数学物理方法 第一部分 复变函数
Wu Chong-shi
第一讲解析函数 §1.1预备知识:复数及其运算规则 复数定义设有一对有序实数(a,b),遵从下列运算规则: 加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2) 乘法(a,b)c,d)=(ac-bd,ad+bc), 则称这一对有序实数(a,b)定义了一个复数a,记为 a=(a,b)=a(1,0)+b(0,1), 称为a的实部,b称为a的虚部, Re 复数相等:两复数的实部、虚部分别相等 复数不能比较大小! ★特殊的复数:实数1 (1,0)(1,0)=(1,0),(1,0)(a,b)=(a,b) 可见(1,0)具有和实数1同样的运算效果, (1,0)=1. ★特殊的复数:虚单位i (0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 这样就定义了虚单位i=(0,1) i2=-1 所以,复数a又可以记为 a=a+ib ★特殊的复数:0 (a,b)+(0,0)=(a,b),(a,b6)(0,0)=(0,0) 可见(0,0)具有和实数0同样的运算效果 ★复数共轭复数a*≡a-ib与a=a+ib互为共轭 (a,)"=a. 共轭复数的乘积为实数 (a +ib)(a-ib)=a2+b ★复数减法复数加法的逆运算
Wu Chong-shi §1.1 ✁✂✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 2 ✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕ §1.1 ✖✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧ ★✩✪✫ ✬✭✮✯✭✰✱✲ (a, b) ✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼ ✽✾ (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), ✿✾ (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc), ✻❀❁✮✯✭✰✱✲ (a, b) ❂❃❄✮❅❆✲ α ✳❇❈ α = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), a ❀❈ α ❉ ✱❊✳ b ❀❈ α ❉❋❊ ✳ a = Re α, b = Im α. F ★✩●❍✼ ■ ❆✲❉ ✱❊❏❋ ❊❑▲▼◆❖ ❆✲P◗ ❘❙❚❯ ❱ F ❲❳❨★✩✼❩✩ 1 (1, 0)(1, 0) = (1, 0), (1, 0)(a, b) = (a, b), ❬❭ (1, 0) ❪ ✭❫✱✲ 1 ❴❵❉✸✹❛❜✳ (1, 0) = 1. F ❲❳❨★✩✼❝❞❡ i (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1, ❁❵❢❂❃❄❋❣❤ i = (0, 1) ✳ i 2 = −1. ✐❥✳ ❆✲ α ❦ ❬❥ ❇❈ α = a + i b. F ❲❳❨★✩✼ 0 (a, b) + (0, 0) = (a, b), (a, b)(0, 0) = (0, 0), ❬❭ (0, 0) ❪ ✭❫✱✲ 0 ❴❵❉✸✹❛❜✳ (0, 0) = 0. F ★✩❧♠ ❆✲ α ∗ ≡ a − i b ♥ α = a + i b ♦❈♣q❖ (α ∗ ) ∗ = α. ♣q❆✲❉ ✿r❈ ✱✲❖ (a + i b)(a − i b) = a 2 + b 2 . F ★✩st ❆✲✽✾❉✉✸✹✼ (a + i b) − (c + i d) = (a − c) + i (b − d), F ★✩✈t ❆✲✿✾❉✉✸✹✼ a + i b c + i d = (a + i b)(c − i d) (c + i d)(c − i d) = ac + bd c 2 + d 2 + i bc − ad c 2 + d 2
81.2预备知识:复数的几何表示 一个复数可以用复平面上的一个点表示(见图1.1) .a(a, b) O. ·a"(a 图1.1复数a和a 复数a=a+ib还可以表示成复平面上的一个矢量(见图12) 图1.2矢量OP和OP代表同一个复数 这里的矢量是自由矢量:将一个矢量平移(例如将矢量的一个端点移到原点仍代表同一个 复数加法的几何意义:横坐标、纵坐标分别相加 复数加法满足平行四边形法则(或称为三角形法则 图1.3复数加法的平行四边形法则和三角形法则 图1.4复数减法的平行四边形法则和三角形法则 平行四边形法则(或三角形法则)也可以应用于复数相减a-B≡a+(-B): 1.将代表B的矢量反向(即表示一B),然后作加法 2.由B的终点指向a的终点作一矢量,即代表a-B
Wu Chong-shi ✇①② ③④⑤✝ ✌ 3 ✍ §1.2 ✖✗✘✙✚✛✜⑥⑦⑧⑨⑩ ✮❅❆✲❬❥❶❆❷❸❹❉ ✮❅❺❻❼ (❭❽ 1.1) ❖ ❾ 1.1 ❿➀ α ➁ α ∗ ❆✲ α = a + i b ➂ ❬❥❻❼➃❆❷❸❹❉ ✮❅➄➅ (❭❽ 1.2) ❖ ❾ 1.2 ➆➇ OP ➁ O0P 0 ➈➉➊➋➌❿➀ ❁➍❉➄➅➎ ➏➐➑➒ ✼➓✮❅➄➅❷➔ (→➣➓➄➅❉ ✮❅↔❺➔↕➙❺) ➛➜❻ ❴ ✮❅ ❆✲❖ ★✩➝t❨➞➟➠✫ ✼ ➡➢➤❏➥➢➤❑▲▼✽❖ ❆✲✽✾➦➧❷➨➩➫➭✾✻ (➯❀❈➲➳➭✾✻) ❖ ❾ 1.3 ❿➀➵➸➺➻➼➽➾➚➸➪➁➶➹➚➸➪ ❾ 1.4 ❿➀➘➸➺➻➼➽➾➚➸➪➁➶➹➚➸➪ ❷➨➩➫➭✾✻ (➯➲➳➭✾✻) ➴ ❬❥➷❶➬❆✲▼➮ α − β ≡ α + (−β) ✼ 1. ➓➜❻ β ❉ ➄➅➱ ✃ (❐ ❻❼ −β) ✳❒❮❰✽✾Ï 2. Ð β ❉Ñ❺Ò ✃ α ❉Ñ❺ ❰ ✮➄➅✳❐➜❻ α − β ❖
复数的极坐标表示 a=r(cos 0 +i sin 0) r,称为复数a的模和辐角 a, 0=arga +2x 显然 a=rcos e 复数0的模为0,辐角不定 图1.5复数的模和辐角及辐角的多值性 ★复数辐角的多值性:由于三角函数的周期性,所以一个复数的辐角不是唯一的,它还 可以加上2的任意整数倍 通常把(-兀,可之间的辐角值称为辐角的主值 极坐标表示下的复数运算 复数共轭 a"=r(cos 8-i sin 0) 复数乘法 a1=Ti(cos 81+i sin 01), 02=T2(cos B2+i sin B2) 于是 a1-a2=T1r2[(cos 01 cos 02-sin 01 sin 02) +i(sin 01 cos B2+ cos 01 sin 02)] r1r2cos(61+62)+isin(61+62) 两个复数相乘,就是它们的模相乘,辐角相加 复数除法 a1=102=ncos(61-2)+isin(61-62) 两个复数相除,就是它们的模相除,辐角相减 复数的指数表示:定义复指数函数 cos 0+i sin 6 且具有和实指数函数相同的性质 e(1+2) 则复数a又可以表示成 i e 指数表示形式下的复数乘法和除法 a1a2=r1e1,r2e12=r1r2e(e1+2)
Wu Chong-shi §1.2 ✁✂✄☎✆✝ÓÔÕÖ× ✌ 4 ✍ ★✩❨ØÙÚÛÜ✼ α = r(cos θ + i sin θ). r, θ ❀❈❆✲ α ❉Ý❫Þ➳✳ r = |α|, θ = arg α. ß ❒✳ a = r cos θ, b = r sin θ. ❆✲ 0 ❉Ý❈ 0 ✳ Þ ➳ P ❂ ❖ ❾ 1.5 ❿➀➺à➁á➹âá➹➺ãäå F ★✩æç❨èéê✼ Ð ➬ ➲➳ë✲ ❉ìíî✳✐❥ ✮❅❆✲❉ Þ ➳ P➎ï✮❉✳ð ➂ ❬❥✽❹ 2π ❉ñòó✲ô❖ õö÷ (−π, π] øù❉Þ ➳ú❀❈Þ ➳❉ûú❖ ØÙÚÛÜü❨★✩ýþ✼ ❆✲♣q α ∗ = r(cos θ − i sin θ). ❆✲✿✾ α1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1), α2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2), ➬➎ α1 · α2 = r1r2 (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2) = r1r2 [cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)] . ■ ❅❆✲▼✿✳❢➎ðÿ❉Ý▼✿✳ Þ ➳ ▼✽❖ ❆✲✾ α1 α2 = α1 · α ∗ 2 α2 · α ∗ 2 = r1 r2 [cos (θ1 − θ2) + i sin (θ1 − θ2)] . ■ ❅❆✲▼ ✳❢➎ðÿ❉Ý▼ ✳ Þ ➳ ▼➮❖ ★✩❨✁ ✩ ÛÜ✼ ❂❃❆Ò✲ë ✲ e i θ = cos θ + i sin θ, ✂ ❪ ✭❫✱Ò✲ë ✲▼❴❉î✄✼ e i θ1 · e i θ2 = ei (θ1+θ2) , ✻ ❆✲ α ❦ ❬❥❻❼➃ α = re i θ . Ò✲❻❼➭☎ ✶❉❆✲✿✾❫✾ ✼ α1 · α2 = r1e i θ1 · r2e i θ2 = r1r2e i (θ1+θ2) , α1 α2 = r1e i θ1 · 1 r2 e −i θ2 = r1 r2 e i (θ1−θ2) .
813复数序列 按照一定顺序排列的复数 n=1,2,3,……, 称为复数序列,记为{an} 复数序列的性质和实数序列完全相同. 一个复数序列完全等价于两个实数序列 聚点给定序列{zn},若存在复数z,对于任意给定的ε>0,恒有无穷多个zn满足 zn-20,总能找到N()>0,使当 >N()时,有|zn-20,存在正整数N(=)>0,使 对于任意正整数p,有 N 个无界序列不可能是收敛的
Wu Chong-shi ✇①② ③④⑤✝ ✌ 5 ✍ §1.3 ✛ ✜ ✆ ✝ ✞✟✮ ❂✠ ✰✡ ✷❉❆✲ zn = xn + i yn, n = 1, 2, 3, · · · , ❀❈❆✲✰✷✳❇❈ {zn} ❖ ❆✲✰✷❉î✄ ❫✱✲✰✷☛☞▼ ❴ ❖ ✮❅❆✲✰✷☛☞◆✌➬ ■ ❅✱✲✰✷ ❖ ✍✎ ✏ ❂ ✰ ✷ {zn} ✳✑✒✓❆✲ z ✳ ✯➬ ñò✏ ❂❉ ε > 0 ✳✔ ✭✕✖✗❅ zn ➦➧ |zn − z| 0 ✳✵ ◗✶↕ N(ε) > 0 ✳✭✷ n > N(ε) ✸✳ ✭ |zn − z| 0 ✳✒✓✬ ó ✲ N(ε) > 0 ✳✭ ✯➬ ñò✬ ó ✲ p ✳ ✭ |zN+p − zN | < ε. ✮❅✕✯✰ ✷ P❬◗➎✹✺❉ ❖
81.4复变函数 只介绍定义在复数平面上的一定区域的复变函数 点集的内点以某一点为圆心作一个圆,只要半径足够小,使得圆内的所有的点都属于该点 集,则称此点为点集的内点 区域满足下列两个条件的点集:(1)全部都由内点组成;(2)具有连通性,即点集中任意 两点,都可以用一条折线连接起来,折线上的点全都属于此点集 图1.6(a)和(b)中的图形都是区域,但(c)不构成区域 ○ 图1.6区域(a)和(b)与非区域(c) 区域常用不等式表示.例如 2|r R10 2|0 图17几个典型的区域
Wu Chong-shi §1.4 ✆ ❄ ⑤ ✝ ✌ 6 ✍ §1.4 ✛ ❅ ❆ ✜ ❇❈❉❂❃✓ ❆✲❷❸❹❉ ✮ ❂❊❋❉ ❆● ë ✲❖ ✎❍❨■ ✎ ❥❏✮❺❈ ❑▲❰ ✮❅ ❑✳ ❇▼◆❖➧P❯ ✳✭◗ ❑❘❉ ✐✭ ❉ ❺ ✮❙➬❚❺ ❯ ✳✻❀❱ ❺ ❈ ❺❯ ❉ ❘ ❺❖ ❲❳ ➦➧✶✷■❅❨❩❉ ❺❯ ✼ (1) ☞ ❊ ✮ Ð❘ ❺❬➃Ï (2) ❪ ✭❭õ î✳❐❺❯ ✤ñò ■ ❺ ✳✮ ❬❥❶✮❨❪❫❭❴❵❛✳ ❪❫❹ ❉ ❺ ☞✮❙➬ ❱ ❺❯❖ ❽ 1.6(a) ❫ (b) ✤❉ ❽➭ ✮ ➎ ❊❋✳❜ (c) P❝➃ ❊❋❖ ❾ 1.6 ❞❡ (a) ➁ (b) ❢❣❞❡ (c) ❊❋ö❶P◆☎❻❼❖→➣✳ |z| r R1 0 |z| 0 ❾ 1.7 ♥➌♦♣➺❞❡
区域的边界点和边界所谓区域的边界点,并不属于区域,但是以它为圆心作圆,不论半径 如何小,圆内总含有区域的点 边界点的全体就构成边界 区域边界的方向如果沿着边界走,区域保持在左方,则走向称为边界的正向.例如,对于 环域a0,总能找到一个6()>0,使当|z-20|0,存在6(=)>0,使当|z-20<6时,恒有|f(z)-f(z0)<ε,则称∫(z)在20点连续 复变函数中极限和连续概念的表述,在形式上和实变函数中完全相同.但由于所涉及的数的 变化范围不同(一个是在复数平面上变化,一个只限于在实轴上变化),因此,实际含义并不完全 相同 函数在区域G内每一点都连续,称为在G内连续 在闭区域G中连续的函数具有两个重要性质
Wu Chong-shi ✇①② ③④⑤✝ ✌ 7 ✍ ❲❳❨q ✧✎✪ q ✧ ✐r ❊❋❉ ➫✯❺ ✳ sP ❙ ➬ ❊❋✳❜ ➎❥ð ❈ ❑▲❰ ❑✳ Pt◆❖ ➣✉ ❯ ✳❑❘✵✈✭ ❊❋❉ ❺❖ ➫✯❺ ❉☞✇❢ ❝➃➫✯❖ ❲❳q ✧ ❨①② ➣❜③④➫✯⑤✳❊❋⑥⑦✓⑧⑨✳✻⑤ ✃ ❀❈➫✯ ❉ ✬ ✃❖→➣✳✯➬ ⑩ ❋ a 0 ✳✵ ◗✶↕✮❅ δ(ε) > 0 ✳✭✷ |z − z0| 0 ✳✒✓ δ(ε) > 0 ✳✭✷ |z − z0| 0 ✳➺➜➻ z ➼ ➽➥ δ(ε) > 0 ✳➾ G ➝➥➵➚➪ ➶➹ z1 ➘ z2 ✳➴➷➬➮ |z1 − z2| < δ ✳➱➞ |f(z1) − f(z2)| < ε ❖ ❭➇ë ✲ ❉ ❫❏✃❏r❏❐ (✓ ❑❒P ❈❮❉ ❺ ) ✳ ❥➒❭➇ë ✲ ❉ ❆➁ ë ✲ ➛ ➎❭➇ë ✲❖
81.6无穷远点 对于无界序列{zn},给定任意正数M,不存在一个正整数N,使当n>N时,|znM.这时可以仿照序列在有限远处的聚点的概念,称无穷 远点(记为∞点)为无界序列的一个聚点.例如z=1和z=∞就是序列 1,2,1,4,1,6,1,8 的两个聚点 如果一个无界序列在有限远处无聚点,那么,∞点就是它的唯一的一个聚点,或称无界序列 收敛于∞点 无穷远点也是一个(复)数,其模大于任何正数,辐角不定.在复数平面上也存在相应的一点 以任意方式无限地远离原点,即可到达无穷远点 包括有无穷远点的复数平面称为扩充了的复数平面 为了更直观地表现无穷远点,还可以引进复数球面 过复数平面上的原点(0,0)作直径为1的球面,使与复数平面相切,切点称为南极.过南极的 直径的另一端点称为北极N.适当定义球面坐标(6,o),例如使φ=0和π的两个半平面与复数 平面相交于正负实轴,而θ=0和π则对应于北极和南极.这样定义的球面就称为复数球面,如 图18 图1.8复数球面 对于复数平面上一点z,将它和复数球面的北极N相连,此连线和球面必有一交点,这就是 说,复数球面上的点和复数平面上的点也存在一一对应的关系.于是,就可以用复数球面上的这 个交点来表示复数z.例如南极对应于复数0,赤道对应于复数平面上的单位圆.让复数平面上 的点无限地远离原点,就得到无穷远点在复数球面上的对应点一北极N 对于无穷远点,还可以用变换(或映射)的语言定义.例如变换v=1/z就建立了复数z和复 之间的一一对应关系.复数z=0对应于u=∞,而z=∞对应于=0
Wu Chong-shi §1.6 ❰ Ï Ð Ñ ✌ 8 ✍ §1.6 Ò Ó Ô Õ ✯➬✕✯✰ ✷ {zn} ✳ ✏ ❂ñò✬✲ M ✳ P ✒✓✮❅✬ ó ✲ N ✳✭✷ n > N ✸✳ |zn| M ❖ ❁✸ ❬❥Ù✟✰ ✷✓ ✭ ✚ÚÛ❉ ✘❺ ❉➈➉✳❀ ✕✖ Ú ❺ (❇❈ ∞ ❺ ) ❈ ✕✯✰ ✷❉✮❅✘❺❖→➣ z = 1 ❫ z = ∞ ❢ ➎✰✷ zn = 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, · · · ❉■❅✘❺❖ ➣❜✮❅✕✯✰ ✷✓ ✭ ✚ÚÛ✕✘❺ ✳ ÜÝ✳ ∞ ❺ ❢ ➎ð ❉ ï✮❉ ✮❅✘❺ ✳➯❀✕✯✰ ✷ ✹✺➬ ∞ ❺❖ ✕✖Ú ❺ ➴ ➎✮❅ (❆ ) ✲ ✳✣Ý ❚➬ ñ✉ ✬✲ ✳ Þ ➳ P ❂ ❖ ✓ ❆✲❷❸❹➴✒✓▼➷ ❉ ✮❺❖ ❥ ñò⑨ ☎✕✚ÞÚß➙❺✳❐❬↕à✕✖Ú ❺❖ áâ✭✕✖Ú ❺ ❉ ❆✲❷❸❀❈ãä❄❉❆✲❷❸❖ ❈❄åæçÞ❻è✕✖Ú ❺ ✳➂❬❥éê❆✲ë❸❖ ❾❆✲❷❸❹❉ ➙❺ (0, 0) ❰æ ❖ ❈ 1 ❉ ë❸ ✳✭♥ ❆✲❷❸▼ì ✳ ì❺ ❀❈í✙❖❾ í✙❉ æ ❖ ❉î ✮↔❺❀❈ï✙ N ❖ð ✷❂❃ë❸ ➢➤ (θ, φ) ✳→➣✭ φ = 0 ❫ π ❉■❅◆❷❸♥ ❆✲ ❷❸▼ñ➬✬ò✱↕ ✳✻ θ = 0 ❫ π ✻ ✯➷➬ï✙❫ í✙❖ ❁❵❂❃❉ë❸ ❢❀❈❆✲ë❸ ✳➣ ❽ 1.8 ❖ ❾ 1.8 ❿➀óô ✯➬❆✲❷❸❹✮❺ z ✳➓ ð❫❆✲ë❸ ❉ï✙ N ▼❭ ✳❱ ❭❫❫ë❸ ✢ ✭✮ñ❺ ✳❁❢➎ ❶ ✳ ❆✲ë❸❹❉ ❺❫❆✲❷❸❹❉ ❺ ➴✒✓✮✮✯➷ ❉ ➋õ❖➬➎ ✳❢❬❥❶❆✲ë❸❹❉❁ ❅ñ❺❛❻❼❆✲ z ❖ →➣í✙✯➷➬❆✲ 0 ✳ö÷✯➷➬❆✲❷❸❹❉❣❤ ❑ ❖ø❆✲❷❸❹ ❉ ❺✕ ✚ÞÚß➙❺✳❢◗ ↕✕✖Ú ❺ ✓ ❆✲ë❸❹❉ ✯➷❺ ï✙ N ❖ ✯➬✕✖Ú ❺ ✳➂❬❥❶●Ö (➯ùú) ❉ûü❂❃❖ →➣●Ö w = 1/z ❢ýþ❄ ❆✲ z ❫❆ ✲ w øù❉✮✮✯➷➋õ❖❆✲ z = 0 ✯➷➬ w = ∞ ✳✻ z = ∞ ✯➷➬ w = 0 ❖
§1.7关于复数的历史 1.早的页史 数,最平0壁易在二复数方的求解中引入的,距C mo Cardan 利,医生、数 ~1576)在他的 Ars magna(《一》)则:中认真地论交發 数,个复示数的部运算法,、同时也等.否种运算的會洁性此小曰 Rafael Bombelli( 利,工程师、数数包家,1526~1572)熟的地运用数,可明方程的和式为负(因 数开方)时必有发所以根(见《数数’》,1572年个版) 2. Johann bernoulli和 Leibniz的争论 微积分的建立过程中, Johann bernoull11667~1748)部 Gottfried wilhelm leibniz(1646 1716)采用部分分式法求有理函数的积分时用函复数.1702年, Johann bernoulli指个,在替换 -1b-z t+1 16+2 用平,有 复 因着面式上点的表函数示图分和复示为图角函数惑数函数,所图 Johann bernoulli建立 图角函数部数画数用间的联亲,不所结果引发有关负数的数部复数的数性质的小论 Leibniz则方个在积分 (其中是少d为复数) 时毫不犹豫地使用数函数,认为复数的个是如害的,另则方个,在1712年的原章( Acta crud 1712,167~169,或见 Math. Schriften,,5,387~389)图及1712-1713年问部 Johann bernoulli的通 信中,却又断言负数的数是构的, Leibniz的论点是,一满1的数的数为足,0与1用间的 数的数为负,因此不示能有负数的数.他进则。说,假如-1的数存在,那的√的"数 是它的则半;而√=工肯定是没有数的.而 Johann bernoulli力图可明负数的数是以数 的观点是:因为 d(_x) 和 所图1m(-)=1mx;又因为1n1=0,所图1(-1)=0. Leibniz图驳说,dmx=dr/x只足数x 于立 十几年小,1727~1731年问 L einhard euler(1707~1783)部 Johann bernoulli又发生争 Johann bernoulli仍然作他的见解,而 Euler复示不同 3. Euler由式 1714年 Roger Cotes((英,1682~1716)发复则所关满复数的定理,用在的复示,是 ld=ln(cos+√=lsin) 1740年10月18日, Euler在 Johann bernoulli的信中说y=2csx部y=e+e一是同 则所微分方程的解,因此应当相面1743年,他又发复(在称为Euer公式)
Wu Chong-shi ÿ✁ ✂✄☎✆ ✝ 9 ✞ ∗§1.7 ✟✠✛✜⑥✡☛ 1. ☞✌❨✍✎ ✏✑✳ ✒✓ (16 ✔✕) ✖✗✘✙✚✛ ✙✜✑✢✣✤✥✦ ✧★✩✤✪1545 ✫✬Girolamo Cardano(✭ ✮✯✬✰✱ ✚ ✲ ✳✴✚ ✵✶✷ ✴ ✬1501 ∼ 1576) ✗✸✤ Ars Magna( ✹✮✷✺) ✻✼ ✧✽✾✿❀❁ ❂❃ ✲ ✬❄ ❅❆❇❃✲✤❈❉❊❋●❍■✬❏ ❑▲▼◆❖P◗❋●✤❘❍❙✪❚❯✬ Rafael Bombelli(✭ ✮✯✬❱✣❲✚✜ ✲ ✳✴✬ 1526 ∼ 1572) ❳❨✿❋❩❃✲ ✬❬ ❭ ❂✛ ✙ ✢✣✤❪❫❴❵ ❛ (❜❝ ❞ ❡❃✲❢✢ ) ▲❣❤✛✐ ❥❦ (❧ ✹✜ ✲ ✳✺ ✬ 1572 ✫ ❅♠) ✪ 2. Johann Bernoulli ♥ Leibniz ♦♣q ✗rst ✳✤✉✈✇✣ ✧✬ Johann Bernoulli(1667 ∼ 1748) ❊ Gottfried Wilhelm Leibniz(1646 ∼ 1716) ① ❩②tt❴❍✥❤③④✲✤ st▲❩⑤ ❂⑥✲✪ 1702 ✫✬ Johann Bernoulli ⑦ ❅ ✬✗⑧⑨ z = √ −1b t − 1 t + 1 ⑩ t = √ −1b − z √ −1b + z ❶❷✬❤ dz z 2 + b 2 = − dt √ −12bt . ❜ ❵❸❴❹❺✤❻④✲❼ ❽ t ❫❆❇❵❾✛ ❿④✲➀➁✲④✲ ✬➂ ❽ Johann Bernoulli ➃ ✉✈ ❂ ❾✛ ❿④✲❊➁✲④✲❶ ➄✤➅ ➆✪P✐➇➈ ★➉ ❂❤ ➊❛✲✤➁✲❊⑥✲✤➁✲❙➋✤❀❁✪ Leibniz ✻ ✢ ➌✗st Z dx cx + d (➍ ✧➎ ➏ d ❵⑥✲ ) ▲ ➐➑➒➓✿➔❩➁✲④✲ ✬✽❵⑥✲✤ ❅→✖➣ ↔✤ ✬↕✻✢ ➌✬✗ 1712 ✫ ✤➙➛ (Acta Erud., 1712, 167 ∼ 169 ✬ ➀ ❧ Math. Schriften, 5, 387 ∼ 389) ❽❡ 1712 ∼ 1713 ✫ ➄❊ Johann Bernoulli ✤➜ ➝ ✧ ✬ ➞➟➠➡ ❛✲✤➁✲✖ ❃➢✤✪ Leibniz ✤❁➤✖➥✮➦ 1 ✤✲✤➁✲❵➧✬ 0 ➨ 1 ❶ ➄✤ ✲✤➁✲❵ ❛✬❜❚➑❼➩❤ ❛✲✤➁✲✪ ✸➫✻ ➭➯✬➲➳ −1 ✤➁✲➵✗✬➸ ➺ √ −1 ✤➁✲ ➃✖➻✤ ✻➼➽❝ √ −1 ➾➚✖➪❤➁✲✤✪❝ Johann Bernoulli ■ ➶➹❬ ❭❛✲✤➁✲✖ ❥✲✪ ✸ ✤➘➤ ✖➥❜❵ d(−x) −x = dx x , ➂ ❽ ln(−x) = ln x ➽ ➟ ❜ ❵ ln 1 = 0 ✬➂ ❽ ln(−1) = 0 ✪ Leibniz ❾➴➯✬ d ln x = dx/x ➷ ➁➧✲ x ➬✈✪ ➮➱✫❯ ✬1727 ∼ 1731 ✫ ➄ L eonhard Euler(1707 ∼ 1783) ❊ Johann Bernoulli ➟➉✱ ❂✃❐✪ Johann Bernoulli ❒❮❰Ï✸✤ ❧ ✦ ✬❝ Euler ❆❇➑ ❑✭ ✪ 3. Euler ÐÑ 1714 ✫ Roger Cotes(Ò✬ 1682 ∼ 1716) ➉❆ ❂ ✻✐ ➊➦⑥✲✤ ➚③ ✬ ❩→ ✗ ✤❈❉❆❇✬➃✖ √ −1φ = ln cos φ + √ −1 sin φ . 1740 ✫ 10 Ó 18 Ô✬ Euler ✗❄ Johann Bernoulli ✤➝ ✧ ➯ y = 2 cos x ❊ y = e √ −1x + e− √ −1x ✖ ❑ ✻✐ rt✢✣✤✦✬❜❚Õ Ö×❸✪ 1743 ✫✬✸➟➉❆ ❂ (→ ✗➃Ø❵ Euler Ù ❴ ) cos s = 1 2 h e √ −1s + e− √ −1s i , sin s = 1 2 √ −1 h e √ −1s − e − √ −1s i . 1748 ✫✬✸➉→ Ú Euler Ù ❴ ➃ ❼ ❽Û⑤ Cotes ✤➇➈✪
4. de moivre公式 1722年, Abraham de moivre(法,1667~1754)在他的笔记中说,比为1:n的两个角(a和 na)的正矢x(= vers a≡1-cosa)与t(= vers no≡1- cos na)之间的关糸可以由 1-221+ 1-2z+z2=-2x 中消去z而得到.这个结果就是 de moivre公式 (cosa±v- Isin)= cos na±y- Isinna 但可惜 de moivre并没有明显地得到这个最终的表达式,最终的结果是uler给給出的 在 de moivre的结果中,n是正整数, Euler还把n推广为任意实数 5. Euler关于复数的对数的正确结论 1747年前后,Eulr对指数函数、对数函数和三角函数之间的联糸已有了充分的经验,足以 得到有关复数的对数的正确结论.1749年,他在“论 Leibniz先生与 bernoulli先生关于负数和虛 数的对数之争论”一文中,对这场争论作了中肯的分析.针对两人由 d 而引发的争论,他不同意 Leibniz的论点(即 d.z- dz 只对正x成立),又指出, Johann bernoulli从中得出的正确结论是应当l(-x)和lnx只差一个常 数,这个常数就是In(-1). Euler说, Bernoulli实际上假设了ln(-1)=0,但这是需要证明的 特别是, johann bernoulli本人在另一个场合就证明了ln√=T 1777年以后, Euler采用符号i来代表V= 6. Euler的复数概念 在澄清了负数的对数和复数的对数等概念后, Euler试图进一步解铎复数到底是什么数,他 把复数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”·他在《对代数的完整的介绍》(1768~1769年在 俄国出版,1770年在德国出版)—书中说: 因为所有可以想象的数都或者比0大,或者比0小,或者等于0,所以很清楚,负数的 平方根不能包括在可能的数中,从而我们必须说它们是不可能的数.然而这种情况使我 们达到一种数的概念,它们就其本性说来是不可能的数,因而通常叫做虛数或者幻想中 的数,因为它们只存在与想象之中 Euler在书中还犯了一个今天看来十分低级的镨误.他认为 因为vavb=Vab Euler把复数叫做不可能的数,但又说它们是有用的.用处就是用来判断问题是否有解.他举 例说,如果要把12分成两部分,使它们的乘积为40,这两部分就是6+√=4和6-√=4,从而可
Wu Chong-shi ∗ §1.7 ÜÝÞßàáâ (ã ä ) å 10 æ 4. de Moivre ÐÑ 1722 ✫✬ Abraham de Moivre(❍ ✬ 1667 ∼ 1754) ✗✸✤ çè ✧ ➯✬é❵ 1 : n ✤❹✐ ❿ (α ❊ nα) ✤➧ê x(= vers α ≡ 1 − cos α) ➨ t(= vers nα ≡ 1 − cos nα) ❶ ➄✤ ➊➆❼ ❽Ú 1 − 2z n + z 2n = −2z n t 1 − 2z + z 2 = −2zx ✧ëì z ❝ Û⑤✪P✐➇➈➃✖ de Moivre Ù ❴ ✬ cos α ± √ −1 sin α n = cos nα ± √ −1 sin nα. ❏❼í de Moivre î➪❤ ❭ï✿Û⑤P✐ðñ✤❆ò❴ ✬ðñ✤➇➈✖ Euler ❄ ❅✤✪ ✗ de Moivre ✤➇➈ ✧ ✬ n ✖ ➧ ó✲ ✬ Euler ôõ n ö ÷❵ø✭ ❥✲✪ 5. Euler ùúûü♦ýü♦þÿq 1747 ✫✁❯ ✬ Euler ➁ ⑦ ✲④✲ ✚ ➁✲④✲❊✛ ❿④✲❶ ➄✤➅ ➆ ✂❤ ❂✄ t ✤☎✆✬✝ ❽ Û⑤❤ ➊⑥✲✤➁✲✤➧✞➇❁✪ 1749 ✫✬✸✗ ✟❁ Leibniz ✠ ✱ ➨ Bernoulli ✠ ✱ ➊➦ ❛✲❊❃ ✲✤➁✲❶✃❁✡ ✻ ➙ ✧✬ ➁P☛✃❁☞ ❂✧ ➾ ✤ t✌ ✪✍➁❹✎ Ú d(−x) −x = dx x ❝ ★➉✤✃❁ ✬✸➑ ❑✭ Leibniz ✤❁➤ (⑩ d ln x = dx x ➷ ➁➧ x ➬✈ ) ✬ ➟ ⑦ ❅ ✬ Johann Bernoulli ✏ ✧Û ❅✤➧✞➇❁ ✖Õ Ö ln(−x) ❊ ln x ➷✑✻✐✒ ✲ ✬P✐✒✲ ➃✖ ln(−1) ✪ Euler ➯✬ Bernoulli ❥✓✔➲✕ ❂ ln(−1) = 0 ✬❏P✖✖✗❬ ❭✤✪ ✘❫ ✖✬ Johann Bernoulli ✙ ✎ ✗ ↕✻✐☛❘ ➃❬ ❭ ❂ ln √ −1 = √ −1π/2 ✪ 1777 ✫ ❽❯ ✬ Euler ① ❩❈❉ i ✚✜❆ √ −1 ✪ 6. Euler ♦ûü✛✜ ✗✢✣ ❂❛✲✤➁✲❊⑥✲✤➁✲❸✤✥❯ ✬ Euler ✦ ➹ ➫✻ ➭ ✦✧⑥✲⑤★ ✖✩ ➺ ✲ ✬✸ õ ⑥✲ Ø❶❵ ✟✪✫ ✧✤✲✡➀ ✟➑❼➩✤✲✡✪ ✸✗ ✹ ➁ ✜ ✲✤ ✬ó✤✭✮✺ (1768 ∼ 1769 ✫✗ ✯ ✰❅♠✬ 1770 ✫✗✱ ✰❅♠) ✻✼ ✧ ➯➥ ❜ ❵ ➂❤❼ ❽✫✲✤✲✳➀✴ é 0 ✮ ✬ ➀✴ é 0 ✵✬ ➀✴❸➦ 0 ✬➂ ❽✶ ✣ ✷✬ ❛✲✤ ✸✢❦➑➩ ✹✺✗ ❼➩✤✲ ✧✪✏❝✻✼❣✽ ➯➻✼✖➑❼➩✤✲✪ ❮❝P◗✾✿➔ ✻ ✼ò⑤ ✻◗✲✤✤✥✬➻✼➃➍✙ ❙ ➯✚✖➑❼➩✤✲ ✬❜❝➜✒❀❁❃✲➀✴✪✫ ✧ ✤✲ ✬❜❵ ➻✼ ➷ ➵ ✗➨✫✲❶ ✧✪ Euler ✗✼ ✧ ô❂ ❂ ✻✐❃❄❅✚➮ t❆❇✤❈❉✪ ✸✽❵ √ −1 · √ −4 = √ 4 = 2, ❜ ❵ √ a √ b = √ ab ✪ Euler õ ⑥✲❀❁➑❼➩✤✲ ✬❏➟ ➯➻✼✖❤❩✤✪❩❊ ➃✖❩ ✚ ❪➠ ❋●✖❍❤✦✪✸■ ❏ ➯✬➳➈ ✗õ 12 t ➬❹②t✬➔ ➻✼ ✤❑ s ❵ 40 ✬P❹②t➃✖ 6 + √ −4 ❊ 6 − √ −4 ✬✏❝ ❼ ❽❪➠P✐ ❋●✖➑❼✦✤✪ 7. ▲ü▼◆❖P 1702 ✫✬Johann Bernoulli ➠➡✬ ø◗❤③④✲✤ st➣✖ ✹❘✛ ❿④✲ ➨ ➁✲④✲❶❙✤ø ◗❚❯④✲✪ Johann Bernoulli ➠➡✤➧✞❙❱❲➦➩ ❍❳ø◗ ✻✐ ❥➆✲ ❨❩❴ t ✦❵ ❥➆✲