) = r π 2x Nl+1/2(x) = (−) l+1 √ π 2 X∞ n=0 (−) n n! Γ (n − l + 1/2) x 2 2n−l−1 , ❪➉✇✈ l ✣❨ Bessel ✙✚❈❨ Neumann ✙✚✤
第二十四讲 主函数(三 第3页 前几个球 Bessel函数和球 Neumann函数(图形见图241)的表达式是 (x) sIn 7 no(x)≈cosx 1 (sin T -a cos n1(x)=_1 22( cos T +sinr i(a)=(3-2)mx-3x0i;n()=-[(3-x2) T+rsi j1(a) j2(a) 10 de) (x) 81012, 图2411球 Bessel函数jn(x)和球 Neumann函数n2(x).细灰线是它们的渐近线y=±1/x 类似地,也还可以定义球 Hankel函数 h(x)=j(x)+in(x),n2(x)=i(x)-in(r) 例241将函数 elAr cos按 Legendre多项式展开 解设 ikr cos e =∑q(k)P(os 则展开系数 cI(kr) 2l+1 irr P(a)d=2+1 ∑m r"P(a)d 利用第19讲第4节的结果,就有 2+1、(kr) (+2n)! ∑ nI(n+1+3/2(2 (2+1)j(kr)
Wu Chong-shi ➊➋➌➍➎ (➏) ➐ ◗ ❘ (➑) ❙ 3 ❚ ➒➓✷❨ Bessel ✙✚❈❨ Neumann ✙✚ (❶② ♣ ❶ 24.1) ✘➔→③✩✛ j0(x) = sin x x , n0(x) = − cos x x , j1(x) = 1 x 2 sin x − x cos x , n1(x) = − 1 x 2 cos x + x sin x , j2(x) = 1 x 3 h 3 − x 2 sin x − 3x cos x i ; n2(x) = − 1 x 3 h 3 − x 2 cos x + 3x sin x i . ➣ 24.1 ↔ Bessel ↕➙ jl(x) ➛↔ Neumann ↕➙ nl(x) ➜➝➞➟➠➡➢➤➥➦➟ y = ±1/x ✕ ⑤➧★ ✮➨✿✧➩➫❨ Hankel ✙✚ h (1) l (x) = jl(x) + i nl(x), h (2) l (x) = jl(x) − i nl(x). ➭ 24.1 ✉ ✙✚ e ikr cos θ ➯ Legendre ➲➳③➵➸✤ ➺ ➻ e ikr cos θ = X∞ l=0 cl(kr)Pl(cos θ), ⑨➵➸✺✚ cl(kr) = 2l+1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l+1 2 X∞ n=0 (ikr) n n! Z 1 −1 x nPl(x)dx. ➼➽q 19 rq 4 ✏✘➾➚★✾ ⑥ cl(kr) = 2l + 1 2 X∞ n=0 (ikr) l+2n (l + 2n)! Z 1 −1 x l+2nPl(x)dx = 2l + 1 2 i l X∞ n=0 (−) n (l + 2n)!(kr) l+2n · (l + 2n)! 2 l+2n n! √ π Γ (n + l + 3/2) = 2l + 1 2 i l√ π X∞ n=0 (−) n n! Γ (n + l + 3/2) kr 2 l+2n = (2l + 1) il jl(kr)
§242球 Bessel函数 第4页 所以,最后就有展开式 eikr cose=>(21+1)i'j(kr)PI(cos e) 另法因为eos=ek2是 Helmholtz方程的解 故应有 eikr cos =>Aj(kr)Pi(cos 0) 现在的问题是如何定出系数A1? Ai(6)=2+/c=P(a)d i。P2 -面上 eikrrPl(r)d 2-(-)e]+o 另一方面 I(hr) kr 1-+I-ikr +O(产 +1f。ikr e +O 因此 21+1 即41=(2+1)i2 最后就得到展开式 erob=∑2+1)￥in(kr)P(cos) 也可以赋予这个展开式一个物理解释:平面波按球面波展开.这是因为,若规定定相位的时 间因子为e-t,且r和B为球坐标,则上式左端是向6=0即正z轴)方向传播的平面波,波数 为k,而右端每一项中的j(k)则具有球面波的相位因子
Wu Chong-shi §24.2 P Bessel ◗❘ ❙ 4 ❚ ✦✧★➪➶✾ ⑥ ➵➸③ e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ➹➘ ❂ ✈ e ikr cos θ = eikz ✩ Helmholtz ❱❲✘♠ ∇2 + k 2 e ikr cos θ = 0, ❼❽⑥ e ikr cos θ = X∞ l=0 Aljl(kr)Pl(cos θ). ➴ ❳ ✘♥♦✩➷➬➩ ✱✺✚ Al ➮ Aljl(kr) = 2l + 1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l + 1 2 " 1 ikr e ikrxPl(x) 1 −1 − 1 ikr Z 1 −1 e ikrxP 0 l (x)dx # = 2l + 1 2 1 ikr e ikr − (−) l e −ikr + O 1 r 2 . ✓✔❱➱★ jl(kr) = 1 kr cos kr − 1 2 l + 1 2 π − π 4 + O 1 r 2 = 1 kr cos kr − l + 1 2 π + O 1 r 2 = 1 2kr (−i)l+1e ikr + il+1e −ikr + O 1 r 2 = 1 2kr (−i)l+1 e ikr − (−) l e −ikr + O 1 r 2 , ❂❃★ Al (−i)l+1 2 = 2l + 1 2i ✃ Al = (2l + 1)il , ➪➶✾❀❁➵➸③ e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ✮ ✿✧❐❒❦✷➵➸③✔✷❮❰♠Ï✛ ÐÑÒÓÔÑÒÕÖ✤❦ ✩ ❂ ✈ ★×Ø➩➩❖Ù✘ ❛ Ú❂Û✈ e −iωt ★Ü r ❈ θ ✈❨❩❬★⑨✴③ÝÞ✩ ß θ = 0 (✃ ⑧ z à) ❱ ßáâ✘ã➱ä★ ä✚ ✈ k ★◆åÞæ✔➳ ç✘ jl(kr) ⑨è⑥❨➱ä✘ ❖Ù❂Û★ jl(kr) ∼ 1 kr sin kr − lπ 2 .
第二十四讲 主函数(三 第5页 第二十四讲(二)分离变量法总结(一) 到现在为止,我们已经处理了几种典型的偏微分方程定解问题,介绍了求解这些定解问题的 种有效方法,分离变量法.这种方法,当然有一定的适用条件,例如,要求方程和定解条件都是 线性的,因此定解问题的解具有叠加性.在第15讲中,我们曾经结合具体的求解过程,分析了这 种解法对于定解问题的要求.特别是,曾经指出(见15.1节这种方法是否能够普遍地应用于求解 偏微分方程定解问题,在理论上,取决于下列几个问题 1.本征值问题是否一定有解,换勺话说,在什么条件下,本征值问题一定有解: 2.定解问題的解是否一定可以按照某一组本征函数展开,换句话说,在什么条件下,本征函 数是完备的 3.本征函数是否一定具有正交性 从这一讲开始,我们就要从理论上回答这几个问题,从而为分离变量法奠定一个坚实的理论基础. 当然,严格说来,这里介绍的也只是充分条件.在一般物理问题中,这些条件是能够满足的 824.3内积空间与函数空间 1.内积与内积空间 设在数域K上定义了n维矢量空间V,它的元素(矢量)用,y,…表示,可以把三维矢量 空间中失量的长度的概念推广到n维矢量空间为此,先定义n维矢量的内积 对于实n维矢量空间(即K为实数域),在选定了一组基{e,i=1,2,…,n}之后,空间中的 任意一个矢量m都可以用它在这一组基上的投影(坐标)x1,r2,…,n表示, e1+x2e2+…+xnen=)re 对于空间中的矢量x和y,最常见的内积定义为 (x,y)=n1y+xy2+…+nn iyi 这是一个实数.显然有 (x,y)=(v,x)和|(x,x)≥0, 并且,当且仅当c=0时,才有(x,x)=0.在此基础上,就可以定义矢量x的长度‖xl 对于复n维矢量空间,如果仍保留上述内积定义,容易看出,这时的矢量长度就可能不是实
Wu Chong-shi ➊➋➌➍➎ (➏) ➐ ◗ ❘ (➑) ❙ 5 ❚ ✁✂ ✄☎ (✁ ) éêëìíîï (✆) ❁➴❳✈ð★❜❝ ñ❡ò❰ó➓ôõö✘÷❣ ❪❱❲➩♠♥♦★øùó❧♠❦ú➩♠♥♦✘ ✔ô⑥û❱ü★ ❪❫❴❵ü✤❦ô❱ü★ý■ ⑥ ✔➩✘þ➽ÿ★✁ ➷ ★✂❧ ❱❲❈➩♠ÿ ❆✩ ❑▲✘★❂❃➩♠♥♦✘♠è ⑥✄☎▲✤❳q 15 r ç★❜❝ ❞❡➾●è✆✘❧♠✝ ❲ ★ ❪✞ ó❦ ô♠ü✟✠➩♠♥♦✘✂❧ ✤ ✖ ➉✩★❞❡❺ ✱ (♣ 15.1 ✏ ) ❦ô❱ü✩✡✯☛☞✌➧ ❽➽ ✠ ❧♠ ÷❣ ❪❱❲➩♠♥♦★ ❳ ❰✒✴★➈✍ ✠❭✎ ➓✷♥♦✛ 1. ✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚★✛ ✜✢✣★✤✥ ✦✧★✩★ ✏✑✒ ✓✔✗✘✙✚✪ 2. ✘✚ ✓✔✫✚✕✖✗✘✬ ✭✮✯ ✰✗✱✏✑✲✳✴✵★✛ ✜✢✣★✤✥ ✦✧★✩★ ✏✑✲ ✳✕ ✶✷✫✪ 3. ✏✑✲✳✕✖✗✘✸✙✹✺✻✤ ✼❦✔r ➸✽★❜❝✾✂✼❰✒✴ ✾✿❦➓✷♥♦★✼◆ ✈❪❫❴❵ü❀ ➩✔✷❁✲✘❰✒➆➇✤ ý■★❂❃❄❅★❦❆øù✘ ✮❇✩❈❪ ÿ ✤❳✔❤❮❰♥♦ ç ★❦úÿ ✩✯☛ ➄➅✘ ✤ §24.3 ❉❊❋●❍✍☞❋● 1. ■❏❑■❏▲▼ ➻ ❳✚◆ K ✴➩➫ó n ❖ P◗▲▼V ★①✘ ❘❙ (P◗) ➽ x, y, · · · ➔❚ ✤ ✿✧✵❉❖❯❵ ❱Ú ç❯❵ ✘ ❲❳ ✘❨❩✰❬ ❁ n ❖❯❵ ❱Ú ✤✈❃★✥➩➫ n ❖❯❵ ✘ ■❏ ✤ ✟✠✲ n ❖❯❵ ❱Ú (✃ K ✈ ✲ ✚◆) ★ ❳❭ ➩ó✔❪➆ {ei , i = 1, 2, · · · , n} ❫ ➶★❱Ú ç ✘ ❄❅✔✷❯❵ x ❆ ✿✧➽① ❳ ❦✔❪➆✴✘❴❵ (❩❬) x1, x2, · · · , xn ➔❚★ x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = Xn i=1 xiei . ✟✠❱Ú ç ✘ ❯❵ x ❈ y ★➪❢♣ ✘ ❛❜➩➫✈ (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = Xn i=1 xiyi . ❦ ✩ ✔✷✲ ✚✤❍■⑥ (x, y) = (y, x) ❈ (x, x) ≥ 0, ❝Ü★ýÜ❞ý x = 0 ❛ ★❡ ⑥ (x, x) = 0 ✤❳❃➆➇✴★✾✿✧➩➫❯❵ x ✘❢❣ kxk kxk = (x, x) 1/2 . ✟✠❋ n ❖❯❵ ❱Ú★ ➷ ➚❤✐ ❥✴❦ ❛❜➩➫★❧♠♥✱ ★❦ ❛ ✘ ❯❵ ❢❣✾✿✯❻✩✲
§243内积空间与函数空间 第6页 为了保持矢量长度仍是实数,不妨在保持长度定义的前提下,把内积定义修改为 (x,y)=i+n2+…+xnn=∑ 其中x是x的复共轭.显然,在复矢量空间中, (x,y)=(y,x) 这样的内积概念显然是三维矢量的标积的简单推广.但还不够普遍和抽象,特别是矢量的内 积明显依赖于基的选取.我们当然需要从内积的各种可能定义中抽象出它的最本质的要素.从而 给出一个公理化的内积定义(以后就称为内积公理) 定义241(定义在实数或复数域K上的)矢量空间中矢量c和y的内积(x,y)是它们的标 量值函数,满足 2.(a霍+βy,z)=a'(c,z)+β(3,z),其中α和β是数域K上的标量 3对于任何x,(x,x)≥0;当且仅当m=0时,(x,x)=0 例24.1若 和y Un 是实数域上的列矢量,P为(给定的对角矩阵,对角元P均为正实数,则可定义矢量x和y的 内积为 P10 0 0P22 (x,y)=(x1,x 例242实变量t的所有复系数的多项式的集合,在多项式加法以及多项式和复数的乘法 下构成一个复矢量空间.不妨假设0≤t≤1.若x(1)和y(t)是此矢量空间中的两个矢量(即多项 式),则它们的内积可以定义为 (a, y)=/r*(t)y(t)p(t)dt, 其中已知函数p(x)≥0且≠0
Wu Chong-shi §24.3 ♦ ♣qrs◗❘qr ❙ 6 ❚ ✚✤✈ó✐t❯❵ ❢❣❤✩ ✲ ✚ ★ ❻✉❳ ✐t❢❣➩➫✘➒✈ ❭ ★✵ ❛❜➩➫✇ ✻✈ (x, y) = x ∗ 1y1 + x ∗ 2y2 + · · · + x ∗ nyn = Xn i=1 x ∗ i yi , ① ç x ∗ i ✩ xi ✘❋②③✤ ❍■★ ❳ ❋ ❯❵ ❱Ú ç ★ (x, y) = (y, x) ∗ . ❦ ✭ ✘ ❛❜❨❩❍■✩❉❖❯❵ ✘ ❬ ❜✘④⑤✰❬✤⑥➨❻☛☞✌❈⑦⑧★✖ ➉✩❯❵ ✘ ❛ ❜ ⑨❍⑩❶✠ ➆✘ ❭ ➈ ✤ ❜❝ý■❷✂✼ ❛❜✘❸ô✿✯ ➩➫ ç⑦⑧✱ ①✘➪✎❹✘✂❺✤ ✼◆ ❻ ✱ ✔✷❼❰❷✘ ❛❜➩➫ (✧➶✾ ✇✈ ❛❜❼❰ ) ✤ ❽❾ 24.1 (➩➫❳ ✲ ✚❿ ❋ ✚◆ K ✴✘ ) ❯❵ ❱Ú ç❯❵ x ❈ y ✘ ❛❜ (x, y) ✩ ①❝✘ ❬ ❵➀✙✚★➄➅✛ 1. (x, y) = (y, x) ∗ ✪ 2. (αx + βy, z) = α ∗ (x, z) + β ∗ (y, z) ★➁ ➂ α ➃ β ✕✳➄ K ➅✫➆➇✪ 3. ➈➉➊➋ x ★ (x, x) ≥ 0 ✪➌➍➎ ➌ x = 0 ➏ ★ (x, x) = 0 ✤ ➭ 24.1 × x = x1 x2 . . . xn ❈ y = y1 y2 . . . yn ✩ ✲ ✚◆ ✴✘ ✎❯❵ ★ P ✈ (❻➩✘ ) ✟❊➐➑★ ✟❊➒ Pii ➓✈ ⑧✲ ✚ ★⑨✿➩➫❯❵ x ❈ y ✘ ❛❜✈ (x, y) = x1, x2, · · · , xn P11 0 · · · 0 0 P22 · · · 0 . . . . . . 0 0 · · · Pnn y1 y2 . . . yn . ➭ 24.2 ✲ ❴❵ t ✘✦ ⑥ ❋ ✺✚✘ ➲➳③✘➔●★ ❳➲➳③ ☎ü ✧→ ➲➳③ ❈ ❋ ✚ ✘➣ ü ❭↔✽ ✔✷❋❯❵ ❱Ú ✤❻✉↕➻ 0 ≤ t ≤ 1 ✤ × x(t) ❈ y(t) ✩ ❃ ❯❵ ❱Ú ç ✘✶✷❯❵ (✃➲➳ ③ ) ★⑨①❝✘ ❛❜✿✧➩➫✈ (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) ρ(t) dt, ① ç ñ➙ ✙✚ ρ(x) ≥ 0 Ü 6≡ 0 ✤
它的特殊情形是p(x)≡1 (t)y(t)dt 根据内积公理的第1以要求,同样看些,不论是实的或复的矢。空问,一个夫全它 自身的内积总是实数,这样第3以要求元的不等式才函意义. 在此基础上,就把 称为球量x的模(即球量x的“常微”) 从上面‘我故理中的第1和第2条要求,可得 (a, ay)=a(a, y). 因此 laa=(az, ar)/2=ao(a, x)=la|lall 任何一个非零球量除以它的模就成为“位常微”的球量,称为归一化的球量, ★定义时我的球量间称为我不间( Euclidean space) 具有叫我的实球量间称为欧几里德 ★具有我的复球量”间称为西”间( unitary space 2.正交性 在建立了我定义后,就可以引入球量正交的 球坐 当且曾当(x,3y)=0时,两球量x,y正交 ★零球量和任何球量都正交 应该242若对于所有的i和j,(x1,x)=6,则称球量{x1,x2,…}是正交归一的 关系归一的矢 础的 是线性无关的,这是因为如果将它们线性组合成零矢 a11+a22+a3x3 a=0,j=1,2,3 所样n维矢。空间的任何一组n个关系归一矢。都同样构成此空间的基,称为正交 归一基(或称正交标准基) 选择关系归一基,无论理论,或实用。,都具函极大的重要性
Wu Chong-shi ➛➜➝➞➟ (➠) ➡ ➢ ➤ (➥) ➦ 7 ➧ ①✘✖✗✐②✩ ρ(x) ≡ 1 ★ (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) dt. ➨➩ ➫➭➯➲ ➂✫ ➳ 1 ✧➵➸★ ✬ ✭➺ ➻★➼➽✕ ➾✫➚➪✫➶➇ ➹➘★ ✗➴➶➇➃➷ ➬➮ ✫ ➫➭➱✕ ➾✳★✃❐ ➳ 3 ✧➵➸ ➂✫➼❒❮ ❰✙ÏÐ✤ ❳ ❃➆➇✴★✾✵ (x, x) 1/2 = kxk ✇✈❯❵ x ✘ Ñ (✃❯❵ x ✘ Ò❢❣Ó) ✤ ✼✴ ➱ ❛❜❼❰ ç ✘ q 1 ❈q 2 ÿ✂❧★✿❀ (x, αy) = α(x, y). ❂❃ kαxk = (αx, αx) 1/2 = h αα∗ (x, x) i1/2 = |α| kxk. ❄ ➬ ✔✷④Ô❯❵Õ ✧①✘Ö✾ ✽✈ Ò⑤ Ù ❢❣Ó✘ ❯❵ ★ ❿✇✈ ×ØÙ ✘ ❯❵ ★ x kxk , x kxk = 1. F ➩➫ó ❛❜✘ ❯❵ ❱Ú ✇✈ ❛❜❱Ú ✤ F è ⑥ ❛❜✘✲ ❯❵ ❱Ú ✇✈Ú ➓❆Û❱Ú (Euclidean space) ✪ F è ⑥ ❛❜✘❋❯❵ ❱Ú ✇✈Ü ❱Ú (unitary space) ✤ 2. ÝÞß ❳àáó ❛❜➩➫➶★✾✿✧âã❯❵ ÝÞ ✘❨❩✤ F ýÜ❞ý (x, y) = 0 ❛ ★✶ ❯❵ x, y ⑧ä ✤ F Ô❯❵❈❄ ➬❯❵❆⑧ä ✤ ❽❾ 24.2 × ✟✠✦ ⑥ ✘ i ❈ j ★ (xi , xj ) = δij ★⑨ ✇❯❵ ❪ {x1, x2, · · ·} ✩ ÝÞ×Ø ✘ ✤ ✹✺ å✗✫➶➇✗✘✕æ✻ç è✫★✃ ✕ éêëìí➷îæ✻✱ïðñ➶➇★ α1x1 + α2x2 + α3x3 + · · · = 0, ò ✗✘✙ αj = 0, j = 1, 2, 3, · · · . ó ✭ n ô➶➇ ➹➘➂ ✫➊➋✗✱ n ➴✹✺ å✗➶➇õ✬ ✭öð÷ ➹➘✫ø★ù ê ÝÞ ×Øú(➚ ù ÝÞûüú) ✤ ýþ✹✺ å✗ø★ ç➽✤➲➽ ➅➚ ➾ÿ➅★ õ✸✙✁✫✂ ➵ ✻✤
与函数 第8页 3.完备性 定义243在有限维矢量空间中,如果一组正交归一的矢量(称为一个正交一矢函集) 们不对于在另一个更大的正交归一矢量表之中,则称该正交归一矢量表是完备的 在有限维的矢量空间中,一个完数的函交归本矢,表讨矢的数 数函数: ★实奇阶 所所以,是,的同样 样也的的数,反而通”上出套两个数的函是 节二是薤 (本两的 从就可得到 断也的,数,而建里这 因此 论节 也的本两 ★在本、内积也V讨,有本两函具关本的 x;i=1,2,……,k} 断它是否个数是本非线性实的阶 球函数 线无的此面相有 1.页球方页x=0程,(x1,x)=0,i=1,2,…,k 2.在球坐标下x∈F,分藥r 我下量们曲,常在球坐标下x∈,分离 3.Bese变量时下量 lx2=∑|(x;x) 4.P微般曾红常在球坐标下x∈v分 样 情况具关本两个数的 这求解问,题前见是 第讲 为称 基础取男,础《(似换有正则试。是图化在本图考 为称本它 是 样 数f(x),以积 该预料 dx全在( 求 任何 ★图化f1和f2的加相f1+应2就 数函加 (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x) 任何 ∫和数a的数乘a/是 (af(r)=af(a) 这样的平方可积,数的集合,对于加相和数乘 样 的,题第的二十本:节 系是 而 h(x)+(x)2+(x)-1(x)12=2f1(x)2+12(x)]
Wu Chong-shi §24.3 ♦ ♣qrs◗❘qr ❙ 8 ❚ 3. ✄☎ß ❽❾ 24.3 ❳⑥✆❖❯❵ ❱Ú ç ★ ➷ ➚✔❪⑧ä✝✔✘❯❵ (✇✈✔✷ ÝÞ×ØP◗✞) ★ ❝ ❻✟✠❳ ✓✔✷✡☛✘⑧ä✝✔ ❯❵ ➔ ❫ ç ★⑨✇ ❾⑧ä✝✔ ❯❵ ➔ ✩ ✄☎ ✘ ✤ F ❳⑥✆❖ ✘ ❯❵ ❱Ú ç ★✔✷➂☞✌✍ä✝✎❯✏ ➔ ✑ ❯✏✌✒✓✔✕✖❱✗ ✌✘✓✙✚✛ F ✜✢✣✤ ✑✥✦✦✧★✩✪✫✬✭✏✮✗ ✌✘✓✥✯✰✩✱✲✳✴✵✎✶✷☞✌✍✸✹✎✭ ✏ (✎✶✺✻✌✼✽✾✿❀❁✭ ✏ ✶ ) ❂❃❄✮✗ ✌✘✓✥✰❅❆❇✒ ✭ ✏✮✗ ✌ ✎✶❈✛ F ❉ ✎ ✒ ❊❋✮✗ V ✑✥●✎✶✍✸✹✎ ✌ ✭ ✏ {xi , i = 1, 2, · · · , k}, ✱ ❃❄❍✩■✷ ☞ ✥✩✎ ✒❏❑▲✜✌✣✤✛ ❑▼✌❃◆❖●P◗❘✒❙ 1. ❚❯❱ ❚ x = 0 ❲ ✥ (xi , x) = 0, i = 1, 2, · · · , k ✛ 2. ❳❨❩❬❭ x ∈ V ✥❪❫ x = X k i=1 (xi , x)xi ✛ 3. Bessel ❴❵❛ ❜❭❵❝❞❡✥❢❳❨❩❬❭ x ∈ V ✥❪❫ kxk 2 = X k i=1 |(xi , x)| 2 . 4. Parseval ❣❤❞❡✥❢❳❨❩❬❭ x, y ∈ V ✥❪❫ (y, x) = X k i=1 (y, xi)(xi , x). ❍✐❥✩ ✍✸✹✎✭ ✏ ✶✷☞✌❦❧✔✱♠♥✥♦✰♣✩✷qrs✌✛ 4. t✉✈✇ t✉✈✇ ✩✎①✺✻✌ ✭ ✏✮✗ ❙ ✈✇②③④⑤t✉ ✥⑥⑦⑧⑨⑩✥✩❶❷❉ ✎❶❸✗ (❹ ⑦❶❺❻✥❼ ❹❽❸✗ a ≤ x ≤ b) ❾✌❿➀➁✓ f(x) ✥✧➂❋❧ Z b a f(x) 2 dx ➃❉ (➄t✉ f(x) ➅ ➆➇➈ ➉ ) ✛ F ❶❷➊➋ f1 ➌ f2 ✌➍❖ f1 + f2 ➎ ✩➏➁✓✙➍✥ (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), F ➊➋ f ➌❿✓ α ✌✓➐ αf ✩ (αf)(x) = αf(x), ❇➑✌➒➓➔❋➁✓✌→➣✥↔↕➍❖➌✓➐✩➙❽✌✥♦➛✌ ⑦➜➝✎ ✒ ✭ ✏✮✗ ✛ ✺ ◆ ✩✥♦❹ f1(x) + f2(x) 2 + f1(x) − f2(x) 2 = 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 ,
第二十四讲 主函数(三 第9页 所以什两值平方可空函问之和仍下平方可空遍什 f(x)+f(x)≤2[f(x)2+|f2(x)2 5.函数的内积 定义24设A()和1()下面函问按追两值函问什与遍称空 (f1,f2)=/f1(x)f2(x)d 概 f(x)|2+|f(x)|2-2f(x)|(x)=[(x)-|( 因此 f(x)(x)=|(x)|2(x)≤(x)2+(x) 所以积分/|f(x)()d存在,又因为 f(r)f2(a)dxs/If (z)f2(z).z, 所以什只要f1(x)和f2(x)平可积什那么它们选内积也一定存在 内此础上什可以定义函问f(x)遍“长度” ‖f=(f,f)/2, 称为函问∫(x)遍范数 下素在这样的阁积定义下什如果(,=0什f()并不见得在整个区间上处处为0换事 1什?x)可以内限值点上件为0什但些件为0的函问值条件会影响空值什所以仍可 (f,f)=0 ★准确地说什如果(f,∫)=0什则f(x)可以内测度为零的点集上取积零值所以只能说(f,f)=0 隐含着∫(x)几乎处处为0 换 ★如果采间广义的零函问的概念什把任何几乎处处为0的函数称为零函数什那么什“里定义的 积空也就符合积空公理中的第3易求 函数内积选定义还可以进一步推广为 (f1,f2)=/f1(x)f2(x)p(x)dx p(x)20矢≠0这样什美公小均需要作相应选修改特别是什关函数平可 要求也应该修改为要求积分内 )|2p()dr 存在
Wu Chong-shi ➞➟➠➡➢ (➤) ➥ ➦ ➧ (➨) ➩ 9 ➫ ➭➯✥➏✒➒➓➔❋➁✓➲➌➳✩ ➒➓➔❋✌✥ f1(x) + f2(x) 2 ≤ 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 . 5. t✉②➵➈ ➸➺ 24.4 ❼ f1(x) ➌ f2(x) ✩ ➁✓✮✗ ✑✌ ➏ ✒➁✓✥ ❍✐✌ ❊❋✩ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx. ➻ ❨ f1(x) 2 + f2(x) 2 − 2 f1(x) · f2(x) = |f1(x)| − |f2(x)| 2 ≥ 0, ➼➽ f ∗ 1 (x)f2(x) = f1(x) · f2(x) ≤ 1 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 , ➾ ➚➪➶ Z b a f ∗ 1 (x)f2(x) dx ➹➘✛➴ ➼➷ Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx ≤ Z b a f ∗ 1 (x)f2(x) dx, ➾ ➚✥➬➮ f1(x) ➱ f2(x) ✃❣❐➪✥❒ ❮❰Ï❭ Ð➪ÑÒÓ➹➘✛ ❉ ➛❈Ô❾ ✥ ➔ ➯❶❷➁✓ f(x) ✌ ➄ ÕÖ➉ kfk = (f, f) 1/2 , × ❹➁✓ f(x) ✌ Ø✉ ✛ F ✣✤✩ ❙ ÙÚÛ②➵➈➸➺Ü✥ÝÞ (f, f) = 0 ✥ f(x) ßàáâÙãäå✇æççè 0 ✛é ✜ ✩✥ f(x) ➔ ➯ ❉ ●ê✒ë❾★ ❹ 0 ✥ì❇í★❹ 0 î➁✓➀✧★ïðñ❋❧➀✥➭➯➳➔ ➯● (f, f) = 0 ✛ F ò ⑦⑨⑩✥óô (f, f) = 0 ✥õ f(x) ➔ ➯ ❉öÖ ❹÷îë→❾ø❏÷➀✛➭➯ùú⑩ (f, f) = 0 ûüý f(x)þÿççè 0 ✛ F óô ▼✁ ❷ î÷➁✓î✂✄✥ ☎✆✝þÿççè 0 ②t✉✞è✟t✉ ✥✠✡✥❇☛❶❷î ❊❋♣ ➎☞➣ ❊❋✌✍ ✎î✏ 3 ♠✱✑ ✛ ✒✓ Ð ➪ ❭ Ó✔✕❐ ➚✖Ò ✗✘ ✙➷ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x) f2(x) ρ(x) dx, ✚ ❜ ρ(x) ≥ 0 ❯ 6≡ 0 ✛✛✜✥❫ ✢✣❛✤✥➮✦✧★❭✩✪✛✫✬✭✥✢ ❨ ✒✓✃❣❐ ➪ ❭ ➮✮Ñ★✯✩✪➷➮✮➪➶ Z b a f(x) 2 ρ(x) dx ➹➘✛
§243内积空间与函数空间 第10页 6.函数的正交归一性 若函数f(x)和g(x)满足 (f,g)≡/f(x)g(x)dx=0 则称它们是(在区间[a,b上)正交的.若函数f(x)和它自身的内积 f,n≡/r(x)f(x)dx=1,亦即f=1 则称f(x)是归一化的.而若对于函数集合{f},恒有 f1,f)≡/f(x)f(x)dx=6 则称此函数集合是正交归一的 例243函数集合{e/V2元,n=0,1,±2,…}在区间上-兀,上是正交归 7.正交归一函数集的完备性概念 如果对于(函数空间中的)任意函数f(x),总可以表示成正交归一函数集{f1,i=1,2,…}的 线性组合 则称正交归一函数集{f,i=1,2,…}是完备的 正交归一函数集的完备性概念总是和任意函数是否可以按该函数集展开相联系的 ★第一,一般说来,这个函数集应该含有无穷多个函数,否则(以)式不可能对任意f(x)均成立 这一事实告诉我们,函数空间是无穷维的矢量空间 ★第二,(式应该对区间[a,列内的每一点x都成立,或者说,对于区间[a,列内的每一点x 级数∑cf(x)都应该收敛于f(x).这种收敛性称为逐点收敛 ★为了和广义零函数的概念相适应,也可以把()式理解为左右两端相差一个广义的零函数, 换句话说,把级数∑cf(x)理解为平均收敛于f(x),即 /()-o=0 ★第三,由函数集{f,i=1,2,…}的正交归一性,可求得 e=/.f()(x)dx=(,f (⑧)
Wu Chong-shi §24.3 ✰ ✱✲✳✴➦➧✲✳ ➩ 10 ➫ 6. t✉②✵✶✷✸✹ ✺ ➁✻ f(x) ➌ g(x) ✼✽ (f, g) ≡ Z b a f ∗ (x)g(x)dx = 0, õ× ❍✐✩ (❉ ❸✗ [a, b] ❾)✵✶ î✛✺ ➁✻ f(x) ➌❍ ✾ ✿ î ❊❋ (f, f) ≡ Z b a f ∗ (x)f(x)dx = 1, ❀❁ kfk = 1, õ× f(x) ✩ ✷✸❂ î✛✰✺↔↕➁✻→➣ {fi} ✥❃● (fi , fj ) ≡ Z b a f ∗ i (x)fj (x)dx = δij , õ×➛➁✻→➣✩ ✵✶✷✸ î✛ ❄ 24.3 ➁✻→➣ e inx/ √ 2π, n = 0, ±1, ±2, · · · ❉ ❸✗ [−π, π] ❾ ✩❅ ✸✹❆î✛ 7. ✵✶✷✸t✉❇②❈❉✹❊❋ óô↔↕ (➁✻✮ ✗ ✎î) ●❍➁✻ f(x) ✥■ ➔ ➯❏❑➝❅ ✸✹❆➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} î ✾✿✶ ➣ f(x) = X∞ i=1 cifi(x), (z) õ×❅ ✸✹❆➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} ✩✷▲ î✛ ❅ ✸✹❆➁✻→î✷▲ ✿✂✄■✩ ➌●❍➁✻ ✩■➔ ➯▼◆➁✻→❖P✙◗❘î✛ F ✏❆✥ ❆❙⑩ ❂ ✥❇❚ ➁✻→❯ ◆ü● ❀❱❲❚ ➁✻ ✥■õ (z) ❳ ★ ➔ ú↔ ●❍ f(x) ❨ ➝❆ ✛ ❇ ❆é✜❩❬❭✐ ✥ ➁✻✮ ✗✩❀❱✘î✭❪ ✮ ✗ ✛ F ✏❫✥ (z) ❳❯◆↔❸✗ [a, b] ❊î❴❆ë x ❥ ➝❆✥❵❛⑩✥↔↕❸✗ [a, b] ❊î❴❆ë x ✥ ❜ ✻ P∞ i=1 cifi(x) ❥❯ ◆❝❞↕ f(x) ✛ ❇❡❝❞✿ × ❹❢ë ❝❞✛ F ❹❣➌✁ ❷ ÷➁✻î✂✄✙❤❯✥♣➔ ➯✐ (z) ❳✍❥❹❦❧➏♠ ✙♥❆❚ ✁ ❷ î÷➁✻ ✥ ♦♣q⑩✥✐❜ ✻ P∞ i=1 cifi(x) ✍❥❹➒❨ ❝❞↕ f(x) ✥ ❁ limn→∞ Z b a f(x) − Xn i=1 cifi(x) 2 dx = 0. (#) F ✏r✥s ➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} î ❅ ✸✹❆✿ ✥ ➔ ✑t ci = Z b a f ∗ i (x)f(x)dx = (fi , f). (~)
