第十五章正交曲面坐标系 说明 ★本章计划讲授学时:4
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第十五章正交曲面坐标系 第十五章正交曲面坐标系 要能应用分离变量法,取决于两个条件:一个是所讨论的空间区域形状,一个是定 解问题的数学形式 如果限于第十二章中所涉及的几种典型齐次方程,可以用 Helmholtz方程 F2u+k2u=o 统一描述它们的空间部分.这个方程在直角坐标系中是可以分离变量的 对于所讨论的空间区域,总要适当地放置坐标架,使得区域的边界面与坐标面重 合,从而实现齐次边界条件的分离变量 如果我们所要讨论的空间区域,是圆柱形(包括它的特殊情形,二维平面上的圆形 区域)或球形,乃至其他更特别的形状,如果仍然选择直角坐标系,无论怎样放置 坐标架,总不能使得区域的边界面全部都和坐标面重合.因此,即使边界条件是齐 次的,也无法分离变量 解决这个问题的办法是选用合适的坐标系 圆形区域,首选平面极坐标系 圆柱形区域,首选柱坐标系 球形区域,首选球坐标系 在这些坐标系下, Laplace算符的具体形式如何? Helmholtz方程是否可以分离变量?如何分离变量?
第十五章 正交曲面坐标系 第 1 页 第十五章 正交曲面坐标系 要能应用分离变量法，取决于两个条件：一个是所讨论的空间区域形状，一个是定 解问题的数学形式． 如果限于第十二章中所涉及的几种典型齐次方程，可以用Helmholtz方程 ∇ 2 u + k 2 u = 0 统一描述它们的空间部分．这个方程在直角坐标系中是可以分离变量的． 对于所讨论的空间区域，总要适当地放置坐标架，使得区域的边界面与坐标面重 合，从而实现齐次边界条件的分离变量． 如果我们所要讨论的空间区域，是圆柱形(包括它的特殊情形，二维平面上的圆形 区域)或球形，乃至其他更特别的形状，如果仍然选择直角坐标系，无论怎样放置 坐标架，总不能使得区域的边界面全部都和坐标面重合．因此，即使边界条件是齐 次的，也无法分离变量． 解决这个问题的办法是选用合适的坐标系： • 圆形区域，首选平面极坐标系 • 圆柱形区域，首选柱坐标系 • 球形区域，首选球坐标系 在这些坐标系下，Laplace算符的具体形式如何？ Helmholtz方程是否可以分离变量？如何分离变量？
151正交曲面坐标系 §15.1正交曲面坐标系 作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广,可以定义曲面坐标系 x2=(x,y,2),x2=n(x,y,x),x3=(x,y,x) 它的坐标面是三组曲面 常数,x2=常 常数. 空间任意一点的坐标x2,x2,x3),就由过该点的三个坐标面决定,为了保证x2,x2和x3是独立 的,应当要求它们的 Jacobi行列式 axl arl a(1, 22,23)_ax2 ax2 ax2 d(, y ar dy O2/≠0 对于空间的任意一点,如果通过该点的三个坐标面总是互相垂直的,那么,这个坐标系就 称为正交曲面坐标系.例如,在直角坐标系中,过空间任意一点(x0,3o,20)的三个坐标面 就是互相垂直的 为了判断一个坐标系是不是正交曲面坐标系,当然可以直接由坐标系的定义求出坐标面的 矢量来判断.更常用的办法②是计算出弧长③ dy -+d dy dT+ ax2 drd 其中 y ①这里的x2(=1,2,3)中,上标标记空间点的坐标(分量),并不表示方次 ②这种讨论方法的一个优点是可以直接推广到高维空间的情形 ③在微分几何中,更常略去式中的和号,而直接写成 按照 Einstein规则,此式应理解为需对所有重复指标(并且一个是上指标,一个是下指标)求和
§15.1 正交曲面坐标系 第 2 页 §15.1 正交曲面坐标系 作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广，可以定义曲面坐标系① {x 1 , x2 , x3 }， x 1 = ξ(x, y, z), x 2 = η(x, y, z), x 3 = ζ(x, y, z), 它的坐标面是三组曲面 x 1 = 常数, x 2 = 常数, x 3 = 常数. 空间任意一点的坐标(x 1 , x2 , x3 )，就由过该点的三个坐标面决定．为了保证x 1 , x2和x 3是独立 的，应当要求它们的Jacobi行列式 ∂(x 1 , x2 , x3 ) ∂(x, y, z) ≡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂x1 ∂x ∂x1 ∂y ∂x1 ∂z ∂x2 ∂x ∂x2 ∂y ∂x2 ∂z ∂x3 ∂x ∂x3 ∂y ∂x3 ∂z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. 对于空间的任意一点，如果通过该点的三个坐标面总是互相垂直的，那么，这个坐标系就 称为正交曲面坐标系．例如，在直角坐标系中，过空间任意一点(x0, y0, z0)的三个坐标面 x = x0, y = y0, z = z0 就是互相垂直的． 为了判断一个坐标系是不是正交曲面坐标系，当然可以直接由坐标系的定义求出坐标面的 法矢量来判断．更常用的办法② 是计算出弧长③ ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = µ ∂x ∂x1 dx 1 + ∂x ∂x2 dx 2 + ∂x ∂x3 dx 3 ¶2 + µ ∂y ∂x1 dx 1 + ∂y ∂x2 dx 2 + ∂y ∂x3 dx 3 ¶2 + µ ∂z ∂x1 dx 1 + ∂z ∂x2 dx 2 + ∂z ∂x3 dx 3 ¶2 = X i,j=1,2,3 gijdx i dx j , 其中 gij = gji = ∂x ∂xi ∂x ∂xj + ∂y ∂xi ∂y ∂xj + ∂z ∂xi ∂z ∂xj . ①这里的x i (i = 1, 2, 3)中，上标i标记空间点的坐标(分量) ，并不表示方次． ②这种讨论方法的一个优点是可以直接推广到高维空间的情形． ③在微分几何中，更常略去式中的和号，而直接写成 ds 2 = gijdx idx j . 按照Einstein规则，此式应理解为需对所有重复指标(并且一个是上指标，一个是下指标)求和．
151正交曲面坐标系 第3页 如果 则称此坐标系为正交曲线坐标系.9构成的矩阵G称为此空间的度规( metric). 例1柱坐标系,x=rcos0,y=rsin6,z=z, ds-= dx+dy+dz 所以,柱坐标系是正交曲面坐标系,g11=1,g22=r2,g33=1 例2球坐标系,x=rsinθcosd,y= rsin 0 sin g,z=rcosθ (sin 0 cos odr rcos 8 cos ode - sin 0 sin do) +(sin 0 sin ddr +rcos 0 sin de+rsin 0 cos odo)2 +(cos edr-rsin ede 球坐标系也是正交曲面坐标系 1,q2=r2,g33=r2sin2
§15.1 正交曲面坐标系 第 3 页 如果 gij = giiδij 则称此坐标系为正交曲线坐标系．gij构成的矩阵G称为此空间的度规(metric)． 例1 柱坐标系，x = r cos θ, y = r sin θ, z = z， ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = (cos θdr − r sin θdθ) 2 + (sin θdr + r cos θdθ) 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + dz 2 . 所以，柱坐标系是正交曲面坐标系，g11 = 1, g22 = r 2 , g33 = 1． 例2 球坐标系，x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ， ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = (sin θ cos φdr + r cos θ cos φdθ − r sin θ sin φdφ) 2 + (sin θ sin φdr + r cos θ sin φdθ + r sin θ cos φdφ) 2 + (cos θdr − r sin θdθ) 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin2 θdφ 2 . 球坐标系也是正交曲面坐标系，g11 = 1, g22 = r 2 , g33 = r 2 sin2 θ．
152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 第4页 §152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 通过外微分法介绍正交曲线坐标系中 Laplace算符的一般形式 这种方法的优点在于它的协变性,即可以脱离开坐标系的具体定义,而得到最普遍 的表达式 作为最初步的介绍,略去数学上的严格定义,只给出有关的运算规则 外微分法则介绍外微分算符、*算符及楔积运算,以及微分形式的概念 外微分算符d.它作用在(标量)函数f上 得到的d∫称为一次微分形式(简称一次形式) 例3对于柱坐标系, 例4对于球坐标系 dr+ode 算法则1外微分算符d在不同坐标系中的表达式 af 次微分形式df给出的正是梯度grad∫≡Ⅴ∫的协变微分形式,{dx2,i=1,2,3}构 成一组正交基(正交标准基应该是√gndr2,i=1,2,3) 外微分算符d可以作用在p次微分形式a=∑andr1上,得到p+1)次微分形式: dn=d(∑dr)=∑∑ aidz a dz dx≡dx∧dx2∧…Ada2 运算∧称为楔积 运算法则2 dx Adx=-dxA dx 因此 dx2∧d 运算法则3」设a为次微分形式,月,7是q次微分形式 d(+)=dB+d?, d(a∧B)=(da)AB+(-)a∧(dB), d(da)=0
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 第 4 页 §15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 通过外微分法介绍正交曲线坐标系中Laplace算符的一般形式． 这种方法的优点在于它的协变性，即可以脱离开坐标系的具体定义，而得到最普遍 的表达式． 作为最初步的介绍，略去数学上的严格定义，只给出有关的运算规则． 外微分法则 介绍外微分算符、∗算符及楔积运算，以及微分形式的概念． 外微分算符d．它作用在(标量)函数f上， d : f 7→ df = X ∂f ∂xi dx i , 得到的df称为一次微分形式(简称一次形式)． 例3 对于柱坐标系， du = ∂u ∂r dr + ∂u ∂θ dθ + ∂u ∂z dz. 例4 对于球坐标系， du = ∂u ∂r dr + ∂u ∂θ dθ + ∂u ∂φdφ. 运算法则1 外微分算符d在不同坐标系中的表达式， df = X i ∂f ∂xi dx i = X i ∂f ∂yi dy i . 一次微分形式df给出的正是梯度grad f ≡ ∇f的协变微分形式, {dx i , i = 1, 2, 3}构 成一组正交基(正交标准基应该是√giidx i , i = 1, 2, 3)． 外微分算符d可以作用在p次微分形式α = PαIdx I 上，得到(p + 1)次微分形式： dα = d³X I αIdx I ´ = X i X I ∂αI ∂xi dx i ∧ dx I , 其中 dx I ≡ dx i1 ∧ dx i2 ∧ · · · ∧ dx ip . 运算∧称为楔积． 运算法则2 dx i ∧ dx j = −dx j ∧ dx i , 因此， dx i ∧ dx i = 0. 运算法则3 设α为p次微分形式，β, γ是q次微分形式， d(β + γ) = dβ + dγ, d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−) pα ∧ (dβ), d(dα) = 0
152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 “*”算符是一个线性变换,它把p次微分形式变换为相应的n-p次微分形式 √ det g1,dr 其中(i,D)构成(1,2,3)的偶排列,detG表示矩阵G的行列式值 运算法则4 et gdr∧dx-∧dx (vdet GdrA"Adx)=1 注意√ det gdr1dx2dx3正好是通常的三维空间的体积元 例5柱坐标系,detG=r2, d6∧dz+ dz∧dr+r-dr∧d6. 例6球坐标系,detG=r4sin26, sin6ad6∧dφ+ sin b-do∧dr+ d是旋度curl的协变微分形式,这可以从它作用在一次微分形式a1dx1+a2dx2+ a3dx3的结果 d(aldr+ a2d r-+adr") r2 ar3 看出 d*是散度div的协变微分形式 "d"(adz+a2dz2+adz) 1a/√aetG 正交曲线坐标系中的 Laplace算符d·d是 Laplace算符V2≡V.V≡ div grad的协变微 分形式
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 第 5 页 “∗”算符是一个线性变换，它把p次微分形式变换为相应的n − p次微分形式 ∗ dx i = √ det G gii dx I , ∗ dx I = gii √ det G dx i , 其中(i, I)构成(1, 2, 3)的偶排列，det G表示矩阵G的行列式值． 运算法则4 ∗ 1 = √ det Gdx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 , ∗ ( √ det Gdx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 ) = 1. 注意 √ det Gdx 1dx 2dx 3正好是通常的三维空间的体积元． 例5 柱坐标系，det G = r 2， ∗ du = r ∂u ∂r dθ ∧ dz + 1 r ∂u ∂θ dz ∧ dr + r ∂u ∂z dr ∧ dθ. 例6 球坐标系，det G = r 4 sin2 θ， ∗ du = r 2 sin θ ∂u ∂r dθ ∧ dφ + sin θ ∂u ∂θ dφ ∧ dr + 1 sin θ ∂u ∂φdr ∧ dθ. ∗d是旋度curl的协变微分形式，这可以从它作用在一次微分形式a1dx 1 + a2dx 2 + a3dx 3的结果 ∗ d(a1dx 1 + a2dx 2 + a3dx 3 ) = µ ∂a3 ∂x2 − ∂a2 ∂x3 ¶ g11 √ det G dx 1 + µ ∂a1 ∂x3 − ∂a3 ∂x1 ¶ g22 √ det G dx 2 + µ ∂a2 ∂x1 − ∂a1 ∂x2 ¶ g33 √ det G dx 3 看出． ∗d ∗是散度div的协变微分形式， ∗ d ∗ (a1dx 1 + a2dx 2 + a3dx 3 ) = 1 √ det G ∂ ∂x1 ³√ det G g11 a1 ´ + 1 √ det G ∂ ∂x2 ³√ det G g22 a2 ´ + 1 √ det G ∂ ∂x3 ³√ det G g33 a3 ´ . 正交曲线坐标系中的Laplace算符 ∗d ∗d是Laplace算符∇2 ≡ ∇ · ∇ ≡ div grad的协变微 分形式．
152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 第6页 例7柱坐标系, a/ auu d du= or or dr n A dz+a02 d6∧dz∧dr dz a dr a de d"d a2u a2m 因此, Laplace算符在柱坐标系下的表达式是 1a2a2 例8球坐标系 dr∧d∧dd d∧d∧dr+ lo a dr ade = r2 Or(ror)+r2 sin ae sin 80)+rasin 0 002 所以, Laplace算符在球坐标系下的表达式是 0(2 72 ar ar 0
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 第 6 页 例7 柱坐标系， d ∗ du = ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ dr ∧ dθ ∧ dz + 1 r ∂ 2u ∂θ2 dθ ∧ dz ∧ dr + r ∂ 2u ∂z2 dz ∧ dr ∧ dθ, ∗ d ∗ du = 1 r ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2u ∂θ2 + ∂ 2u ∂z2 . 因此，Laplace算符在柱坐标系下的表达式是 ∇ 2 ≡ 1 r ∂ ∂r µ r ∂ ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ2 + ∂ 2 ∂z2 . 例8 球坐标系， d ∗ du = ∂ ∂r µ r 2 ∂u ∂r ¶ sin θdr ∧ dθ ∧ dφ + ∂ ∂θ µ sin θ ∂u ∂θ ¶ dθ ∧ dφ ∧ dr + 1 sin θ ∂ 2u ∂φ2 dφ ∧ dr ∧ dθ, ∗ d ∗ du = 1 r 2 ∂ ∂r µ r 2 ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ µ sin θ ∂u ∂θ ¶ + 1 r 2sin2 θ ∂ 2u ∂φ2 . 所以，Laplace算符在球坐标系下的表达式是 ∇ 2 ≡ 1 r 2 ∂ ∂r µ r 2 ∂ ∂r ¶ + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ µ sin θ ∂ ∂θ ¶ + 1 r 2sin2 θ ∂ 2 ∂φ2
15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 选定坐标系以后,在求解定解问题时,往往还需要考虑两个问题. 坐标架如何放置,包括坐标原点位置和坐标轴特殊取向的选择,以最大限度地 利用问题中的对称性,使求解过程得到充分的简化 定解问题的对称性与解的对称性之间的联系 这两个问题实际上并不可截然分开 坐标架的不同放置,数学上就表现为不同坐标系之间的线性变换 在这些线性变换下, Laplace算符的形式如何变化,上一节已经作出了原则的回 答: Laplace算符的形式具有不变性 ★ Laplace算符的平移不变性 坐标原点的不同放置,涉及到的是平移变换, 容易看出 因此, Laplace算符在平移变换下是不变的,即 An2+a2、 02a2a2 ★ Laplace算符的转动不变性 坐标轴的不同取向,涉及到坐标系之间的正交变换 设空间一点在变换前后的坐标分别是{x,y,2}和{a,y,2} a12a13 所谓正交变换,指的是变换矩阵 A=a21a22a23 a31a32a33 满足正交关系 aikaik
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 第 7 页 §15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 选定坐标系以后，在求解定解问题时，往往还需要考虑两个问题． • 坐标架如何放置，包括坐标原点位置和坐标轴特殊取向的选择，以最大限度地 利用问题中的对称性，使求解过程得到充分的简化 • 定解问题的对称性与解的对称性之间的联系 这两个问题实际上并不可截然分开． 坐标架的不同放置，数学上就表现为不同坐标系之间的线性变换． 在这些线性变换下，Laplace算符的形式如何变化，上一节已经作出了原则的回 答：Laplace算符的形式具有不变性． F Laplace算符的平移不变性 坐标原点的不同放置，涉及到的是平移变换， x 0 = x − a, y 0 = y − b, z0 = z − c. 容易看出， ∂ 2 ∂x02 = ∂ 2 ∂x2 , ∂ 2 ∂y02 = ∂ 2 ∂y2 , ∂ 2 ∂z02 = ∂ 2 ∂z2 . 因此，Laplace算符在平移变换下是不变的，即 ∂ 2 ∂x02 + ∂ 2 ∂y02 + ∂ 2 ∂z02 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 . F Laplace算符的转动不变性 坐标轴的不同取向，涉及到坐标系之间的正交变换． 设空间一点在变换前后的坐标分别是{x, y, z}和{x 0 , y0 , z0 }， x y z = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x 0 y 0 z 0 . 所谓正交变换，指的是变换矩阵 A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 满足正交关系 X k=1,2,3 aikajk = X k=1,2,3 akiakj = δij
15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 第8页 在正交变换之下, Laplace算符的形式是不变的,即变换后的 Laplace算符仍为 这只要证明变换后的度规矩阵仍为单位矩阵即可 把变换前后的坐标改写为{x2,x2,x3}和{x1,x21,x3},这样就有 容易得到 d2=∑6drd=∑∑6;akad"dx Okada dr 这说明变换前后的度规矩阵都是单位矩阵 在变换矩阵A中,有32个元素.由于正交关系含有3×4/2个限制条件,因此只有3个矩 阵元是独立的,或者说只可能有3个自由参数.这等价于坐标架绕(通过原点的)固定轴的转 动. Laplace算符在绕(通过原点的)任意固定轴的转动也是不变的.这三个参数就不妨取为描 写刚体转动的3个 Euler角 图15.1 Euler角 Laplace算符的空间反射不变性 在空间反射 x’=-x,y=-y,z=-z 下, Laplace算符也是不变的 在空间反射下,右手坐标系变为左手坐标系
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 第 8 页 在正交变换之下，Laplace算符的形式是不变的，即变换后的Laplace算符仍为 ∇ 2 = ∂ 2 ∂x02 + ∂ 2 ∂y02 + ∂ 2 ∂z02 . 这只要证明变换后的度规矩阵仍为单位矩阵即可． 把变换前后的坐标改写为{x 1 , x2 , x3 }和{x 10 , x20 , x30 }，这样就有 dx i = X k=1,2,3 akidx k0 . 容易得到 ds 2 = X ij δijdx i dx j = X ij X kl δijakialjdx k0 dx l0 = X kl µX i akiali¶ dx k0 dx l0 = X kl δkldx k0 dx l0 . 这说明变换前后的度规矩阵都是单位矩阵． 在变换矩阵A中，有3 2个元素．由于正交关系含有3 × 4/2 个限制条件，因此只有3个矩 阵元是独立的，或者说只可能有3个自由参数．这等价于坐标架绕(通过原点的)固定轴的转 动．Laplace算符在绕(通过原点的) 任意固定轴的转动也是不变的．这三个参数就不妨取为描 写刚体转动的3个Euler角． x y z, z0 x 0 y 0 , y00 x 00 z 00, z000 x 000 y 000 图15.1 Euler角 F Laplace算符的空间反射不变性 显然，在空间反射 x 0 = −x, y 0 = −y, z 0 = −z 下，Laplace算符也是不变的． 在空间反射下，右手坐标系变为左手坐标系．
§15.4圆形区 第9页 5154圆形区域 圆形区域中的稳定问题.定解问题为 a-u a- u2 0,x2+y2 在直角坐标系下,方程(二维 Laplace方程)当然可以分离变量.但边界条件显然不能.由于边界 的形状是圆形,很自然地应该采用平面极坐标系 在平面极坐标系中,原来的定解问题应该可以写为 1a(, ar(ar 2)+2=0.0<<m u==f(小) 思考题:这两个数学问题完全等价吗? 令u(r,)=R(r)(小),代入方程,有 1 d dR Rd重 dr(dr 更 (#)=-1 因此,可以分离变量 d -AR=O d2重 但是边界条件 仍然不能分离变量,因为边界条件是非齐次的.我们尽管能够将齐次方程分离变量,得到两个 含有待定参数的齐次常微分方程,但是并没有相应的齐次边界条件与之配合而构成一个本征值 问题.在平面极坐标系下应用分离变量法,又遇到了新的特殊的困难! 上面出现的困难,完全是由于演绎中的疏漏造成的:在圆形区域的条件下,由平面直角坐 标系变换到平面极坐标系时,结果 1 1 b(a)+严a2 0,0<T< l,=a=f(9) 并不完全等价于原来的定解问题;或者说,它并不构成一个完整的定解问题
§15.4 圆形区域 第 9 页 §15.4 圆形区域 圆形区域中的稳定问题．定解问题为 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, x 2 + y 2 < a2 , u ¯ ¯ x2+y2=a2 = f. 在直角坐标系下，方程(二维Laplace方程)当然可以分离变量．但边界条件显然不能．由于边界 的形状是圆形，很自然地应该采用平面极坐标系． 在平面极坐标系中，原来的定解问题应该可以写为 1 r ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u ¯ ¯ r=a = f(φ). 思考题：这两个数学问题完全等价吗？ 令u(r, φ) = R(r)Φ(φ)，代入方程，有 1 r d dr µ r dR dr ¶ Φ + R r 2 d 2Φ dφ2 = 0, r R d dr µ r dR dr ¶ = − 1 Φ d 2Φ dφ2 = λ. 因此，可以分离变量， r d dr µ r dR dr ¶ − λR = 0, d 2Φ dφ2 + λΦ = 0. 但是边界条件 R(a)Φ(φ) = f(φ) 仍然不能分离变量，因为边界条件是非齐次的．我们尽管能够将齐次方程分离变量，得到两个 含有待定参数的齐次常微分方程，但是并没有相应的齐次边界条件与之配合而构成一个本征值 问题．在平面极坐标系下应用分离变量法，又遇到了新的特殊的困难！ 上面出现的困难，完全是由于演绎中的疏漏造成的：在圆形区域的条件下，由平面直角坐 标系变换到平面极坐标系时，结果 1 r ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u ¯ ¯ r=a = f(φ). 并不完全等价于原来的定解问题；或者说，它并不构成一个完整的定解问题．