第二十三讲柱函数(二 3231 Bessel方程的本征值问题 现在从一个具体问题入手,讨论 Bessel方程的本征值问题 [四鬧固定的圆形漶膜的固有频 注意,这个问题不同于过去讨论过的偏微分方程定解问题:现在并没有给出初始条件,所要 求的也不是描写圓形薄膜振动的位移如何随时间和空冋而变化·现在要求的是國有频率,即求出 给定偏微分方程和边界条件下的所有各种振动模弌的角频率·也正是因为现在的冋题中并没有给 出初始条件,所以也不能得出位移转动不变的结论 取平面极坐标系,坐标原点放置在圆形薄膜的中心.这样,偏微分方程和边界条件就是 1a2 0, (231a) r u=0有界 (23.1b) 现在要求的就是在边界条件(231b)和(231c)的限制下,到底许可哪些ω值,使得方程 23.1a)有非零解 u(r,o, t)=u(r, o)e (23.2) 将此解式代入方程(23.1)及边界条件(231b)和(23.lc),并令k=w/e,就可以得到 1 a/ au v-=0有界 0 le=0=叫 =2r 再令v(r,)=R(r)(刂),分离变量,就得到两个本征值问题 p"()+m2()=0 (0)=重(2丌),更(0)=更(2丌) 1d「dF(r) R(0)有界
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✁ ) §23.1 Bessel ✟✠✡☛☞✌✍✎ ✏✑✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢ Bessel ✣✤✥✦✧★✗✘✩ ✪✫✬ ✭✮✥ ✯✰✱✲✥ ✭✳✴✵ ✶✷✛✸✹ ✺✻✼ ✽✾✿❀❁❂✿❃❄❅❆❇❈❉❊ ✺✻❋●❍■❏❑▲ ▼◆❖P◗✛❘❙ ❚❃❯✼❱❲ ❳❨❩ ❬❭❪❫❃❴❵❛❜❝❞ ❡❢ ❣❡❤✐❥✩●❍❙❚❃❱ ❦❑❧♠✛♥❚ ▼ ▲❉❄❅❆❇❈❢♦♣P◗q❃❘❑rs❪❫t✉❃ ✈❧♠✩❯✇❱ ①②●❍❃ ✺✻ ③■❏❑▲ ▼◆❖P◗✛❘ ④❯✼⑤⑥ ▼❴❵⑦❫✼✐❃⑧❂✩ ⑨⑩❶❷❸❹❺✛❸❹❻❼❽❾✑ ✯✰✱✲✥ ❿➀✩➁➂✛➃➄➅✣✤➆➇➈➉➊➋➌ ∂ 2u ∂t2 − c 2 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, (23.1a) u r=0✳ ➈, u r=a = 0, (23.1b) u φ=0 = u φ=2π , ∂u ∂φ φ=0 = ∂u ∂φ φ=2π . (23.1c) ✏ ✑ ➍ ✪ ✥ ➋ ➌ ✑ ➇ ➈ ➉ ➊ (23.1b) ➆ (23.1c) ✥ ➎ ➏ ➐ ✛➑ ➒ ➓ ➔ → ➣ ω ★ ✛↔ ↕ ✣ ✤ (23.1a) ✳➙➛➜ u(r, φ, t) = v(r, φ)eiωt . (23.2) ➝➞➜➟➠✙ ✣✤ (23.1) ➡➇➈➉➊ (23.1b) ➆ (23.1c) ✛➢➤ k = ω/c ✛ ➋ ➔➥↕➑ 1 r ∂ ∂r r ∂v ∂r + 1 r 2 ∂ 2v ∂φ2 + k 2 v = 0, v r=0 ✳ ➈ v r=a = 0, v φ=0 = v φ=2π , ∂v ∂φ φ=0 = ∂v ∂φ φ=2π . ➦➤ v(r, φ) = R(r)Φ(φ) ✛➅➧➨➩✛➋ ↕➑➫✔✦✧★✗✘ Φ 00(φ) + m2Φ(φ) = 0, (23.3a) Φ(0) = Φ(2π), Φ 0 (0) = Φ 0 (2π) (23.3b) ➆ 1 r d dr r dR(r) dr + k 2 − m2 r 2 R(r) = 0, (23.4a) R(0)✳ ➈, R(a) = 0. (23.4b)
§231 Bessel方程的本征值问题 本征值问题(23.3)已经多次见到过,对应于它的本征值 m=0,1,2,3, 本征函数为 所以,在本征值问题(23.4)中,参数m2是已知的,而k2是本征值,待求 可以证明 PA((rdr=mR(G)r(T+dr ar, 所以,一定有本征值k2>0·通过作变换x=Mr,列(x)=B(r),就可以将微分方程(234)化为 Bessel方程,从而求得它的通解 R(r)=CJm(kr)+ DNm(kr) 考虑到边界条件(23.4b)的要求,R(O)有界,故D=0;又由于要求R(a)=0,就得到 将m阶Bsel函数Jn(x)的第i个正零点(由小到大排列记作r),i=1,2,3…,则本征值间 题(23.4)的解是 本征值 i=1,2,3, 237a) 本征函数Fmi(r)=Jm(kmr) 于是就求得了圆形薄膜的固有振动的角频率 其中m)是m阶Bes函数Jn(x)的第i个正零点 在上述求解过程中,实际上用到了有关J(x)零点的结论:当v>-1或为整数时,J(x)有 无穷多个零点,它们全部都是实数,对称地分布在实轴上
Wu Chong-shi §23.1 Bessel ➭➯➲➳➵➸➺➻ ➼ 2 ➽ ✦✧★✗✘ (23.3) ➾➚➪➶➹➑➘✛➴➷➬➮✥✦✧★ m2 , m = 0, 1, 2, 3, · · ·, ✦✧➱✃❐ Φm(φ) = cos mφ, sin mφ. ❒➥✛✑✦✧★✗✘ (23.4) ❿ ✛❮✃ m2 ➌ ➾❰✥✛Ï k 2 ➌✦✧★✛Ð✪✩ ➔➥Ñ Ò k 2 Z a 0 R(r)R ∗ (r)rdr = m2 Z a 0 R(r)R ∗ (r) dr r + Z a 0 dR(r) dr dR∗ (r) dr rdr, ❒➥✛✓✮✳✦✧★ k 2 > 0 ✩Ó➘Ô➨Õ x = kr ✛ y(x) = R(r) ✛ ➋ ➔➥➝➄➅✣✤ (23.4a) Ö❐ Bessel ✣✤✛✒Ï✪↕➮✥ Ó➜ R(r) = CJm(kr) + DNm(kr). (23.5) ×Ø➑ ➇➈➉➊ (23.4b) ✥ ➍✪✛ R(0) ✳ ➈ ✛Ù D = 0 ÚÛ Ü➬➍✪ R(a) = 0 ✛ ➋ ↕➑ Jm(ka) = 0. (23.6) ➝ m Ý Bessel ➱✃ Jm(x) ✥Þ i ✔ß➛❼ (Üà➑áâã) ä Ô µ (m) i ✛ i = 1, 2, 3, · · · ✛å ✦✧★✗ ✘ (23.4) ✥ ➜ ➌ ✦ ✧ ★ k 2 mi = µ (m) i a !2 , i = 1, 2, 3, · · · , (23.7a) ✦✧➱✃ Rmi(r) = Jm(kmir). (23.7b) ➬ ➌➋✪↕æ ✯✰✱✲✥ ✭✳çè✥é✴✵ ωmi = µ (m) i a c, (23.8) ê ❿ µ (m) i ➌ m Ý Bessel ➱✃ Jm(x) ✥Þ i ✔ß➛❼✩ ✑ëì✪➜➘ ✤ ❿ ✛íîëï➑æ✳ð Jν(x) ➛❼ ✥ñ✢❋ò ν > −1 ó❐ô✃õ✛ Jν(x) ✳ ö÷➪ ✔➛❼✛➮øùúû➌ í ✃ ✛➴üý➅þ✑íÿë✩
第二十三讲柱函数( 第3页 Zeros of the functions J,(a)& Nv(z) 1. Real zeros When v is real, the functions Jv(a)& Nv(z)each have an infinite number of zeros, all of which are simple with the possible exception of z=0. For non-negative v the sth positive zeros of these functions are denoted by ju,,s and nu, s respectively 3s2 3.831710.89358 7.015593.95768 312 38.6537310.173477.068058.59601 411.7915313.3236910.2223511.74915 514.9309216.4706313.3611014.89744 618.0710619.6158616.5009218.04340 721.2116422.7600819.6413121.18807 824.3524725.9036722.7820324.33194 927.4934829.0468325.9229627.47529 030.6346132.1896829.0640330.61829 2. McMahons expansions for large zeros -14(-1)(71-31)32(1-1)(8312-982+3779) 3(86) 64(-1)(89-1535415436272372-…,s>n,H=4D2 105(86 6= 3. Complex zeros of J,(a) When 12-l the zeros of J,(z) are all real. If v< -l and v is not an integer the number of complex zeros of J,(z) is twice the integer part of (-v; if the integer part of (-v)is odd two of these zeros lie on the imaginary axis 4. Complex zeros of Nv(a When v is real the pattern of the complex zeros of N,(z)depends on the non-integer part of Attention is confined here to the case v=n.a tive integer or zero
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✁ ) ➼ 3 ➽ Zeros of the functions Jν(z) & Nν (z) 1. Real zeros When ν is real, the functions Jν(z) & Nν (z) each have an infinite number of zeros, all of which are simple with the possible exception of z = 0. For non-negative ν the sth positive zeros of these functions are denoted by jν,s and nν,s respectively. s j0,s j1,s n0,s n1,s 1 2.40483 3.83171 0.89358 2.19714 2 5.52008 7.01559 3.95768 5.42968 3 8.65373 10.17347 7.06805 8.59601 4 11.79153 13.32369 10.22235 11.74915 5 14.93092 16.47063 13.36110 14.89744 6 18.07106 19.61586 16.50092 18.04340 7 21.21164 22.76008 19.64131 21.18807 8 24.35247 25.90367 22.78203 24.33194 9 27.49348 29.04683 25.92296 27.47529 10 30.63461 32.18968 29.06403 30.61829 2. McMahon’s expansions for large zeros jν,s, nν,s ∼ β − µ − 1 8β − 4(µ − 1)(7µ − 31) 3(8β) 3 − 32(µ − 1)(83µ 2 − 982µ + 3779) 15(8β) 5 − 64(µ − 1)(6949µ 3 − 153855µ 2 + 1585743µ − 6277237) 105(8β) 7 − · · · · · · , s ν, µ = 4ν 2 , β = s + ν 2 − 1 4 π, for jν,s s + ν 2 − 3 4 π, for nν,s 3. Complex zeros of Jν(z) When ν ≥ −1 the zeros of Jν(z) are all real. If ν < −1 and ν is not an integer the number of complex zeros of Jν(z) is twice the integer part of (−ν); if the integer part of (−ν) is odd two of these zeros lie on the imaginary axis. 4. Complex zeros of Nν (z) When ν is real the pattern of the complex zeros of Nν(z) depends on the non-integer part of ν. Attention is confined here to the case ν = n, a positive integer or zero
231 Bessel方程的本征值问题 第4页 The figure 23. 1 shows the approximate distribution of the complex zeros of Nn(z) in the region I arg al<T. The figure is symmetrical about the real axis. The two curves on the left extend to infinit having the asymptotes Imz=±-ln3=±0.54931.. There are an infinite number of zeros near each of The two curves extending from z=-n to z=n and bounding an eye-shaped domain intersect the imaginary axis at the points ti(na+b), where Figure 23.1 Zeros of Nn(2) f-1=0.6274 and to=1.19968 is the positive root of cotht=t. There are n zeros near each of these curves. Complex zeros of No(z) Complex zeros of Ni(a) Real part Imaginary part Real part Imaginary part 2.403020.53988 0.78624 5.519880.54718 0.54841 7.01590
Wu Chong-shi §23.1 Bessel ➭➯➲➳➵➸➺➻ ➼ 4 ➽ Zeros of Nn(z) The figure 23.1 shows the approximate distribution of the complex zeros of Nn(z) in the region | arg z| ≤ π. The figure is symmetrical about the real axis. The two curves on the left extend to infinity, having the asymptotes Im z = ± 1 2 ln 3 = ±0.54931 . . .. . . There are an infinite number of zeros near each of these curves. The two curves extending from z = −n to z = n and bounding an eye-shaped domain intersect the imaginary axis at the points ±i(na + b), where Figure 23.1 Zeros of Nn(z) a = q t 2 0 − 1 = 0.66274 . . .. . . b = 1 2 q 1 − t −2 0 ln 2 = 0.19146 . . .. . . and t0 = 1.19968 . . .. . . is the positive root of coth t = t. There are n zeros near each of these curves. Complex zeros of N0(z) Complex zeros of N1(z) Real part Imaginary part Real part Imaginary part −2.40302 0.53988 −0.50274 0.78624 −5.51988 0.54718 −3.83353 0.56236 −8.65367 0.54841 −7.01590 0.55339
第二十三讲柱函数( 第5页 为了在分离变量法中的应用,自然要讨论上面得到的本征函数的正交归关系.下面,介绍 种略为不同的做法,可以同时得到本征函数的正交归一关系 首先,写出本征函数Rm1(r)=Jn(kmr)所满足的微分方程和边界条件, r2 Jm(kimi) (23.9a) Jn(0)有界,Jn(kma)=0. 同时,再写出函数R(r)=Jm(kr)所满足的微分方程和边界条件, 1d「dn(kr) dr Jm(O)有界 由于其中的k为任意实数,所以一般说来,不会有Jm(ka)=0 再用rJm(kr)和rJm(kmr)分别乘方程(239a)和(23.10a) d「dJn(kmin) m(kmir)Jm(er) Jm(mir)dram(kr2 72rJm(kmir)J m(kr)=0, 相减,并在区间0,]上积分,就得到 代入边界条件(23.9b)和(23.10b),可以将上面的结果化为 (kmi-k2)/Jm(kmir) Jm(kr)rdr=-kimiaJm(k a) 'm(kmia (2311) 我们对两个特殊情形感兴趣.第一种情形是k=km≠km这时就有Jm1(km (23.11)式的右端为0.但由于km≠km,所以 即对应于不同本征值的本征函数在区间0,a]上以权重r正交 另一种情形是k=km,这时(23.11)式的两端均为0.我们可以先将(23.11)式的两端同除以 k2,然后取极限k→km,这样就得到 Aim gJm(ka) J'm(kmia)=2 I'm(kimia 2313) 这正是本征函数Jm( kmir)的模方 如果将本征值问题(239)中r=a端的齐次边界条件(23.9b)改为第二类或第三类边界条件, 也可以类似地讨论 事实上,可以把这三种情形统一写成 1 d dR(n1+(k2- R(r)=0, (2314a)
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✁ ) ➼ 5 ➽ ❐ æ✑➅➧➨➩✟ ❿✥➷ï✛ ✠✡➍✜✢ë❶↕➑✥✦✧➱✃✥ß☛☞✓ð❺✩ ➐ ❶✛✌✍ ✓✎✏❐✑✒✥✓ ✟✛➔➥✒õ ↕➑✦✧➱✃✥ß☛☞✓ð❺✩ ✔✕✛✖✗✦✧➱✃ Rmi(r) = Jm(kmir) ❒✘✙✥ ➄➅✣✤➆➇➈➉➊✛ 1 r d dr r dJm(kmir) dr + k 2 mi − m2 r 2 Jm(kmir) = 0, (23.9a) Jm(0)✳ ➈, Jm(kmia) = 0. (23.9b) ✒õ ✛➦✖✗➱✃ R(r) = Jm(kr) ❒✘✙✥ ➄➅✣✤➆➇➈➉➊✛ 1 r d dr r dJm(kr) dr + k 2 − m2 r 2 Jm(kr) = 0, (23.10a) Jm(0)✳ ➈. (23.10b) Ü ➬ê ❿✥ k ❐✚✛í ✃ ✛❒➥✓✜✢✣✛ ✑✤✳ Jm(ka) = 0 ✩ ➦ï rJm(kr) ➆ rJm(kmir) ➅✥✦✣✤ (23.9a) ➆ (23.10a) ✛ Jm(kr) d dr r dJm(kmir) dr + k 2 mi − m2 r 2 rJm(kmir)Jm(kr) = 0, Jm(kmir) d dr r dJm(kr) dr + k 2 − m2 r 2 rJm(kmir)Jm(kr) = 0, ✧★✛➢✑✩✪ [0, a] ë✫➅✛➋ ↕➑ k 2 mi − k 2 Z a 0 Jm(kmir)Jm(kr)rdr = r Jm(kmir) dJm(kr) dr − Jm(kr) dJm(kmir) dr r=a r=0 . ➠✙ ➇➈➉➊ (23.9b) ➆ (23.10b) ✛➔➥➝ë❶ ✥ñ✬Ö❐ k 2 mi − k 2 Z a 0 Jm(kmir)Jm(kr)rdr = −kmiaJm(ka)J0 m(kmia). (23.11) ✭ø➴➫✔✮✯✰✰✱✲✳✩ Þ ✓✎✰✰➌ k = kmj 6= kmi ✩➁õ➋✳ Jm(kmja) = 0 ✛✴➞ (23.11) ➟ ✥✵✶❐ 0 ✩✷ Ü ➬ kmj 6= kmi ✛❒➥ Z a 0 Jm(kmir)Jm(kmj r)rdr = 0, kmi 6= kmj , (23.12) ✸➴➷➬✑✒✦✧★✥✦✧➱✃✑✩✪ [0, a] ë➥✹✺ r ß☛✩ ✻✓✎✰✰➌ k = kmi ✛➁ õ (23.11) ➟ ✥ ➫ ✶✼❐ 0 ✩✭ø➔➥✕➝ (23.11) ➟ ✥ ➫ ✶✒✽➥ k 2 mi − k 2 ✛✡✾⑨❷➎ k → kmi ✛➁➂➋ ↕➑ Z a 0 J 2 m(kmir)rdr = − lim k→kmi kmia k 2 mi − k 2 Jm(ka)J0 m(kmia) = a 2 2 [J0 m (kmia)]2 . (23.13) ➁ß➌✦✧➱✃ Jm(kmir) ✥✿✣ ✩ ❀ ✬ ➝ ✦✧★✗✘ (23.9) ❿ r = a ✶✥❁➶➇➈➉➊ (23.9b) ❂❐Þ❃❄óÞ❅❄➇➈➉➊✛ ❆➔➥❄❇ý✜✢✩ ❈íë✛➔➥❉➁ ❅ ✎✰✰❊ ✓✖❋ 1 r d dr r dR(r) dr + k 2 − m2 r 2 R(r) = 0, (23.14a)
§231 Bessel方程的本征值问题 第6页 R(0)有界, a'(a)+BR(a)=0 (23.14b) 如果α≠0,β=0,则是第一类边界条件;如果a=0,B≠0,就是第二类边界条件;如果a和β 均不为0,则为第三类边界条件 关于Beel函数族的完备性,这里只给出结论:如果函数f(r)在区间,a]上连续,且只有有 限个极大和极小,则可按本征函数Jm(kr)展开, f(r)=∑bm(kn (2315) 其中Jm(kr)是本征值问题(23.14)的解,而展开系数为 f(r)Jm(kir)rdr 2316) Ja(kir)rdr 这样得到的级数在区间{6.a-6(6>0)上是一致收敛的.证明见参考书目[15,第17.33节.该书 中也还有更普遍的晨开定理
Wu Chong-shi §23.1 Bessel ➭➯➲➳➵➸➺➻ ➼ 6 ➽ R(0)✳ ➈, αR0 (a) + βR(a) = 0. (23.14b) ❀ ✬ α 6= 0, β = 0 ✛å ➌Þ✓ ❄➇➈➉➊Ú❀ ✬ α = 0, β 6= 0 ✛ ➋➌Þ❃❄➇➈➉➊Ú❀ ✬ α ➆ β ✼✑❐ 0 ✛å ❐Þ❅❄➇➈➉➊✩ ð➬ Bessel ➱✃●✥❍■❏✛➁❑▲▼✗ñ ✢❋❀ ✬➱✃ f(r) ✑✩✪ [0, a] ë◆❖✛P▲✳✳ ➎ ✔❷á ➆ ❷ à ✛å➔◗ ✦✧➱✃ Jm(kir) ❘❙✛ f(r) = X∞ i=1 biJm(kir), (23.15) ê ❿ Jm(kir) ➌✦✧★✗✘ (23.14) ✥ ➜✛Ï❘❙❺ ✃❐ bi = Z a 0 f(r)Jm(kir)rdr Z a 0 J 2 m(kir)rdr . (23.16) ➁➂↕➑✥❚✃ ✑✩✪ [δ, a − δ] (δ > 0) ë ➌ ✓❯❱❲✥ ✩Ñ Ò➹ ❮×❳ ❨ [15], Þ 17.33 ❩ ✩❬❳ ❿ ❆❭✳❪❫❴✥❘❙✮❵✩
第二十三讲柱函数( 第7页 例231圆柱体的冷却.设有一个无穷长的圆柱体,半径为a.很自然地我们应该选用柱 坐标系,z轴即为圆柱体的轴.如果柱体的表面温度维持为0,初温为uof(),试求柱体内温度 的分布和变化 解显然温度u与以,z无关,即u=u(r,t).它由定解问题 a-7(a u=0有界,叫l=0, t=0 (2317c) 决定.根据前面的一般讨论,容易写出此定解问题的一般解 (2318) 其中μ是Jo(x)的第i个正零点.代入初条件,有 =1 所以 4m)( 2319) 知道了f(r)的具体形式,就可以算出上面的积分,例如,若 便有 Jo(u; -rdr J1() (23.21) 最后一步用到了例21.2中的计算结果 将本题得到的结果 1( 两端微商,并令x=1,还可以导出一个有意思的结果: 2=1
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✁ ) ➼ 7 ➽ ❛ 23.1 ✯❜ ✖ ✥❝❞✩❡✳✓✔ö÷❢ ✥ ✯❜ ✖✛❣❤❐ a ✩✐ ✠✡ý✭ø➷❬❥ï ❜ ❸❹❺✛ z ÿ✸ ❐ ✯❜ ✖ ✥ ÿ✩❀ ✬❜✖ ✥❦ ❶❧♠♥♦❐ 0 ✛♣❧ ❐ u0f(r) ✛q✪ ❜ ✖ r❧♠ ✥ ➅þ➆ ➨ Ö ✩ s t✡❧♠ u ✉ φ, z öð✛✸ u = u(r, t) ✩➮ Ü ✮➜✗✘ ∂u ∂t − κ r ∂ ∂r r ∂u ∂r = 0, (23.17a) u r=0✳ ➈, u r=a = 0, (23.17b) u t=0 = u0f(r) (23.17c) ✈✮✩✇①②❶ ✥ ✓✜✜✢✛③④✖✗➞✮➜✗✘✥ ✓✜➜ u(r, t) = X∞ i=1 ci J0 µi r a exp −κ µi a 2 t , (23.18) ê ❿ µi ➌ J0(x) ✥Þ i ✔ß➛❼✩➠✙♣ ➉➊✛✳ u(r, t) t=0 = X∞ i=1 ci J0 µi r a = u0f(r). ❒➥ ci = 2u0 a 2J 2 1 (µi) Z a 0 f(r) J0 µi r a r dr. (23.19) ❰⑤ æ f(r) ✥ ✕✖✰ ➟✛ ➋ ➔➥⑥✗ë❶ ✥ ✫➅✩⑦❀✛⑧ f(r) = 1 − r a 2 , (23.20) ⑨✳ ci = 2u0 a 2J 2 1 (µi) Z a 0 1 − r a 2 J0 µi r a r dr = 8u0 µ 3 i J1(µi) . (23.21) ⑩✾✓❶ï➑æ⑦ 21.2 ❿✥❷ ⑥ ñ✬ ✩ ➝ ✦ ✘↕➑✥ñ✬ 1 − x 2 = 8X∞ i=1 1 µ 3 i J1(µi) J0(µix) ➫ ✶ ➄❸✛➢➤ x = 1 ✛❭➔➥❹✗✓✔✳ ✛❺✥ñ✬ ❋ X∞ i=1 1 µ 2 i = 1 4 . (23.22)
§231 Bessel方程的本征值问题 第8页 例232圆环作平面径向振动的固有频率,设圆环的内外半径分别为a和b、若内边界(内 圆)固定,外边界(外圆)自由,求圆环作平面径向振动的固有频率 解显然应该选用平面极坐标系,则位移(矢量=uer满足的波动方程为 因为 =(-产)e+产b 所以方程(23.23)等价于偏微分方程组 c2V 0 由此可见,径向位移与无关,u=u(r,t)满足微分方程和边界条 attar('ai (23.24a) 0. 3.24b) r=b 令u(r,t)=B()e-t,k=w/e,代入(23.24),便得到 LdR1+|2-2 R(r)=0 R(a)=0,R'(b)=0 容易证明,k=0时本征值间题(23.25)无解,于是,可作变换x=kr和y(x)=R(r),而将方程 (23.25a)化为 Bessel方程,由此即可得到方程(23.25a)的通解 R(r)=CJi(kr)+ DNI(kr). 代入边界条件(23.25b),即得 (ka)=0, CJ1(kb)+ DN(kb)=0 这可以看成是关于C和D的线性代数方程组,有非零解的充分必要条件是 (ka) Ni(ka) J1(b) N1(b) 这样就求得圆环作平面径向振动的固有频率1=kc,其中k是 J,(ka)N(b)-NI(ka)1(kb)=0 (23.26) 的第i个正根(由小到大排列).求出C和D,就可写出相应的固有振动模式 ui (r, t)=N,(h; a)J1(; r)-J1(k a)N1(hr)e-l (23.27
Wu Chong-shi §23.1 Bessel ➭➯➲➳➵➸➺➻ ➼ 8 ➽ ❛ 23.2 ✯❻ Ô⑩❶❤ ❼çè✥ ✭✳✴✵✩❡ ✯❻✥ r❽❣❤➅✥ ❐ a ➆ b ✩⑧ r➇➈ (r ✯) ✭✮✛❽ ➇➈ (❽ ✯) ✠ Ü ✛✪ ✯❻ Ô⑩❶❤ ❼çè✥ ✭✳✴✵✩ s t✡➷❬❥ï⑩❶❷❸❹❺✩å❾❿ (➀ ➩ )u = uer ✘✙✥➁ è ✣✤❐ ∂ 2u ∂t2 − c 2∇2u = 0. (23.23) ✴ ❐ ∇2u ≡ ∇2 (uer) = ∇2u − u r 2 er + 2 r 2 ∂u ∂φeφ, ❒➥✣✤ (23.23) ➂➃➬➃➄➅✣✤➄ ∂ 2u ∂t2 − c 2 h ∇2u − u r 2 i = 0, ∂u ∂φ = 0. (23.230 ) Ü ➞➔ ➹ ✛❤ ❼❾❿✉ φ öð✛ u = u(r, t) ✘✙➄➅✣✤➆➇➈➉➊ ∂ 2u ∂t2 − c 2 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r − u r 2 = 0, (23.24a) u r=a = 0, ∂u ∂r r=b = 0. (23.24b) ➤ u(r, t) = R(r)e−iωt, k = ω/c ✛➠✙ (23.24) ✛⑨↕➑ 1 r d dr r dR(r) dr + k 2 − 1 r 2 R(r) = 0, (23.25a) R(a) = 0, R0 (b) = 0. (23.25b) ③④Ñ Ò✛ k = 0 õ✦✧★✗✘ (23.25) ö➜✩➬➌ ✛➔Ô➨Õ x = kr ➆ y(x) = R(r) ✛Ï➝ ✣✤ (23.25a) Ö❐ Bessel ✣✤✛ Ü ➞✸➔↕➑✣✤ (23.25a) ✥ Ó➜ R(r) = CJ1(kr) + DN1(kr). ➠✙ ➇➈➉➊ (23.25b) ✛✸↕ CJ1(ka) + DN1(ka) = 0, CJ 0 1 (kb) + DN 0 1 (kb) = 0. ➁➔➥➅❋➌ ð➬ C ➆ D ✥➆❏➠ ✃✣✤➄ ✛✳➙➛➜✥➇ ➅➈➍ ➉➊➌ J1(ka) N1(ka) J 0 1 (kb) N0 1 (kb) = 0. ➁➂➋ ✪↕ ✯❻ Ô⑩❶❤ ❼çè✥ ✭✳✴✵ ωi = kic ✛ê ❿ ki ➌ J1(ka)N0 1 (kb) − N1(ka)J0 1 (kb) = 0 (23.26) ✥Þ i ✔ß✇ (Üà➑áâã) ✩✪✗ C ➆ D ✛ ➋ ➔✖✗✧➷ ✥ ✭✳çè✿ ➟ ui(r, t) = [N1(kia)J1(kir) − J1(kia)N1(kir)] e−ikict . (23.27)
第二十三讲柱函数( 第9页 823.2 Hankel函数 前面介绍的J(x)和N(x)都可以用来描写柱面波,它们的渐近展开分别是 J(a)~y2=m(x-2 N(x)~ 容易看出,它们描写的柱面波中,既有发散波,又有会聚波。但如果我们处理的问题中,只涉及发 散波或会聚波,或要求明确区分发散波或会聚波,这两个函数就不方便了这时显然应当作线性 组合 H1)(x)≡J(x)+iN,(x) 1 H2(x)≡J(x)-iN(x 如果配合上相应的时间因子e-,则B()代表发散波,B2()代表会聚波 H)(x)和H12(x)分别称为第一类和第二类Hank函数.它们都是 Bessel方程的解,都是柱 函数.统称为第三类柱函数
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✁ ) ➼ 9 ➽ §23.2 Hankel ➉➊ ②❶✌✍✥ Jν(x) ➆ Nν (x) û➔➥ï✣➋✖❜ ❶ ➁ ✛➮ø✥➌➍❘❙➅✥ ➌ Jν(x) ∼ r 2 πx cos x − νπ 2 − π 4 , Nν(x) ∼ r 2 πx sin x − νπ 2 − π 4 . ③④➅✗✛➮ø➋✖✥❜ ❶ ➁ ❿ ✛➎✳➏➐➁ ✛ Û ✳ ✤➑➁✩✷❀ ✬ ✭ø➒❵ ✥ ✗✘ ❿ ✛▲➓➡ ➏ ➐ ➁ó✤➑➁✛ ó ➍✪ Ò➔✩➅➏➐➁ó✤➑➁✛➁➫✔➱✃➋✑✣ ⑨æ✩➁õ t✡➷òÔ➆❏ ➄→ H (1) ν (x) ≡ Jν(x) + iNν(x) ∼ r 2 πx exp h i x − νπ 2 − π 4 i , H (2) ν (x) ≡ Jν(x) − iNν(x) ∼ r 2 πx exp h −i x − νπ 2 − π 4 i . ❀ ✬➣→ë✧➷ ✥õ✪✴↔ e −iωt ✛å H (1) ν (x) ➠ ❦ ➏➐➁ ✛ H (2) ν (x) ➠ ❦✤➑➁✩ H (1) ν (x) ➆ H (2) ν (x) ➅✥ü ❐Þ✓ ❄➆Þ❃❄ Hankel ➱✃✩➮øû➌ Bessel ✣✤✥➜✛û➌❜ ➱✃✩ ❊ ü ❐Þ❅❄❜➱✃✩
§233虚宗量Beel函数 第10页 823.3虚宗量 Bessel函数 从原则上说,在 Bessel函数乃至 Neuman函数和 Hankel函数的定义中,它们的宗量本来就可 以是复数.但是,为了实用上的方便,对于 Bessel函数的宗量为纯虚数的情形还是值得作一些分 析讨论,并进一步定义两类虚宗量的Beel函数 不妨仍然从偏微分方程的定解问题出发,来引入虚宗量的 Bessel函数.例如,假设有圆柱体 内的 Laplace方程定解问题 (m)+产+a=0 (23.28a) ul2=0=0, uzh=0, 有界 u1=a=f(,2) (23.28d) 按照分离变量法的标准做法,令 u(r,,2)=R(r)(q)Z(2), 代入方程(23.28a)以及边界条件(2328b)和(23.28c),分离变量,就会得到本征值问题 更()+p()=0, 3.29a) 更(0)=更(2丌),更(0)=更(2) (23.29b) 和 z"(2)+AZ(2)=0 z(0)=0,Z(h)=0 3.30b) 以及常微分方程 1 d dR dr 3.31 由本征值问题(23.29),可以得到 本征值 m=0,1,2,3 (23.32a) 本征函数 更m()= A cos nφ+ B sin mo 3.32b 其中Am和Bm是任意常数.再由本征值问题(23.30),又可求得 本征值 本征函数 这样,常微分方程(23.31)就变成 1 d/ dR R=0. (23.31)
Wu Chong-shi §23.3 ↕➙➛ Bessel ✝✞ ➼ 10 ➽ §23.3 ➜➝➞ Bessel ➉➊ ✒❻åë✢✛✑ Bessel ➱✃➟➠ Neumann ➱✃➆ Hankel ➱✃✥✮➡ ❿ ✛➮ø✥➢ ➩ ✦ ✣ ➋ ➔ ➥ ➌➤✃ ✩✷ ➌ ✛ ❐ æíïë✥✣⑨✛➴➬ Bessel ➱✃✥➢ ➩ ❐➥➦✃✥✰ ✰ ❭ ➌★↕Ô✓➣➅ ➧✜✢✛➢➨✓❶✮➡➫ ❄➦➢➩ ✥ Bessel ➱✃✩ ✑➩➫✡✒➃➄➅✣✤✥✮➜✗✘✗➏✛✣➭✙ ➦➢➩ ✥ Bessel ➱✃✩⑦❀✛➯❡✳ ✯❜ ✖ r ✥ Laplace ✣✤✮➜✗✘ 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 + ∂ 2u ∂z2 = 0, (23.28a) u φ=0 = u φ=2π , ∂u ∂φ φ=0 = ∂u ∂φ φ=2π , (23.28b) u z=0 = 0, u z=h = 0, (23.28c) u r=0✳ ➈, u r=a = f(φ, z). (23.28d) ◗➲➅➧➨➩✟ ✥ ❹➳ ✓ ✟✛➤ u(r, φ, z) = R(r)Φ(φ)Z(z), ➠✙ ✣✤ (23.28a) ➥ ➡➇➈➉➊ (23.28b) ➆ (23.28c) ✛➅➧➨➩✛➋✤ ↕➑✦✧★✗✘ Φ 00(φ) + µΦ(φ) = 0, (23.29a) Φ(0) = Φ(2π), Φ 0 (0) = Φ 0 (2π) (23.29b) ➆ Z 00(z) + λZ(z) = 0, (23.30a) Z(0) = 0, Z(h) = 0 (23.30b) ➥ ➡➵ ➄➅✣✤ 1 r d dr r dR dr + −λ − µ r 2 R = 0. (23.31) Ü✦✧★✗✘ (23.29) ✛➔➥↕➑ ✦ ✧ ★ µm = m2 , m = 0, 1, 2, 3, · · ·, (23.32a) ✦✧➱✃ Φm(φ) = Am cos mφ + Bm sin mφ, (23.32b) ê ❿ Am ➆ Bm ➌✚✛➵✃ ✩➦ Ü✦✧★✗✘ (23.30) ✛ Û ➔✪↕ ✦ ✧ ★ λn = nπ h 2 , n = 1, 2, 3, · · · , (23.33a) ✦✧➱✃ Zn(z) = sin nπ h z. (23.33b) ➁➂✛➵ ➄➅✣✤ (23.31) ➋ ➨❋ 1 r d dr r dR dr + − nπ h 2 − m2 r 2 R = 0. (23.310 )