第二十章 Green函数方法 说明 ★本章计划讲授学时:6 ★含时Gren函数问题(§20.5及§20.6)可 只讲一种
Green ✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 6 F ☛ ✠ Green ☞✌ ✍ ✎ (§20.5 ✏ §20.6) ✑ ✒ ✝✓✔
第二十章 Green函数方法 第1页 第二十章 Green函数方法 在第十一章“δ函数”中,已经初步接触过 Green函数,讨论了常微分方程Gren 函数的定义、对称性质及其求法 本章将继续这一话题,讨论偏微分方程定解问题 Green函数的概念、对称性质以 及常用的求法 不熟悉常微分方程 Green函数的读者,应当先读“δ函数”那一章 ★ Green第二公式(或简称 Green公式) u(r)vu(r)-u(r)Vu(r)dr uVU-U 其中f(r)≡∫(x,y,z),dr= drdy,∑是V的边界面,并且规定外法线方向为正
1Ù Green¼ê{ 1 1 1Ù Green¼ê{ 31Ù/δ ¼ê0¥§®²ÐÚ>LGreen ¼ê§?Ø ~©§Green ¼ê½Â!é¡59Ù¦{© ÙòUYù{K§?Ø ©§½)¯KGreen ¼êVg!é¡5± 9~^¦{© ØÙG~©§Green¼êÖö§AkÖ/δ ¼ê0@Ù© F Green1úª(½{¡Greenúª) ZZZ V h u(r)∇ 2 v(r) − v(r)∇ 2 u(r) i dr = ZZ Σ h u∇v − v∇u i · dΣ, Ù¥f(r) ≡ f(x, y, z), dr = dxdydz, Σ´V >.¡§¿ 5½ {©
§20.1 Green函数的概念 第2页 §20.1Gre函数的概念 先举一个静电场的例子 设在无界空间中有一定的电荷分布,电荷密度为p(T).这样,在坐标为r=(x,y,2)的 体元dr内的电量即为p(r)dr’,它在空间r=(x,y,2)点的电势是 1p(r) dr 4TEo r-rl 根据电势叠加原理,把空间中的全部电荷产生的电势叠加起来,就得到在r点的总电势为 o(r) p(r) 这个结果说明,只要知道了单位点电荷在空间的电势分布,那么,通过电荷的分 割与叠加,就可以得到任意电荷分布时的电势 这种做法只不过是利用了偏微分方程的线性性质 ★如果是有界空间,原则上仍然可以把空间内的电荷无限分割. ★由于边界条件的制约,在边界面上也会有一定的(单层或偶极层的)感生面电荷分布,也 需要将这些面电荷无限分割 ★为了唯一地确定(有界空间内)点电荷的电势,也需要指定适当的边界条件 在有界空间的情形下,问题就是:如何通过(适当边界条件下的)点电荷电势的叠加,而给出任 意电荷分布和任意边界条件时的电势.这就是说,要用定解问题 V-G(r; r) r′∈V 适当的边界条件 的解G(r;r)叠加出 V-u(r) u,=f(∑) 的解u(r),即把u(r)用p(r),f(∑)以及G(r;7)表示出来 为此,我们将G(r;T)和u(r)满足的方程分别乘以u()和G(r;r),相减,再在空间V内 积分,即得 Lu(r)V-G(r; r)-G(r:r)vu(r)dr lu(r)8(r-r)-G(r; r)p(r)d
§20.1 Green¼êVg 1 2 §20.1 Green¼êVg kÞ·>|~f© 3Ã.m¥k½>Ö©Ù§>ÖÝρ(r)©ù§3Ir 0 = (x 0 , y0 , z0 ) Ndr 0S>þ=ρ(r 0 )dr 0§§3mr = (x, y, z):>³´ 1 4πε0 ρ(r 0 ) |r − r0 | dr 0 , â>³U\n§rm¥ Ü>Ö)>³U\å5§Ò3r:o>³ φ(r) = 1 4πε0 ZZZ ρ(r 0 ) |r − r0 | dr 0 . ù(J`²§ ü :>Ö3m>³©Ù§@o§ÏL>Ö© U\§Ò±?¿>Ö©Ù>³© ù«{ØL´|^ ©§55© F XJ´k.m§KþE,±rmS>Öé© F du>.^§3>.¡þ¬k½(ü½ó4) a)¡>Ö©Ù§ Iòù ¡>Öé© F /(½(k.mS):>Ö>³§I½·>.^© 3k.m/e§¯KÒ´µXÛÏL(·>.^e) :>Ö>³U\§ Ñ? ¿>Ö©ÙÚ?¿>.^>³© ùÒ´`§^½)¯K ∇2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V ·>.^ )G(r; r 0 )U\Ñ ∇2u(r) = − 1 ε0 ρ(r), r ∈ V u ¯ ¯ Σ = f(Σ) )u(r)§=ru(r)^ρ(r), f(Σ) ±9G(r; r 0 )L«Ñ5© d§·òG(r; r 0 )Úu(r)÷v§©O¦±u(r)ÚG(r; r 0 )§~§23mV S È©§= ZZZ V £ u(r)∇ 2G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇ 2 u(r) ¤ dr = − 1 ε0 ZZZ V £ u(r)δ(r − r 0 ) − G(r; r 0 )ρ(r) ¤ dr = − 1 ε0 " u(r 0 ) − ZZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr # .
§20.1 Green函数的概念 第3页 根据 Green公式,可以将上式左端的体积分化为面积分, u(r)VG(r;r)-G(;r)Vu(r)·d∑ 经过移项、整理,就有 G(r; rp(r)dr Eo//[u(r)VG(r; r)-G(r;r)Vu(r)].d> 在上面的面积分中, ★第一项u(r)在边界面∑上的数值由边界条件给出,是已知的 G(r;r)可由定解问题求出,故而它的梯度ⅴG(r;r)及其在边界面上的数值当然也可 ★第二项中,Vu(r)在边界面上的数值未知 所以,为了要能够把u(r)用p(r),f(∑)以及G(r;r勹表示出来,必须对G(r;T)加上齐次边界 条件 于是,最后就得到 G(r; r)p(r)dr-Eo/f(2)VG(r;r)ls.dE 或者把γ和γ’对换一下, u(r)=//G(r; r)P(rdr'-Eo//f(2)vG(;r)y,d2 G(r;rp(r)dr'-Eo/f(2)aG(r d∑, 其中的V′和/On′表示对自变量r′微商,V和∑还是原来的空间区域和它的边界面,只不过是 把它们的坐标变量改成了r′ ★G(r;T)在r=r’点不连续,根本不能应用Gren公式;上面得到的结果是否正确? ★为了弥补这一缺陷,可以将G(r;r)所满足的方程修改为 V-Gn(r:r)=--5n(r-r). 右端的电荷密度函数6n(r-r)是足够好的连续函数,在r附近一定尺度内明显不为0 而总电量为1个单位.当n→∞时6n(r-r)→6(-r 这样就可以应用 Green公式 重复上面的做法,然后再令n→∞
§20.1 Green¼êVg 1 3 âGreenúª§±òþªàNÈ©z¡È©§ ZZ Σ £ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) ¤ · dΣ. ²L£!n§Òk u(r 0 ) = ZZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr −ε0 ZZ Σ £ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) ¤ · dΣ. 3þ¡¡È©¥§ F 1u(r)3>.¡Σþêd>.^ѧ´®¶ G(r; r 0 )d½)¯K¦Ñ§ §FÝ∇G(r; r 0 )9Ù3>.¡þê, ¦¶ F 1¥§∇u(r)3>.¡þê§ ¤±§ U ru(r)^ρ(r), f(Σ) ±9G(r; r 0 )L«Ñ5§7LéG(r; r 0 )\þàg>. ^ G(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ = 0. u´§Ò u(r 0 ) = ZZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr − ε0 ZZ Σ f(Σ)∇G(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ · dΣ, ½örrÚr 0ée§ u(r) = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r 0 ; r) ¯ ¯ Σ0 · dΣ0 = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 ) ∂G(r 0 ; r) ∂n0 ¯ ¯ ¯ ¯ Σ0 dΣ 0 , Ù¥∇0Ú∂/∂n0L«égCþr 0 û§V 0ÚΣ 0´5m«Ú§>.¡§ØL´ r§ICþU¤ r 0© ? Ø F G(r; r 0 )3r = r 0:ØëY§ ØUA^Greenúª¶þ¡(J´Ä(º F Öù"§±òG(r; r 0 )¤÷v§?U ∇ 2Gn(r; r 0 ) = − 1 ε0 δn(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. mà>Öݼêδn(r − r 0 )´v ÐëY¼ê§3r 0NC½ºÝS²wØ0§ o>þ1 ü ©n → ∞δn(r − r 0 ) → δ(r − r 0 )© • ùÒ±A^Greenúª© • Eþ¡{§,2-n → ∞©
§20.1 Green函数的概念 第4页 ★引入δ函数的好处恰恰就在于略去这种极限过程,恰恰就在于可以把δ函数当成连续函数 来处理 ★因此,上面得到的结果是严格的,是正确的 ★另外一种严格的做法是把点电荷所在的γ点的附近挖去一个小体积,在这个新的空间 区域中应用Gren公式(必须注意,现在的边界面除了原来的∑之外,还有在r点处的界 面),然后再令这个小体积趋于0 以上通过静电场的实例引入了 Poisson方程在第一类边界条件下(简称 Poisson方程 的第一边值问题)的 Green函数 简言之,所谓Crm画数就是单位点电荷在齐次边界条件下的电势 对于其他类型的边界条件,原则上也可以类似地讨论 从数学上说,不含时间(稳定问题)的偏微分方程( Laplace方程, Poisson方程, Helmholtz 方程…)在一定边界条件下的 Green函数就可以定义为一个特殊的定解问题的解 ·方程和原来定解问题的方程一样,只是非齐次项改为。函数(点源); 同种类型的齐次边界条件 但是,在某些特殊情形下,这样定义的Gren函数可能无解 例如对于上面的 Poisson方程定解问题,若边界条件改为 则按照上面的讨论,Gren函数G(r;T)在边界面上必须满足齐次的第二类边界条件 G(r; r) 在 Green公式中令(r)=1,(r)=G(r;T),应该有 VG(r;)dr=/VG(r;r)dE= OG(T;T)d∑, 将方程积分,就得到 ⅴ2G(r;r)d 1 这样, Green函数G(r;r)在边界面上的面积分必须满足(Gaus定理) ≠0 显然和边界条件(#)矛盾,这说明,在齐次的第二类边界条件(#)下,方程一定无解,换句话 说,这样的 Green函数一定不存在.在这种情形下,需要引进广义的Gren函数
§20.1 Green¼êVg 1 4 F Ú\δ¼êÐ?TTÒ3uÑù«4L§§TTÒ3u±rδ ¼ê¤ëY¼ê 5?n© F Ïd§þ¡(J´î§´(© F , «î{´r:>Ö¤3r 0:NCNȧ3ù#m «¥A^Greenúª(7L5¿§y3>.¡Ø 5Σ §k3r 0:?. ¡)§,2-ùNȪu0© ±þÏL·>|¢~Ú\ Poisson§31a>.^e({¡Poisson § 1>¯K)Green¼ê© {󧤢Green¼êÒ´ü :>Ö3àg>.^e>³© éuÙ¦a.>.^§Kþ±aq/?Ø© lêÆþ`§Ø¹m(½¯K) ©§(Laplace§, Poisson §, Helmholtz §· · · · · ·) 3½>.^eGreen¼êÒ±½ÂAϽ)¯K)µ • §Ú5½)¯K§§´àgUδ¼ê(: )¶ • Ó«a.àg>.^© ´§3, AÏ/e§ù½ÂGreen¼êUÃ)© ~Xéuþ¡Poisson§½)¯K§e>.^U ∂u(r) ∂n ¯ ¯ ¯ Σ = f(Σ), KUìþ¡?اGreen¼êG(r; r 0 )3>.¡þ7L÷vàg1a>.^ ∂G(r; r 0 ) ∂n ¯ ¯ ¯ Σ = 0. (#) 3Greenúª¥-u(r) = 1, v(r) = G(r; r 0 )§ATk ZZZ V ∇ 2G(r; r 0 )dr = ZZ Σ ∇G(r; r 0 ) · dΣ = ZZ Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ, ò§È©§Ò ZZZ V ∇ 2G(r; r 0 )dr = − 1 ε0 . ù§Green¼êG(r; r 0 )3>.¡þ¡È©7L÷v(Gauss½n) ZZ Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ = − 1 ε0 6= 0. w,Ú>.^(#)gñ©ù`²§3àg1a>.^(#)e§§½Ã)§é{ `§ùGreen¼ê½Ø3©3ù«/e§IÚ?2ÂGreen¼ê©
§20.2稳定问题 Green!数的一般性质 第5页 §20.2稳定问题Gree函数的一般性质 建立了稳定问题的 Green函数概念之后,就需要讨论它的一般性质: Greenl函数在点源附 近的行为以及 Green函数的对称性 1. Green函数在点源附近的行为 不妨仍然用静电场的语言来描述 Poisson方程第一边值问题的 Green函数.从上一节的分 析可以看到,在空间V中的点电荷,必然要在边界面上产生一定的感生(面)电荷分布,从而使 边界面成为等位面.当边界接地时,又会得有一部分电荷流失或流入,使得边界面的电势与 地相等(取为0).因此,决定 Green函数的定解问题又可以等价(在V内等价)地写成无界空间中 的 Poisson方程 v2Gr;r1)=-1[6(r-r)+(x) 其中σ(∑)是边界面∑上的感生面电荷密度,相应地,(定义在V内的) Green函数G(r;r)就应该 是这两部分电荷电势的叠加:单位点电荷6(r-7)的电势Go(r;r)和边界面上的感生电荷σ(∑) 的电势g(r;r) ⅴ2G0(r;r) 6(r-T) TEo r 所以,Go(r;r)在r=r点是不连续的 因为感生电荷σ(∑)只分布在曲面∑上,所以,9(r;η)及其一阶偏导数在曲面∑之 外(特别是,在V内)是处处连续的 把这两部分综合起来,就有 G(r;r)4TEoIr-r/+g(r; r) 对于第三类边界条件,也有同样的结果.只不过g(r;r)的具体表达式会得有所不同 对于其他类型的稳定问题,例如 Helmholtz方程的 Green函数, 2G(r;r)+kG(r;7)丶8(7-),r,r’∈V, G(r;rls=0 也可证明它们的Gren函数具有和 Poisson方程的Grea函数同样的连续性质.除 了η=r点外,G(r;T)在V内是处处连续的.令 9(r;r)=G(r;T)-G(r;r)
§20.2 ½¯KGreen¼ê5 1 5 §20.2 ½¯KGreen¼ê5 ïá ½¯KGreen¼êVg§ÒI?ا5µGreen¼ê3: N C1±9Green¼êé¡5© 1. Green¼ê3: NC1 ØE,^·>|ó5£ãPoisson§1>¯KGreen¼ê©lþ!© Û±w§3mV ¥:>Ö§7,3>.¡þ)½a)(¡)>Ö©Ù§l ¦ >.¡¤ ¡©>./§q¬kÜ©>Ö6½6\§¦>.¡>³ / (0)©Ïd§û½Green¼ê½)¯Kq± d(3V S d)/¤Ã.m¥ Poisson§ ∇ 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 £ δ(r − r 0 ) + σ(Σ) ¤ , Ù¥σ(Σ)´>.¡Σþa)¡>ÖÝ©A/§(½Â3V S)Green¼êG(r; r 0 )ÒAT ´ùüÜ©>Ö>³U\µü :>Öδ(r −r 0 )>³G0(r; r 0 )Ú>.¡þa)>Öσ(Σ) >³g(r; r 0 )§ ∇ 2G0(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), G0(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r0 | ¤±§G0(r; r 0 )3r = r 0 :´ØëY© Ú ∇ 2 g(r; r 0 ) = − 1 ε0 σ(Σ). Ïa)>Öσ(Σ)©Ù3¡Σþ§¤±§g(r; r 0 )9Ù ê3¡Σ (AO´§3V S)´??ëY© rùüÜ©nÜå5§Òk G(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r0 | + g(r; r 0 ). éu1na>.^§kÓ(J©ØLg(r; r 0 ) äNLª¬k¤ØÓ© éuÙ¦a.½¯K§~XHelmholtz§Green¼ê§ ∇ 2Gˆ(r; r 0 ) + k 2Gˆ(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V, Gˆ(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ = 0. y²§Green¼êäkÚPoisson§Green¼êÓëY5©Ø r = r 0: §Gˆ(r; r 0 )3V S´??ëY©- gˆ(r; r 0 ) = Gˆ(r; r 0 ) − G(r; r 0 ),
§20.2稳定问题 GreenE数的一般性质 第6页 G(r;r)是相应 Poisson方程的 Green函数,由G(r;r)和G(r;r)所满足的定解问 题,可以导出 V2(r;r)+k29(r;T')=k2G(r;r),r,r’∈V 9(r;r)x=0 由于这个方程右端的G(r;r)在=T点是以1/r-r1的形式发散的,所 以,(r;r)在该点一定连续(否则ⅴ2(r;η勹)会出现δ函数),这就说明G(r;r) 和G(r;r)一样,在T=y′点都是以1/T-r的形式发散的.事实上,从下 节的讨论可知,在γ=点附近,一定有 G 1 cos(kr-r'D T:T)~ 4TE0 I ●三维空间中 Green函数在点源处的行为,和一维空间中 Green函数不同 一维空间中的 Green函数是处处连续的,而它的一阶导数不连续 这是容易理解的,因为“点源”的性质并不相同,一维空间中的点源实际上是三维空间 中的面源 不难预料,二维空间中的Gren函数也应该表现出不同的行为 对于二维空间中的 Poisson方程第一边值问题,它的 Green函数G(x,v;x',y),是定解问题 2+(0x,0>-x2)50-).(x,0,(x,y)∈S G(x,y6x,y′) 的解,其中C是平面区域S的边界.容易求得 G(x,x,y/)=-1m√(x-x)2+(-)2+9(x,买x,) 其中第一项是单位点电荷在无界空间中的电势(还可以加上一个常数,取决于电势零点的 选取),在“点源”(实际上是三维空间中的线源)6(x-x)6(y-y)处是对数发散的;第 项g(x,y;x',y)是边界上的感生电荷产生的电势,在S内处处连续 2. Green函数的对称性 先考察一下前面得到的解式 lIGr'; r)p(r)dr'-Eo///(2)VG(r'; r)ly,d3" 这个结果在物理意义上有费解之处:在右端的体积分中,G(r;r)代表r处的单位 点电荷在γ'处的电势,它乘上在观测点γ'处的电荷p(r)dr',并对观测点积分, 却给出处的电势!
§20.2 ½¯KGreen¼ê5 1 6 G(r; r 0 )´APoisson§Green¼ê©dGˆ(r; r 0 )ÚG(r; r 0 ) ¤÷v½)¯ K§±Ñ ∇ 2 gˆ(r; r 0 ) + k 2 gˆ(r; r 0 ) = k 2G(r; r 0 ), r, r 0 ∈ V, gˆ(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ = 0. duù§màG(r; r 0 ) 3r = r 0 :´±1/|r − r 0 | /ªuѧ¤ ±, ˆg(r; r 0 ) 3T:½ëY(ÄK∇2 gˆ(r; r 0 ) ¬Ñyδ ¼ê)§ùÒ`²Gˆ(r; r 0 ) ÚG(r; r 0 ) §3r = r 0 :Ñ´±1/|r − r 0 | /ªuÑ©¯¢þ§le !?ا3r = r 0 :NC§½k Gˆ(r; r 0 ) ∼ 1 4πε0 cos(k|r − r 0 |) |r − r0 | . • nm¥Green¼ê3: ?1§Úm¥Green¼êØÓ© • m¥Green¼ê´??ëY§ § êØëY© • ù´N´n)§Ï/: 05¿ØÓ§m¥: ¢Sþ´nm ¥¡ © • ØJý§m¥Green¼êATLyÑØÓ1© éum¥Poisson§1>¯K§§Green¼êG(x, y; x 0 , y0 )§´½)¯K h ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 i G(x, y; x 0 , y 0 ) = − 1 ε0 δ(x − x 0 )δ(y − y 0 ), (x, y),(x 0 , y 0 ) ∈ S, G(x, y; x 0 , y 0 ) ¯ ¯ C = 0 )§Ù¥C´²¡«S>.©N´¦§ G(x, y; x 0 , y 0 ) = − 1 2πε0 ln p (x − x0) 2 + (y − y 0) 2 + g(x, y; x 0 , y 0 ), Ù¥1´ü :>Ö3Ã.m¥>³(±\þ~ê§ûu>³": À)§3/: 0(¢Sþ´nm¥ ) δ(x − x 0 )δ(y − y 0 )?´éêuѶ1 g(x, y; x 0 , y0 ) ´>.þa)>Ö)>³§3SS??ëY© 2. Green¼êé¡5 k ec¡)ª u(r) = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r 0 ; r) ¯ ¯ Σ0 · dΣ0 . ù(J3Ôn¿Âþk¤)?µ3màNÈ©¥§G(r 0 ; r)Lr?ü :>Ö3r 0?>³§§¦þ3*ÿ:r 0?>Öρ(r 0 )dr 0§¿é*ÿ:È©§ %Ñr?>³
§20.2稳定问题 Green!数的一般性质 第7页 对这个问題的回答要涉及到Gren函数的对称性。因为,如果像无界空间 的 Green函数那样,关系式 G(rr)=G(r; r) 成立的话,那么,上式就能改写成 (;r^)p(r)dr-eo//r(x)vG(r;r 体积分的物理意义就一清二楚了.第二项的面积分当然就是来自边界面上的感生 面电荷的贡献 证明(#)式.和第十一章中的做法一样,再引进G(r;r”),它满足的定解问题当然就是 T,T V (r;r 将两个方程分别乘以G(r;r")和G(r;T),相减,然后在区域V内积分,就得到 G(r; r")VG(; r)-G(r;r)V-G(r; r")di G(r; r)8(r-r)-G(r; r)8(r-r")dr :rI 根据 Green公式,将上式左端的体积分化为面积分,就有 G(r;r")-G(r";r') -Eo//(G(r;r")VG(r; r)-G(r;r)VG(r;r")].d> 代入边界条件,立即得出右端的面积分为0.这样就证明了 将r"改写为r,这就是(#)式 如果是第三类边界条件,上面的结论仍然正确 对于其他类型的稳定问题,它们的 Green函数是否仍然有对称关系(#),需要具体讨 论,从原则上说,这至少要求G(r;r)和G(r;η)都是同一方程的解,或者说,方程在变 换rsp下是不变的
§20.2 ½¯KGreen¼ê5 1 7 éù¯K£9Green¼êé¡5©Ï§XJÃ.m Green¼ê@§'Xª G(r 0 ; r) = G(r; r 0 ) (#) ¤á{§@o§þªÒUU¤ u(r) = ZZZ V 0 G(r; r 0 )ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ0 · dΣ0 , NÈ©Ôn¿ÂÒÙ ©1¡È©,Ò´5g>.¡þa) ¡>Öz© y²(#)ª©Ú1Ù¥{§2Ú?G(r; r 00)§§÷v½)¯K,Ò´ ∇ 2G(r; r 00) = − 1 ε0 δ(r − r 00), r, r 00 ∈ V, G(r; r 00) ¯ ¯ Σ = 0. òü§©O¦±G(r; r 00)ÚG(r; r 0 )§~§,3«V SÈ©§Ò ZZZ V £ G(r; r 00)∇ 2G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇ 2G(r; r 00) ¤ dr = − 1 ε0 ZZZ V £ G(r; r 00)δ(r − r 0 ) − G(r; r 0 )δ(r − r 00) ¤ dr = − 1 ε0 £ G(r 0 ; r 00) − G(r 00 ; r 0 ) ¤ . âGreenúª§òþªàNÈ©z¡È©§Òk G(r 0 ; r 00) − G(r 00 ; r 0 ) = −ε0 ZZ Σ £ G(r; r 00)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇G(r; r 00) ¤ · dΣ. \>.^§á=Ñmà¡È©0©ùÒy² G(r 0 ; r 00) = G(r 00 ; r 0 ), òr 00Ur§ùÒ´(#)ª© XJ´1na>.^§þ¡(ØE,(© éuÙ¦a.½¯K§§Green¼ê´ÄE,ké¡'X(#)§IäN? Ø©lKþ`§ù¦G(r; r 0 )ÚG(r 0 ; r)Ñ´Ó§)§½ö`§§3C r r 0e´ØC©
§20.3三维无界空间 Helmholtz方程的 Greent函数 第8页 §20.3三维无界空间 Helmholtz方程的 Green函数 求三维无界空间中 Helmholtz方程的 Green函数,即在三维无界空间中求解方程 ⅴ2G(r;r3)+k2G(r;r) 6(-T),T,r∈V 关于无穷远处的边界条件,后面再讨论 这个方程是一个非齐次方程,因此,可以按照求解非齐次方程的标准做法 ★先求出方程的一个特解,而将方程齐次化; ★将G(r;r)按相应齐次问题的本征函数展开 这两种做法,特别是第二种做法,原则上没有什么困难,这里不作具体的介绍 ★这又是一个特殊的非齐次方程:只在=r点,非齐次项才不为0 ★而且,由于这是在无界空间,可以适当地安置坐标架,以充分发挥 Laplace算符的不变 性,使问题得到充分的简化 首先作坐标平移, y, c 即将点电荷所在点取为新坐标系的原点.令G(r;r)=9(5,n,(),于是,9(5,n,()满足方程 v,9(,n,()+k2g(,n,()=--6(5)6(m)6() 其中 是以直角坐标5,η,为自变量的 Laplace算符,容易看出,变换后的方程是旋转不变的 g(5,,()只是R=√F2+n2+2的函数,g(5,,()=f(R).因此,如果将直角坐标系(,n,) 转换为球坐标系,则方程将变为R≠0点处的齐次方程 1 d [pdf(r) +k2f(R)=0 (原因是在在R=0点只存在单侧导数)以及R=0点处的边界条件(在R=0点处有一单位点电 荷).此方程是零阶球 Bessel程,它的通解是① f(R)=A(k)-p+B(k) 根据R=0和无穷远处的边界条件定出常数A(k)和B(k) ①如果作变换f(B)=m(R)R,则方程化为 u"(B)+k2u(R)=0. 也容易写出通解
§20.3 nÃ.mHelmholtz§Green¼ê 1 8 §20.3 nÃ.mHelmholtz§Green¼ê ¦nÃ.m¥Helmholtz§Green¼ê§=3nÃ.m¥¦)§ ∇ 2G(r; r 0 ) + k 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. 'uá?>.^§¡2?Ø© ù§´àg§§Ïd§±Uì¦)àg§IO{§ F k¦Ñ§A)§ ò§àgz¶ F òG(r; r 0 )UAàg¯K ¼êÐm© ùü«{§AO´1«{§Kþvko(J§ùpØäN0 © F ùq´AÏàg§µ3r = r 0:§àgâØ0© F §duù´3Ã.m§±·/SIe§±¿©uLaplace ÎØC 5§¦¯K¿©{z© ÄkI²£§ ξ = x − x 0 , η = y − y 0 , ζ = z − z 0 , =ò:>Ö¤3:#IX:©-G(r; r 0 ) = g(ξ, η, ζ)§u´§g(ξ, η, ζ)÷v§ ∇ 2 ξ,η,ζg(ξ, η, ζ) + k 2 g(ξ, η, ζ) = − 1 ε0 δ(ξ)δ(η)δ(ζ), Ù¥ ∇ 2 ξ,η,ζ ≡ ∂ 2 ∂ξ2 + ∂ 2 ∂η2 + ∂ 2 ∂ζ2 ´±Iξ, η, ζ gCþLaplaceΩN´wѧC§´^=ØC, g(ξ, η, ζ) ´R = p ξ 2 + η 2 + ζ 2 ¼ê, g(ξ, η, ζ) = f(R). Ïd§XJòIX(ξ, η, ζ) =¥IX§K§òCR 6= 0 :?àg§ 1 R2 d dR h R 2 df(R) dR i + k 2 f(R) = 0 (Ï´33R = 0:3üýê)±9R = 0:?>.^(3R = 0:?kü :> Ö)©d§´" ¥Bessel§§§Ï)´ f(R) = A(k) e ikR R + B(k) e −ikR R . âR = 0Úá?>.^½Ñ~êA(k)ÚB(k)© XJCf(R) = w(R)/R§K§z w 00(R) + k 2w(R) = 0. N´ÑÏ)©
§20.3三维无界空间 Helmholtz方程的 Greent函数 第9页 无穷远条件定B(k)考虑到 Helmholtz方程的实际背景,比如说,它是由波动方程经过分 离变量(分离去时间部分)得到的.作为一个例子,假设要求得到的解在无穷远处为发散波.取 时间因子为e-,则解式中的第一项为发散波,第二项为会聚波.所以,应该有B(k)=0. 剩下的常数A(k)就应该由R=0处的边界条件决定,即由R=0处点源的强度决定 R=0处的边界条件定A(k)这时并不能直接将解式代入R=0处的边界条件,原因 是f(F)或g(,n,)在R=0处的导数并不存在.另一方面,我们已经约定,凡是涉及δ函数的等 式都应该从积分意义下去理解.于是,很自然地,应当将方程在R=0附近的小体积内积分, ∥ns+e f(r)dEnde () 左端第一项的体积分应当化为面积分 VE, n cf(r)dEdnds ∥ V:n;f(B)|·d∑, 因为这样就可以回避掉在R=0点的求导问题.取这个小体积为以R=0点为球心,p为半径的 球体,则 n <f(r)sands / VE,nf(B)·d∑ ∥ df(R)Rsin abadr=p -4丌A(k)(1-ikp)e 第二项的体积分可以直接算出 /二4A)。mR 4丌A(k) k 将这些结果代回到(为式,就有 44(k)=-1 所以,A(k)=1/4丌E0,与k无关,这样,最后就求出了三维无界空间 Helmholtz方程的Gren 函数 g(5,n,)=f(R) 4丌oR G(r; r) ∈o|r 当k=0时,这个结果就回到 Poisson方程的 Green函数 最后,需要说明,这个结果是在无穷远处为发散波,并且取时间因子为e的条件下得 到的.可以设想,如果要求无穷远处为会聚波,并且仍取时间因子为e-t,则Gre函数应该 是 如果是其他形式的无穷远条件,当然还会得到其他形式的解
§20.3 nÃ.mHelmholtz§Green¼ê 1 9 á^½B(k) ÄHelmholtz§¢Sµ§'X`§§´dÅħ²L© lCþ(©lmÜ©)©~f§b¦)3á?uÑÅ© mÏfe −iωt§K)ª¥1uÑŧ1¬àÅ©¤±§ATkB(k) = 0© e~êA(k)ÒATdR = 0?>.^û½§=dR = 0?: rÝû½© R = 0?>.^½A(k) ù¿ØUò)ª\R = 0?>.^§Ï ´f(R)½g(ξ, η, ζ)3R = 0?ê¿Ø3©,¡§·®²½§ ´9δ¼ê ªÑATlÈ©¿Âen)©u´§ég,/§Aò§3R = 0NCNÈSÈ©§ ZZZ ∇ 2 ξ,η,ζf(R)dξdηdζ + k 2 ZZZ f(R)dξdηdζ = − 1 ε0 . (z) à1NÈ©Az¡È© ZZZ ∇ 2 ξ,η,ζf(R)dξdηdζ = ZZ h ∇ξ,η,ζf(R) i · dΣ, ÏùÒ±£;K3R = 0:¦¯K©ùNȱR = 0:¥%§ρ» ¥N§K ZZZ ∇ 2 ξ,η,ζf(R)dξdηdζ = ZZ h ∇ξ,η,ζf(R) i · dΣ = ZZ df(R) dR R 2 sin θdθdφ ¯ ¯ ¯ R=ρ = −4πA(k)(1 − ikρ)eikρ . 1NÈ©±Ñ§ ZZZ f(R)dξdηdζ = 4πA(k) Z ρ 0 e ikRRdR = 4πA(k) k 2 h (eikρ − 1) − ikρe ikρi . òù (J£(z)ª§Òk −4πA(k) = − 1 ε0 , ¤±, A(k) = 1/4πε0, k Ã'©ù§Ò¦Ñ nÃ.mHelmholtz §Green ¼ê g(ξ, η, ζ) = f(R) = 1 4πε0 e ikR R , ½ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e ik|r−r 0 | |r − r0 | . k = 0§ù(JÒ£Poisson§Green¼ê© §I`²§ù(J´3á?uÑŧ¿ mÏfe −iωt^e ©±§XJ¦Ã¡?¬àŧ¿ EmÏfe −iωt§KGreen¼êAT ´ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e −ik|r−r 0 | |r − r0 | . XJ´Ù¦/ªÃ¡^§,¬Ù¦/ª)©
