数学物理方法 第二部分 数学物理方程
Wu Chong-shi
第十三讲数学物理方程:数学建模 第1页 第十三讲数学物理方程:数学建模 数学物理方程,通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程,有 时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程.例如 ·静电势和引力势满足的 Laplace方程或 Poisson方程 ·波的传播所满足的波动方程 热传导问題和扩散问题中的热传导方程 ·连续介质力学中的 Navier- Stockes方程组和 Euler方程组 ·描写电磁场运动变化的 Maxwel方程组 ·作为微观物质运动基本规律的 Schrodinger方程和 Dirac方程 ·弹性力学中的 Saint -venant方程组 等等,这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程(纽),所以,本课程将集中讨论几种典型的二阶线 性偏微分方程 本讲从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程.以后讨论这些方程的一般性质及 解法
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 1 ✍ ✎✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✓✔✚✛ ✜ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✣✤ ✢✬✭✮✯ ✰ ✱✲✳ ✢✴✵✶✳ ✢✷✸✹✺✻✼✽✾✥✦✧✿ ❀❁ ❂❃❄❅✿ ❆✻❇✾✥✦✴✽✾❇✾✥✦❈✩✽✾✥✦❉❊❋✧ • ● ❍■❈ ❏❑■▲▼✻ Laplace ✥✦◆ Poisson ✥✦ • ❖ ✻P◗✸▲▼✻ ❖❘✥✦ • ❙ P❚ ❯❱❈❲❳ ❯❱ ✷✻ ❙ P❚✥✦ • ❨❩❬❭ ❑✢✷✻ Navier–Stockes ✥✦❪❈ Euler ✥✦❪ • ❫ ❴❍❵❛❜❘❝❞✻ Maxwell ✥✦❪ • ❡❢✽❣✣❭❜❘❤✐❥❦✻ Schr¨odinger ✥✦❈ Dirac ✥✦ • ❧♠ ❑✢✷✻ Saint-Venant ✥✦❪ ♥♥❉♦♣✥✦ (❪ ) qrst✉♠✼✽✾✥✦ (❪ ) ❉✸ ✈✧✐✇✦①② ✷③④⑤⑥⑦⑧✻st✉ ♠ ✼✽✾✥✦❉ ✐⑨✫⑩♣✣✤ ❯❱❚ ❶⑩♣⑦⑧✻st✉♠✼✽✾✥✦❉✈❷③④♦♣✥✦✻⑩❸♠❭✬ ❹❺❉
131弦的横振动方程 §13.1弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上作 小振动.列出弦的横振动方程 取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x=0与x=l 设u(x,t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dx的一小段(弦 元).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点 分析弦元受力:它在两个端点x及x+dx处受到张力的作用 62 图13.1弦的横振动 因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力—张力T的作用,而没有法向应力.同 时,略去了重力的作用 因此有 (Tsin 0)x+dz-(Tsin 0)x= dm (T cos 0)x+dr-(T cos 0)x=0 小振动近似:x+dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dr,t)-u(x,t),与dr 相比是一个小量,即 lau/az <1 在小振动近似下, sin6≈tan6 (略去了的三级项 Cos6≈1 (略去了的二级项
Wu Chong-shi §13.1 ❻❼❽❾❿✟✠ ✌ 2 ✍ §13.1 ➀➁➂➃➄➅➆ ➇➈➉➊➋➌➍➎➏➐➑✧➒➓➔→➣↔↕✧➙➛➜➝➞➟➠➡➢✧➤➑➥➦➈➉➔➧➨➩ ➫➭➯❉➲➳➑➎➵➭➯➟➸❉ ➺➻➼➽➾➚➪➶ x ➹ ✧➘➴➷➬➮➱➶ x = 0 ✃ x = l ❉ ❐ u(x, t) ❒ ➮➱➶ x ➼➻❮❰➬Ï t ÐÑ➼ (Ò Ó) ➚Ô❉Ï➻❮ÕÖ×Ø➶ dx ➼❰ÙÚ (➻ Û ) ❉➻Û➼➻ØÜÝÙ✧ÞßàáÞâãäå❒æ➬❉ çè➻ÛéêëãÏìí➷➬ x î x + dx ï éðñê➼òó❉ ô 13.1 õö÷øù tan θ1 = ∂u ∂x x , tan θ2 = ∂u ∂x x+dx ú ❢ûr ➊➋➌➍ ✻✧ü ýþÿ ✁✂ ❑ ✄ ❑ T ✻ ❡☎ ✧✆✝✿❺ ✁✂ ❑❉✞ ❀✧✟✠ ✡☛ ❑✻❡☎ ❉ ☞✌✍ (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x = dm ∂ 2u ∂t2 , (T cos θ)x+dx − (T cos θ)x = 0. ➫➭➯✎✏ ë x + dx ❄ x ✑✒ ✓✔⑩❀✕✖ ✁✗✘✙✚ u(x + dx, t) − u(x, t) ✧❄ dx ✛✜r ⑩✢✣✤✧✥ |∂u/∂x| 1. ÏÙ✦✧★✩✪✧ sin θ ≈ tan θ = ∂u ∂x ✫✬✭∂u ∂x➼✮✯✰ , cos θ ≈ 1 ✫✬✭∂u ∂x➼✱✯✰
第十三讲数学物理方程:数学建模 第3页 这样,就有 (T)x+dr-(T)2=0 p(T)x+dz=(T) 说明T不随x变化,弦中各点的张力相等.于是, 02n02u 其中P是弦的线密度(单位长度的质量).定义 则方程可以写成 =0 0x2 a就是弦的振动传播速度 还可以证明:在小振动近似下,张力T与t无关.这是因为弦元的伸长 ds-dx= vdu+dz2-dx l dr=( 所以,在准确到ωu/r的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变化 因此,按照 Hooke定律,T也不随时间变化 前面又已经证明过,T也不随x变化,所以T是一个常数 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用,设单位长度所受的外力为f,则仿照 前面的推导,有 dr fda. 因此 a2u 282u 其中的非齐次项f/p是单位质量所受的外力
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 3 ✍ ✲✳✧✴✍ (T )x+dx − (T )x = 0 ✵ (T )x+dx = (T )x, ✶ ✷ T ✸✹ x ✺✻✧➑✼✽✾➎✿❀❁❂ ❉à❒ ✧ ρdx ∂ 2u ∂t2 = T " ∂u ∂x x+dx − ∂u ∂x x # = T ∂ 2u ∂x2 dx, ✵ ρ ∂ 2u ∂t2 − T ∂ 2u ∂x2 = 0, ❃ ❄ ρ ❒ ➻➼❅❆❇ (❈ ➚Ø❇➼ æ❉) ❉❊❋ a = s T ρ , ●❍■áÞ❏å ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0. a ✴ ❒ ➻➼✦✧❑▲▼❇❉ ◆❖ ✈P ◗ë❘✣❙❘❚❯❱✧ ✿❀ T ❲ t ❳❨ ❉♦r ú ❢û❩ ✻❬❭ ds − dx = p du 2 + dx 2 − dx = s 1 + ∂u ∂x2 − 1 dx = O ∂u ∂x2 , ✸ ✈✧❘❪❫ÿ ∂u/∂x ✻⑩❴❵ (✥✣❙❘❚❯) ✻❛❜❱ ✧ û❩ ✻❭❝❞❡❀ ✓❝❞❉ ú❅✧❢❣ Hooke ❤❦ ✧ T ❁❞❡❀ ✓❝❞❉ ✐ ❥❦ ❧♠P ◗♥✧ T ❁❞❡ x ❝❞✧✸ ✈ T ♦ ➈➉♣q❉ rs➻Ï Ò Ó (✵ ➚Ô u ➼t Ó) ❮✉éð✈ê➼òó✧❐ ❈ ➚Ø❇✇é➼✈ê➶ f ✧●①② ③④➼⑤⑥✧✍ ρdx ∂ 2u ∂t2 = T ∂ 2u ∂x2 dx + fdx. ☞✌✧ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f ρ , ❃ ❄➼⑦⑧⑨✰ f /ρ ❒❈ ➚ æ❉ ✇é➼✈ê❉
§132杆的纵振动方程 第4页 313.2杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆,沿杆长方向作小振动.假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况 (即位移)完全相同 ★如图13.2,取杆长方向为x轴方向,垂直于杆长方向的 各截面均用它的平衡位置x标记 Purrs Ar+dN 在任一时刻t,此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t) ★在杆中隔离出一小段(x,x+dx),分析受力 通过截面x,受到弹性力P(x,t)S的作用 通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用 图13.2杆的纵振动应力与应变 P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力),沿x方向为正 因此,根据 Newton第二定律,就得到 t)-P(x,切) 若杆的密度为p,则dm=pdx:S, au oP 如果略去垂直杆长方向的形变,根据Hoke 应力P与应变u/Ox成正比pO 比例系数E称为杆的 Young模量,它是一个物质常数.这样,就得到了杆的纵振动方程 0x2 0, 其中 P 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同,但它们满足的偏微分方程的形式却完全一样 这一类方程统称为波动方程 更一般地,在三维空间中的波动方程是 2u V2a=0 其中V=m+a+a称为Lp算
Wu Chong-shi §13.2 ⑩❼❶❾❿✟✠ ✌ 4 ✍ §13.2 ❷➁❸➃➄➅➆ ❹❺➈➏➐❻❼✧➒❼❽➟❾➩➫➭➯❉❿➀➥➁→❼❽➟❾➎➂➈➃➧➨✽✾➎➭➯➄➅ (➆➇➈) ➊➋❁➦❉ F r➉ 13.2 ✧➺➊Ø❍ Ó ➶ x ➹ ❍ Ó ✧➋➌à➊Ø❍ Ó ➼ ➍➎④➏óã➼➽➾➚➪ x ➱➐❉ F Ï➑❰ ÐÑ t ✧✌➎④➒➓à➽➾➚➪➼➚Ô➶ u(x, t) ❉ F Ï➊ ❄ÕÖ×❰ÙÚ (x, x + dx) ✧çèéêë • ➔→➎④ x ✧éð➣↔ê P(x, t)S ➼òó • ➔→➎④ x + dx éð➣↔ê P(x + dx, t)S ➼òó P(x, t) ➶ ❈ ➚④↕✇é➼➣↔ê (➙ ê ) ✧➛ x ❍ Ó ➶t❉ ô 13.2 ➜ö➝øù ➞➟➠➞➡ ☞✌✧➢➤ Newton ➥ ✱❊➦✧✴➧ð dm ∂ 2u ∂t2 = [P(x + dx, t) − P(x, t)] S. ➨➊➼❆❇➶ ρ ✧● dm = ρ dx · S ✧ ρ ∂ 2u ∂t2 = ∂P ∂x . rs✫✬➋➌➊Ø❍ Ó ➼➩➫✧➢➤ Hooke ❊➦✧ ➙ ê P ✃➙ ➫ ∂u/∂x åt ➭ P = E ∂u ∂x, ➭➯➲➳ E ➵ ➶➊➼ Young ➸❉✧ã❒ ❰í➺ æ➻ ➳❉✲✳✧✴➧ð✭ ➊➼➼✦✧❍■ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, ❃ ❄ a = s E ρ . ➊➼➼✦✧✃ ➻➼Ò ✦✧➽➾➚➪➶➹➒➘✧➴ã➷➬Ü➼➮➱ç❍■➼➩✃❐➶➹❰✳❉ ✲❰❒❍■❮➵ ➶ ❰➯➟➸ ❉ Ï❰ÐÑ✧Ï✮ÒÓÔ ❄➼Õ✧❍■❒ ∂ 2u ∂t2 − a 2∇ 2u = 0, ❃ ❄ ∇2 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 ➵ ➶ Laplace Ö×✧ ∇ 2 = ∇ · ∇ ✵ ∇ 2u = ∇ · (∇u)
第十三讲数学物理方程:数学建模 第5页 813.3热传导方程 推导热传导方程所用的数学方法和上面的完全相同.不同之处在于具体的物理规律不 这里用到的是热学方面的两个基本规律,即 能量守恒定律和热传导的 Fourier定律 热传导的 Fourier定律设有一块连续介质.取定一定坐标系,并用u(x,v,2,t)表示介质内 空间坐标为(x,y,2)的一点在t时刻的温度.若沿x方向有一定的温度差,在x方向也就一定有热 量的传递.从宏观上看,单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成 正比 称为热流密度,k称为导热率 k与介质的质料有关,而且,严格说来,与温度u也有关亲,但如果湿度的变化范围不 大,则可以近似地将k看成与u无关 上面公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反,即热量由高温流向低温 研究三维各向同性介质中的热传导,在介质中三个方向上都存在温度差,则有 4=-ka,9=-,%=-B 即热流密度矢量q与温度梯度ⅴu成正比 根据 Fourier定律和能量守恒定律推导均匀各向同性介质中的热传导方程. 在介质内部隔离出一个平行六面体(见图133),六个面都和坐标面重合
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 5 ✍ §13.3 Ø Ù Ú ➅ ➆ Û❚ ❙ P❚✥✦✸☎ ✻✜ ✢✥❺❈Ü ❥✻ ÝÞ✛ ✞❉❞ ✞✙ß❘àáâ✻✣✤❥❦❞ ✞❉♦ã ☎ ÿ✻r ❙✢✥ ❥✻ ✑ ✢ ❤✐❥❦✧✥ äåæçèé ❈ êëì➎ Fourier èé ❉ êëì➎ Fourier èé ❐✍❰íîïðæ ❉➺❊❰❊➮➱➲✧➚ó u(x, y, z, t) ñòð æ ó ÓÔ➮➱➶ (x, y, z) ➼❰➬Ï t ÐÑ➼ô❇❉➨➛ x ❍ Ó ✍❰❊➼ô❇õ✧Ï x ❍ Óö ✴❰❊✍÷ ❉ ➼❑ø❉ùúû❮ä✧ ü ➇ýþÿ✁➁→ x ➟❾➎ü ➇ ➧✂➎êå q ❲✄☎➎✆ þ✺✻✝✞ ✟✠ ✧ ✵ q = −k ∂u ∂x, q ➵ ➶÷✡❆❇✧ k ➵ ➶⑥÷☛❉ k ❄ ❬❭✻ ❭☞ ✿ ❆✧✆✌✧✍✎✏✑✧❄✒❝ u ✓✔ ✕✖✗✘✙✚✒✛✜✢✣ ✤✥✦ ✧★✩✪ ✫✬✭✮✯ k ✰✱✲ u ✳ ✕✗ ✴✵✶✷ ✸✹ ✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅❆❇❀❁❂❈❉❊❋★●✾❍■❏❄✿❂❑❄✗ ▲▼◆❖P ◗❘❙❚❯ ✸✹❱❲❳★❨❚❯ ✸◆❩❬ ◗✴❭❪❨❫❴❵★❛❜ qx = −k ∂u ∂x, qy = −k ∂u ∂y , qz = −k ∂u ∂z , ❝ q = −k∇u, ❞❱❡❢❴❣❤ q ✐❫❴❥❴ ∇u ❦❧ ♠✗ ♥♦ Fourier ♣qrs❤t✉♣q✈❳✇①P ◗❘❙❚❯ ✸✹❱❲❳❬②✗ ❨❚❯ ③④⑤⑥⑦⑧❩⑨⑩❶✵❷ (❸❹ 13.3) ★❶❩✵❭r❺❻✵❼❽✗
§133热传导方程 第6页 (a g, z) 图13.3热传导方程 位于(x,y,2)点的小六面体 ★△t时间内沿x方向流入六面体的热量 (qx)2-(qx)x+d]△y△2△t △y△z△t O2△x△y△z△t ★t时间内沿y方向流入六面体的热量 (q)-(qy)2+d△z△z△t=kAx△y△z△t ★在△t时间内沿z方向流入六面体的热量 q)2-(q)2+d-]△r△y△t=k 如果六面体内没有其他热量来源或消耗,则根据能量守恒定律,净流人的热量应该等于介质在此 时间内温度升高所需要的热量, (a+2+2)△△y△4=p△Ay△c△u 所以 V2u=0 其中p是介质的密度,c是比热容
Wu Chong-shi §13.3 ❾❿➀➁➂ ➃ 6 ➄ ❹ 13.3 ❱❲❳❬② ➅➆ (x, y, z) ➇ ✹➈❶✵❷ F ∆t ➉➊ ③➋ x ❬ ◗❡➌❶✵❷✹❱❤ (qx)x − (qx)x+dx ∆y∆z∆t = h k ∂u ∂x x+dx − k ∂u ∂x x i ∆y∆z∆t = k ∂ 2u ∂x2 ∆x∆y∆z∆t. F ∆t ➉➊ ③➋ y ❬ ◗❡➌❶✵❷✹❱❤ h (qy) y − (qy) y+dy i ∆x∆z∆t = k ∂ 2u ∂y2 ∆x∆y∆z∆t, F ❨ ∆t ➉➊ ③➋ z ❬ ◗❡➌❶✵❷✹❱❤ (qz) z − (qz) z+dz ∆x∆y∆t = k ∂ 2u ∂z2 ∆x∆y∆z∆t. ➍➎❶✵❷ ③➏❜➐➑❱❤➒➓❝➔→★❛♥♦s❤t✉♣q★ ➣✿↔❀✾❍↕➙➛➜➝➞➟➠ ➡➢➤❄❅➥❏➦➧➨❀✾❍★ k ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u. ➩➫ ∂u ∂t − k ρc ∇2u = 0, ➐ ✸ ρ ➭ ❚❯✹❢❴★ c ➭ ♠❱➯✗
第十三讲数学物理方程:数学建模 第7页 K=k/pe,则有 at 其中K称为扩散率,或温度传导率 如果在介质内有热量产生(例如,有化学反应发生,或通有电流 ),单位时间内单位体 积介质中产生的热量为F(x,v,z,t),则有 kv2au△x△y△z△t+F(x,y,z,t)△x△y△z△t=p△x△y△zc·△ kVu=-F(r, 3, 2, t)=f(a, y, 2, t) 如果介质不均匀,则导热率k与坐标(x,y,2)有关.这时,热传导方程就变为 V·(kVu)=F(x,y,z,t) 热传导方程的另一种形式令j=pc,称为热流(强度),则 +V·q=F(x,y,2,t) 这个方程常称为连续性方程 如果是各向异性介质,则 Fourier定律应改写成 K. V 这里的κ是一个3×3矩阵,它和Vu按矩阵乘法的规则相乘 相应地,热传导方程变为 u Pcr-V.(K. Vu)=F(a, y, 2,t) 从分子运动的角度看,温度的高低是分子热运动激烈程度的反映.分子热运动的不平衡,通 过碰撞交换能量,在宏观上就表现为热量的传递.可以设想,如果介质内存在别种不均匀状况,例 如物质浓度的不均匀,通过分子的运动也会发生物质的交换,这在宏观上就表现为分子的扩散 这种在微观机理上的相似性,就决定了扩散方程和热传导方程有相同的形式, at-DV-u=f(z, y, 2, t), 其中的u(x,y,z,t)代表分子浓度,D是扩散率,f(x,y,z,t)则是单位时间内在单位体积中该种分 子的产率
Wu Chong-shi ➲➳➵➸ ➺➻➼➽➁➂➾➺➻➚➪ ➃ 7 ➄ ➶ κ = k/ρc ★❛❜ ∂u ∂t − κ∇2u = 0, ➐ ✸ κ ➹➘➴➷➬★❝❫❴❲❳➬✗ ➍➎❨❚❯ ③❜❱❤➮➱ (✃ ➍★❜❐❒❮❰Ï➱★❝Ð❜ Ñ❡★ · · · · · ·) ★Ò➅➉➊ ③Ò➅❷ Ó❚❯ ✸➮➱✹❱❤ ➘ F(x, y, z, t) ★❛❜ k∇ 2u∆x∆y∆z∆t + F(x, y, z, t)∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u, ∂u ∂t − κ∇ 2u = 1 ρc F(x, y, z, t) = f(x, y, z, t). ➍➎❚❯Ô✇①★❛❳❱➬ k ✐❺❻ (x, y, z) ❜Õ✗Ö➉★❱❲❳❬②×Ø➘ ρc ∂u ∂t − ∇ · (k∇u) = F(x, y, z, t). ✾ÙÚ❁Û❀ÜÝÞßà ➶ j = ρcu ★ ➹➘❱❡ (á❴ ) ★❛ ∂j ∂t + ∇ · q = F(x, y, z, t). â❩❬②ã➹➘ äåæ❁Û✗ ➍➎➭ P ◗ç❙❚❯★❛ Fourier ♣q❰èé❦ q = −K · ∇u. êë✜ K ìíî 3 × 3 ï ð★ñò ∇u óï ðôõ✜ö✩÷ô✗ ø❰ù★❱❲❳❬②Ø➘ ρc ∂u ∂t − ∇ · (K · ∇u) = F(x, y, z, t). úûüýþ✹ÿ❴★❫❴✹✁✂➭ ûü❱ýþ✄☎②❴✹❮✆ ✗ ûü❱ýþ✹Ô⑨✝★Ð ✞✟✠✡☛s❤★❨☞✌✴×✍✎➘ ❱❤✹❲✏ ✗ ✑➫✒✓★➍➎❚❯ ③❪❨✔✕Ô✇①✖✗★ ✃ ➍✘❯✙❴✹Ô✇①★Ð✞ûü✹ýþ✚✛Ï➱✘❯✹✡☛★â❨☞✌✴×✍✎➘ ûü✹ ➴➷✗ â✕❨✜✌✢✣✴✹ø✤❙★×✥ ♣✦➴➷❬②r ❱❲❳❬②❜ø❘✹✧✷★ ∂u ∂t − D∇2u = f(x, y, z, t), ➐ ✸✹ u(x, y, z, t) ★ ✍ûü✙❴★ D ➭➴➷➬★ f(x, y, z, t) ❛ ➭ Ò➅➉➊ ③❨Ò➅❷Ó ✸✩✕û ü✹➮ ➬✗
134稳定问题 第8页 8134稳定问题 稳定中钱分布关滑条件物小达到价不不随时变化时。分布中 Poisson伸照 也别是,如果∫=0,条件 Laplace伸照 这两种伸照描写是达到的还物理状态 随 此电场力电势如果.动伸照a也不随时间变化,例如静电场电势u(x,y,z),也满时 Poisson伸照 不 随 其·ρ是电荷按级,〓0称为真空电容率(真空电常数).如果电荷按级p≡0,条静电场电势 满时 Laplace伸照 Vu(r, y, z)=0 单色波如果.动伸照 不 u(x,y,z,t)随时间周期地变化,频率为u u(, y, a, t)=v(r, y, z)e 条v(x,y,z)满时 Helmholtz伸照 V2u(,0,)+k2(x,,2)=0 其k=/a称为.数 以就~种基本偏微分伸照,从物理就第,件 ★反映波动过程的波动方程 ★反映扩散过程的热传导方程 ★反映稳变化态的 Poisson方程和 Laplace方程 从数学就第,这也,为相应地分为还类 ★波动方程,在数上属于这曲型方程 ★热传导方程,在数上属于物型方程 ★ Poisson方程和 Laplace方程,在数 属于椭圖型方程 这还类伸照以解问题,将是本课照·心任务
Wu Chong-shi §13.4 ✪✫✬✭ ➃ 8 ➄ §13.4 ✮ ✯ ✰ ✱ ✲✳❄❅✴✵ ❨⑧ ♣✶✷✸★✘❷✹❫❴✹✺✻♣✼ ❞Ô✽ ➉➊Ø❐ ➉★❛❫❴û✾✿❀ Poisson ❬② ∇ 2u = − f κ . ❁✔ ➭★➍➎ f = 0 ★❛❜ Laplace ❬②★ ∇2u = 0. â❂✕❬②❃é✹ ➭✹✺✻✉✹✘✣✖❄✗ ❅❆❇❀❆❈ ➍➎❉þ❬② ✸ u ✚Ô✽ ➉➊Ø❐★✃ ➍❊ Ñ❋✹ Ñ● u(x, y, z) ★✚✿❀ Poisson ❬② ∇ 2u = − ρ ε0 , ➐ ✸ ρ ➭ Ñ❍❢❴★ ε0 ➹➘■❏ Ñ➯ ➬ (■❏❚ Ñã❑ ) ✗ ➍➎ Ñ❍❢❴ ρ ≡ 0 ★❛❊ Ñ❋✹ Ñ● ✿❀ Laplace ❬② ∇2u(x, y, z) = 0. ▲▼◆ ➍➎❉þ❬② ∂ 2u ∂t2 − a 2∇2u = 0 ✸★ u(x, y, z, t) ✽ ➉➊❖PùØ❐★◗ ➬➘ ω ★ u(x, y, z, t) = v(x, y, z)e−iωt , ❛ v(x, y, z) ✿❀ Helmholtz ❬② ∇2 v(x, y, z) + k 2 v(x, y, z) = 0, ➐ ✸ k = ω/a ➹➘❉❑ ✗ ➫✴✹❘✕❙❚✹❯✜û❬②★ú✘✣✴★❜ F ❱❲❳❨❩❬✜ ❳❨❭❬ F ❱❲❪❫❩❬✜ ❴❵❛❭❬ F ❱❲❜❝❞❡✜ Poisson ❭❬ò Laplace ❭❬ ú❑❒✴★â✚ ❧❢ ø❰ùû ➘ ◆❣❤ F ❳❨❭❬★✐❥ ❦❧♠♥♦ ♣q❭❬ F ❴❵❛❭❬★✐❥ ❦❧♠♥rsq❭❬ F Poisson ❭❬ò Laplace ❭❬★✐❥ ❦❧♠♥t ✉q❭❬ â◆❣❬②✹✈✇①②★③ ➭❚④②✹ ✸⑤⑥⑦✗
