第四章复数级数 说明 ★本章计划讲授学时:2 ★§4.5(一致收敛级数性质的证明)不讲授
✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 2 F §4.5(☛☞✌✍✎✏✑✒ ✓✔ ✕) ✖✝✞
四章无穷级数 第四章无穷级数 无穷级数,特别是幂级数,是解析函数的最重要的表达形式之 许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的 复变函数级数理论和实变函数的比较:概念和方法的异同 §4.1复数级数 定义复数级数 u0+1+u2+……+un+ 令un的实部和虚部分别为an与An,则 an+i>Bn n=0 个复数级数∑n完全等价于两个实数级数∑an和∑n,反之亦然 复数级数的收敛和发散如果级数的部分和 Sn=0+u1+u2+…+un 所构成的序列{Sn}收敛,则称级数∑un收敛,序列{Sn}的极限S= lim Sn,称为级数∑ 的和 否则,级数∑n是发散的 级数的收敛性,是用它的部分和序列的收敛性定义的.因此,根据序列收敛的充要条件,可 以写出级数收敛的充要条件— Cauchy充要条件:任意给定ε>0,存在正整数n,使对于任意 正整数p,有 <E 特别是,令p=1,就得到级数收敛的必要条件 ★在不改变求和次序的前提下,可以将收敛级数并项. u1+a2+3+u4+ (1+u2)+(u3+u4)+…
✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 1 ✟ ✠ ✡☛ ☞ ✌ ✍ ✎ ✏✑✒✓✔✕✖✗✘✒✓✔✗✙✚✛✓✜✢✣✤✜✥✦✧★✩✪✫ ✬ ✭✮✯✛✓✰✕✱✛✓✲✗✳✘✒✓✴✵✜✫ ✶✷✛✓✒✓✸✹✰ ✺✷✛✓✜✻✼✽✾✿✰❀❁✜❂ ❃✫ §4.1 ❄ ❅ ❆ ❅ ❇❈ ❉❊❋❊ u0 + u1 + u2 + · · · + un + · · · = X∞ n=0 un. ● un ❍■❏❑▲❏▼◆❖ αn P βn, ◗ X∞ n=0 un = X∞ n=0 αn + iX∞ n=0 βn. ❘❙❉❊❋❊ Pun ❚❯❱❲❳❨❙ ■ ❊❋❊ Pαn ❑ Pβn ✔❩❬❭❪✫ ❫❴❵❴❛❜❝❞❡❢ ❣❤❋❊❍❏▼❑ Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + un ✐❥❦❍❧♠ {Sn} ♥♦✔ ◗♣❋❊ Pun ♥♦✔ ❧♠ {Sn} ❍qr S = limn→∞ Sn ✔ ♣❖ ❋❊ Pun ❍❑ X∞ n=0 un = limn→∞ Sn. s ◗✔❋❊ Pun t✉✈❍✫ ❋❊❍♥♦✇✔ t①②❍❏▼❑❧♠❍♥♦✇③④❍ ✫⑤⑥✔⑦⑧❧♠♥♦❍⑨⑩❶❷✔❸ ❹❺❻❋❊♥♦❍⑨⑩❶❷ Cauchy ⑨⑩❶❷✽ ❼❽❾✴ ε > 0 ✔❿➀➁ ➂✓ n ✔➃➄➅❼❽ ➁ ➂✓ p ✔➆ |un+1 + un+2 + · · · + un+p| < ε. ➇ ◆t✔● p = 1 ✔➈➉➊❋❊♥♦❍➋⑩❶❷ limn→∞ un = 0. F ➌➍➎➏➐❑➑❧❍➒➓➔✔❸❹→♥♦❋❊➣↔✫ u1 + u2 + u3 + u4 + · · · = (u1 + u2) + (u3 + u4) + · · ·
§4.1复数级数 如果级数 则称级数∑un绝对收敛.绝对收敛的级数一定是收敛的. +n+2+…n+p|≤|un+1+|un+2|+…+|un+pl 反之,一个收敛的级数,却不一定是绝对收敛的 绝对收敛级数的判别法 ★比较判别法若ln,而∑vn发散,则∑|unl发散 ★比值判别法若存在与n无关的常数p,则 当p>1时,级数∑|un发散 n=0 比值判别法的优点:对于许多常用级数,分式αn+1/un的形式往往要比un的形式简 单得多,因此应用比值判别法可以很快地判断∑|un|的收敛性 的存在性? 更方便的当然是使用它的极限形式,即d' Alembert判别法 ★ d'Alembert判别法如果mun+1/an|=l1,则∑|an|发散 ·d' Alembert判别法的优点:一般说来,求上下极限总要比求比值判别法中的ρ来得 d'Alembert判别法的缺点:采用不同的标准判别级数的收敛和发散,即用im|un+l/unl 判断级数∑lun|的收敛,而用皿m{un艹1/un判断级数的发散.因此对于 lim un+1/wan|≥1及li{un+1/unl|≤1的情形就不能作出判断,除非 lim un+1/un= lim un+1/un= lim Jun+1/unI n→+ Cauchy判别法的优点就是根据同一判据ⅷm{un1/来判断级数是否绝对收敛 ★ Cauchy判别法如果l|an}mn1,则级数∑un发散
§4.1 ↕ ➙ ➛ ➙ ➜ 2 ➝ F ❣❤❋❊ P∞ n=0 |un| ♥♦✔ ◗♣❋❊ P∞ n=0 un ➞➟♥♦✫ ➞➟♥♦ ❍ ❋❊❘③t♥♦❍ ✫ |un+1 + un+2 + · · · un+p| ≤ |un+1| + |un+2| + · · · + |un+p|. ❩❬✔❘❙♥♦❍ ❋❊✔➠➍❘③t➞➟♥♦❍ ✫ F ➞➟♥♦❋❊❍➡◆➢✫ F ➤➥➦➧➨ ➩ |un| vn, ➫ P∞ n=0 vn ✉✈✔ ◗ P∞ n=0 |un| ✉✈✫ F ➤➯➦➧➨ ➩➲➌P n ➳➵❍➸❊ ρ ✔ ◗ ➺ un+1 un ρ > 1 ➻✔❋❊ P∞ n=0 |un| ✉✈✫ • ✻➽➾✖❁✜➚➪✽➄➅✬ ✭➶✳✒✓✔➹★ |un+1/un| ✜✧★➘➘✤✻ un ✜✧★ ➴ ➷➬ ✭✔➮➱✃✳✻➽➾✖❁❐ ❒❮❰Ï➾Ð P|un| ✜ÑÒÓ✫ • ρ ✜❿➀Ó Ô • Õ❀Ö✜ ×Ø✗➃✳Ù✜ÚÛ✧★✔Ü d’Alembert ➾✖❁✫ F d’Alembert ➦➧➨ ❣❤ limn→∞ |un+1/un| = l 1, ◗ P∞ n=0 |un| ✉✈✫ • d’Alembert ➾✖❁✜➚➪✽✪ÝÞß✔àáâÚÛã✤✻à✻➽➾✖❁ ä✜ ρ ß➬ ➴ ➷✫ • d’Alembert ➾✖❁✜å➪✽æ✳ç ❃✜èé➾✖✒✓✜ÑÒ✰êë✔Ü✳ limn→∞ |un+1/un| ➾ Ð ✒ ✓ P∞ n=0 |un| ✜ Ñ Ò ✔ì ✳ lim n→∞ |un+1/un| ➾ Ð ✒ ✓ ✜ ê ë ✫➮ ➱ ➄ ➅ limn→∞ |un+1/un| ≥ 1 í lim n→∞ |un+1/un| ≤ 1 ✜î✧ïçðñ ò➾Ð✔ó ô limn→∞ |un+1/un| = lim n→∞ |un+1/un| = limn→∞ |un+1/un|. • Cauchy ➾✖❁✜➚➪ï✗õö ❃✪➾ö limn→∞ |un| 1/n ß➾Ð✒✓✗÷ø➄ÑÒ✫ F Cauchy ➦➧➨ ❣❤ limn→∞ |un| 1/n 1, ◗ ❋❊ P∞ n=0 un ✉✈✫
四章无穷级数 第3页 Gauss判别法 绝对收敛级数的性质 1.改换次序 u0+1+2+a3+u4+ =0+u1+u2+u4+3+u6+g+u5+ 2.可以把一个绝对收敛级数拆成几个子级数,每个子级数仍绝对收敛 3.两个绝对收敛级数之积仍然绝对收敛, 这里的乘积是一个二重级数 uoUo+ uou1 uoU2+ uoU3+ +10+u11+u1v2+13+ +u20+u21+u22+u23+ +u320+u301+a3v2+a33+ 其绝对收敛性意味着可以按照任意顺序求和,其值不变.例如可按k+l=n的大小顺序排列, uk Un-k 如果限于这种求和次序(这种求和次序具有特殊的重要性),则乘法的条件还可以放宽成:∑uk ∑η都收敛,且其中之一绝对收敛;或∑k,∑u和∑n都收敛
✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 3 ✟ F Gauss ➦➧➨ ùú❜❝❵❴❛ûü✽ 1. ➎ý➑❧✫ u0 + u1+u2 + u3 + u4 + · · · =u0 + u1 + u2 + u4 + u3 + u6 + u8 + u5 + · · · . 2. ❸❹þ❘❙➞➟♥♦❋❊ÿ❦❙✁❋❊✔✂❙✁❋❊✄ ➞➟♥♦✫ X∞ n=0 un = X∞ n=0 u2n + X∞ n=0 u2n+1. 3. ❨❙ ➞➟♥♦❋❊❬☎✄❪ ➞➟♥♦✔ X k uk · X l vl = X k,l ukvl . ✆✝ ❍✞ ☎ t❘❙✟✠❋❊ u0v0 + u0v1 + u0v2 + u0v3 + · · · + u1v0 + u1v1 + u1v2 + u1v3 + · · · + u2v0 + u2v1 + u2v2 + u2v3 + · · · + u3v0 + u3v1 + u3v2 + u3v3 + · · · + · · · . ✡ ➞➟♥♦✇☛☞✌❸❹✍✎✏☛✑❧➐❑ ✔✡✒➍➏✫✓❣❸✍ k + l = n ❍✔✕✑❧✖♠ ✔ X∞ k=0 uk · X∞ l=0 vl = X∞ n=0 wn, wn = Xn k=0 ukvn−k. ❣❤r❳✆✗➐❑➑❧ (✆✗➐❑➑❧✘✙➇✚ ❍✠ ⑩✇) ✔ ◗✞➢❍❶❷✛ ❸❹✜✢❦✽ Puk, Pvl ✣♥♦✔✤✡ ✥❬❘ ➞➟♥♦➼✦ Puk, Pvl ❑ Pwn ✣♥♦✫
842函数级数 函数级数的收敛性设uk(2)(k=1,2,…)在区域G中有定义.如果对于G中一点20,级 数∑uk(20)收敛,则称级数∑uk(x)在z点收敛. 反之,如果∑υk(∞0)发散,则称级数∑vk(z)在z0点发散 如果级数∑wk(2)在区域G内每一点都收敛,则称级数在G内收敛.其和函数S(2)是G内 的单值函数 函数级数的一致收敛性如果对于任意给定的E>0,存在一个与z无关的N(=),使当n>N(e) 时,s(2)-a(2)<,则称级数∑u()在G内一致收敛 函数级数一致收敛的判别法(1)直接运用定义,(2) Weierstrass HJ M判别法 weierstrass B A判别法:若在区域G内luk(2)<ak,ak与z无关,而∑ak收敛,则∑uk(z) k=1 在G内绝对而且一致收敛 致收敛级数具有下列重要性质 1.连续性如果uk(2)在G内连续,级数∑uk(2)在G内一致收敛,则其和函数S(z)=∑uk(2) 也在G内连续 这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致收敛级数可以逐项求极限(或者 说,“求极限”与“求级数和”可以交换次序) alk 2.逐项求积分设C是区域G内的一条分段光滑曲线,如果uk(z)(k=1,2,…)是C上的连 续函数,则对于C上一致收敛的级数∑uk(2)可以逐项求积分 k=1 3逐项求导数( Weierstrass定理)设uk(2)(k=1,2,…)在7中单值解析、飞()在石中 致收敛,则此级数之和∫(2)是G内的解析函数,f(z)的各阶导数可以由∑uk(2)逐项求导数
§4.2 ✧ ✝ ✆ ✝ ✞ 4 ✟ §4.2 ★ ❅ ❆ ❅ ✩❴❵❴❛❜❝û ✪ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ➌✫✬ G ✥ ✙③④✫❣❤➟❳ G ✥❘✭ z0 ✔❋ ❊ P∞ k=1 uk(z0) ♥♦✔ ◗♣❋❊ P∞ k=1 uk(z) ➌ z0 ✭♥♦✫ ❩❬✔❣❤ P∞ k=1 vk(z0) ✉✈✔ ◗♣❋❊ P∞ k=1 vk(z) ➌ z0 ✭ ✉✈✫ ❣❤❋❊ P∞ k=1 uk(z) ➌✫✬ G ✮✂❘✭ ✣♥♦✔ ◗♣❋❊➌ G ✮♥♦✫✡ ❑✯ ❊ S(z) t G ✮ ❍✰ ✒ ✯ ❊✫ ✩❴❵❴❛✱✲❜❝û ❣❤➟❳✏ ☛✳③❍ ε > 0, ➲➌❘❙P z ➳➵❍ N(ε), ✴ ➺ n > N(ε) ➻✔ S(z) − Pn k=1 uk(z) < ε ✔ ◗♣❋❊ P∞ k=1 uk(z) ➌ G ✮❘✵♥♦✫ ✩❴❵❴✱✲❜❝❛➦➧➨ (1) ✶✷✸①③④✔ (2) Weierstrass ❍ M ➡◆➢✫ Weierstrass ❍ M ➡◆➢✽ ➩➌✫✬ G ✮ |uk(z)| < ak ✔ ak P z ➳➵✔➫ P∞ k=1 ak ♥♦✔ ◗ P∞ k=1 uk(z) ➌ G ✮➞➟➫✤❘✵♥♦✫ ✱✲❜❝❵❴✹✺✻✼✽✾ûü✽ 1. ✿❀û ❣❤ uk(z) ➌ G ✮ ❁❂✔❋❊ P∞ k=1 uk(z) ➌ G ✮❘✵♥♦✔ ◗ ✡ ❑✯ ❊ S(z) = P∞ k=1 uk(z) ❃ ➌ G ✮ ❁❂✫ ✆❙✇❄❅❆❇❈✔❣❤❋❊❍ ✂❘↔ ✣t ❁❂✯ ❊✔ ◗❘✵♥♦❋❊❸❹❉↔ ➐qr (✦❊ ❋✔ ● ➐qr❍P ● ➐ ❋❊❑❍ ❸❹■ ý➑❧) ✔ limz→z0 X∞ k=1 uk(z) = X∞ k=1 limz→z0 uk(z). 2. ❏❑▲▼◆ ✪ C t✫✬ G ✮❍❘ ❶▼❖P◗ ❘❙✔❣❤ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) t C ❚❍ ❁ ❂ ✯ ❊✔ ◗➟❳ C ❚❘✵♥♦❍ ❋❊ P∞ k=1 uk(z) ❸❹❉↔ ➐☎ ▼ Z C X∞ k=1 uk(z)dz = X∞ k=1 Z C uk(z)dz. 3. ❏❑▲❯❴ (Weierstrass ❇❱ ) ✪ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ➌ G ✥ ✰ ✒❲❳✔ P∞ k=1 uk(z) ➌ G ✥ ❘✵♥♦✔ ◗⑥❋❊❬ ❑ f(z) t G ✮❍ ❲❳✯ ❊✔ f(z) ❍❨❩❬❊❸❹ ❭ P∞ k=1 uk(z) ❉↔ ➐❬ ❊
第5页 得到 fp(2)=∑(2) k=1 求导数后的级数在G内的任一闭区域中一致收敛 这些性质的证明见本章末
✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 5 ✟ ➉➊✔ f (p) (z) = X∞ k=1 u (p) k (z), ➐❬ ❊❪ ❍ ❋❊➌ G ✮❍ ✏❘❫✫✬ ✥❘✵♥♦✫ ✆❴✇❄❍❵ ❛❜❝❞❡✫
843幂级数 幂级数通常是指通项为幂函数的函数项级数, cn(z-a)n=c0+c1(2-a)+c2(z-a)2 这是一种特殊形式的函数项级数,也是最基本、最常用的一种函数项级数 定理41Abel(第一)定理如果级数∑cn(z-a)n在某点20收敛,则在以a点为圆心 20-a为半径的圆内绝对收敛,而在|z-a|≤r(r|21-a)内收敛,与原设矛盾.故级数∑cn(z-a) 在圆|z-a=|z1-叫外处处发散.口 收敛圆与收敛半径由于一个级数在z平面上的任意一点,总是要么收敛,要么发散.因此, 对于幂级数来说,就出现了这样的情况:在z平面上一部分点幂级数收敛,在另外一部分点幂级
§4.3 ❢ ✆ ✝ ✞ 6 ✟ §4.3 ❣ ❆ ❅ ❤❋❊✐ ➸t❥ ✐↔ ❖ ❤ ✯ ❊ ❍✯ ❊↔❋❊✔ X∞ n=0 cn(z − a) n = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) 2 + · · · + cn(z − a) n + · · · . ✆ t❘✗➇✚❦❧❍✯ ❊↔❋❊✔❃ t♠♥❝♦♠➸①❍❘✗ ✯ ❊↔❋❊✫ ❇❱ 4.1 Abel(♣ ✱ ) ❇❱ ❣❤❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ➌q✭ z0 ♥♦✔ ◗➌❹ a ✭ ❖ rs✔ |z0 − a| ❖t✉❍ r✮➞➟♥♦✔➫➌ |z − a| ≤ r(r |z1 − a|) ✮♥♦✔ P⑨ ✪⑩❶✫✇❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ➌ r |z − a| = |z1 − a| ⑥⑦⑦✉✈✫ ❜❝❷❸❜❝❹❺ ❭ ❳❘❙❋❊➌ z ❻❼❚❍ ✏ ☛❘✭✔❽ t⑩❾♥♦✔ ⑩❾✉✈✫⑤⑥✔ ➟❳❤❋❊❿❋✔➈❻➀➁✆➂❍➃➄✽ ➌ z ❻❼❚❘ ❏▼✭❤❋❊♥♦✔ ➌➅⑥❘ ❏▼✭❤❋
数发散.这些收敛点与发散点之间存在一个分界线 ★根据Abel定理,这个分界线一定是圆.这个圆,就称为幂级数的收敛圆 收敛圆的圆心:z=a点 ★收敛圆的半径称为收敛半径 收敛半径可以是0.这时,收敛圆退化为一个点.除z=a点外,幂级数在全平面处处发散 收敛半径也可以是∞.这时收敛圆就是全平面.幂级数在全平面收敛,但在∞点可能收敛, 也可能发散 在讨论幂级数的性质时,首先应当求出收敛圆(收敛半径) 求幂级数的收敛半径的办法,常用的有两个 1.根据 Cauchy判别法,当 1(-a)y/1即|z-a 时级数发散.因此,幂级数∑cn(2-a)m的收敛半径是 2.根据 d'Alembert判别法,如果 in|+1(2-a)x+1 =|2-a|im|c+ 存在,则当 imn|+1(2-o+ cn(2-a)n1即|z-a|>lim 时级数发散.因此,幂级数∑cn(2-a)的收敛半径是 R= lim
✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 7 ✟ ❊ ✉✈✫✆❴♥♦✭ P✉✈✭❬➆ ➲➌❘❙▼➇❙✫ F ⑦⑧ Abel ③ ⑧✔✆❙ ▼➇❙❘③t r ✫✆❙ r ✔➈♣❖ ❤❋❊❍ ❜❝❷ ✫ F ♥♦ r❍ rs✽ z = a ✭✫ F ♥♦ r❍t✉♣❖ ❜❝❹❺ ✫ ♥♦t✉❸❹ t 0 ✫✆ ➻✔ ♥♦ r➈➉❖❘❙✭✫➊ z = a ✭⑥✔❤❋❊➌❯❻❼⑦⑦✉✈✫ ♥♦t✉❃❸❹ t ∞ ✫✆ ➻♥♦ r ➈ t❯❻❼✫❤❋❊➌❯❻❼♥♦✔➋ ➌ ∞ ✭❸➌ ♥♦✔ ❃❸➌ ✉✈✫ ➌➍➎❤❋❊❍✇❄➻✔➏➐➑➺ ➐ ❻ ♥♦ r (♥♦t✉) ✫ ➐ ❤❋❊❍♥♦t✉❍➒➢ ✔ ➸①❍✙❨❙✽ 1. ⑦⑧ Cauchy ➡◆➢✔➺ limn→∞ |cn(z − a) n | 1/n 1 ➭ |z − a| > 1 limn→∞ |cn| 1/n ➻ ❋❊✉✈✫⑤⑥✔❤❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ❍♥♦t✉t R = 1 limn→∞ |cn| 1/n = lim n→∞ 1 cn 1/n . 2. ⑦⑧ d’Alembert ➡◆➢✔❣❤ limn→∞ cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n = |z − a| limn→∞ cn+1 cn ➲➌✔ ◗ ➺ limn→∞ cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n 1 ➭ |z − a| > limn→∞ cn cn+1 ➻ ❋❊✉✈✫⑤⑥✔❤❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ❍♥♦t✉t R = limn→∞ cn cn+1
这两个求收敛半径的公式各有优缺点, Cauchy公式是普遍成立的,而d' Alembert公式 则是有条件的(要求极限 lim cn/cn艹l存在)·但当后者能适用时,往往计算更简单 由于幂级数∑cn(z-α)的每一项都是z的解析函数,Abel定理告诉我们,幂级数在其收 敛圆内任一闭区域中一致收敛,因此,根据4.2节,在收敛圆内,幂级数代表了一个解析函数(或 者说,幂级数的和函数在收敛圆内解析),可以对幂级数逐项积分或逐项求导数 Cn(z-a)"dz= (a-a)"da d d(a dz cn+1(n+1)(z-a) 幂级数在收敛圆上的收敛性? 可以处处收敛 可以处处发散 也可以在一部分点收敛,在另一部分点发散 n(n-+ 在|2|=1上处处收敛 1+z+…+zn+ 在|2|=1上处处发散 on 在||=1上除z=1外均收 敛,而在z=1点发散. 不论哪种情况,幂级数的收敛圆上总肯定有奇点 但即使在奇点,幂级数仍然可能是收敛的(即有确定的函数值) 设幂级数∑cn(2-a)在收敛圆内收敛到f(x),如果级 数在收敛圆周上某点20也收敛,和为S(20),则阿贝耳第二 定理(不证)告诉我们,当z由收敛圆内趋于z0时,只要保持 在以20为顶点、张角为2<π的范围内(见图4.1),f(z)就 一定趋于S(20) 4.1阿贝耳第二定理
§4.3 ❢ ✆ ✝ ✞ 8 ✟ ➓➔→àÑÒ➣↔✜↕★➙➆➚å➪✫ Cauchy ↕★✗➛➜➝➞✜✔ì d’Alembert ↕★ ➟✗➆➠➡✜ (✤àÚÛ limn→∞ |cn/cn+1| ❿➀) ✫➢ ×➤➥ð➦✳➧✔➘➘➨➩Õ ➴➷➫✫ ❭ ❳ ❤❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ❍ ✂❘↔ ✣t z ❍ ❲❳✯ ❊✔ Abel ③ ⑧ ❅❆❇❈✔❤❋❊➌ ✡ ♥ ♦ r✮ ✏❘❫✫✬ ✥❘✵♥♦✔⑤⑥✔⑦⑧ 4.2 ➭✔ ➌♥♦ r✮✔❤❋❊➯➲➁❘❙❲❳✯ ❊ (✦ ❊ ❋✔❤❋❊❍❑✯ ❊ ➌♥♦ r✮ ❲❳) ✔❸❹ ➟ ❤❋❊❉↔☎ ▼✦ ❉↔ ➐❬ ❊✔ Z z z0 X∞ n=0 cn(z − a) n dz = X∞ n=0 cn Z z z0 (z − a) n dz = X∞ n=0 cn n + 1 (z − a) n+1 − (z0 − a) n+1 , d dz X∞ n=0 cn(z − a) n = X∞ n=0 cn d(z − a) n dz = X∞ n=0 cn+1(n + 1)(z − a) n . F ❤❋❊➌♥♦ r❚❍♥♦✇ Ô • ❸❹ ⑦⑦♥♦✔ • ❸❹ ⑦⑦✉✈✔ • ❃❸❹ ➌❘ ❏▼✭♥♦✔ ➌➅❘ ❏▼✭ ✉✈✫ z 2 2 + · · · + z n n(n − 1) + · · · ➌ |z|= 1 ❚⑦⑦♥♦➼ 1 + z + · · · + z n + · · · ➌ |z|= 1 ❚⑦⑦✉✈➼ 1 + z 1 + · · · + z n n + · · · ➌ |z| = 1 ❚ ➊ z = 1 ⑥➳♥ ♦✔➫➌ z = 1 ✭ ✉✈✫ ➍➎➵✗ ➃➄✔❤❋❊❍♥♦ r❚ ❽➸③✙➺✭✫ ➋➭ ✴➌➺✭✔❤❋❊✄❪❸➌ t♥♦❍ (➭ ✙➻③❍✯ ❊✒ ) ✫ ✪❤❋❊ X∞ n=0 cn(z − a) n ➌♥♦ r✮♥♦➊ f(z) ✔❣❤❋ ❊ ➌♥♦ r➼❚q✭ z0 ❃ ♥♦✔ ❑❖ S(z0) ✔ ◗ ➽➾➚♣➪ ❇❱ (➍❵) ❅❆❇❈✔➺ z ❭ ♥♦ r✮➶❳ z0 ➻✔➹ ⑩➘➴ ➌ ❹ z0 ❖➷✭ ♦ ➬➮❖ 2φ < π ❍➱ ✃✮ (❜❐ 4.1) ✔ f(z) ➈ ❘③➶❳ S(z0) ✫ ❒ 4.1 ❮❰Ï✞ÐÑÒ
§4.4含参量的反常积分的解析性 43节中有关函数级数解析性的结论,也可以用来讨论含参量的反常积分的解析性. 定理42设 1.∫(t1a)是t和z的连续函数,t>a,z∈石, 2.对于任何t≥a,∫(t,2)是上的单值解析函数, 3.积分/f(,2l在百上一致收敛,即v>0,彐T(),当T2>n1>T()时,有 f(t, a)di 则F(2)=/f(t,2)dt在G内是解析的,且 F(a) 证任取一个无界序列{an} =a()=C“0 对于含参量的瑕积分也可以类似地处理 在应用这个定理时,需要判断无穷积分(或瑕积分)是否一致收敛.常用的判别法是:如果存 在函数(),使得(2)<(0,2∈7,而且厂收数,则厂(2在可上绝对而且 致收敛 作为含参量的无穷积分的一个例子,下面讨论积分 F(a e- cos 2zt dt 这个积分中的被积函数显然满足定理的前两个条件,而且因为对于复数z=x+iy,有 Icos 2zt|=vcosh22yt-cos22-t s cosh 2 lytl s e2lytl
✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 9 ✟ §4.4 ÓÔÕÖ×ØÙÚÖÛÜÝ 4.3 ➭ ✥ ✙➵✯ ❊❋❊❲❳✇❍Þ➎✔❃❸❹ ① ❿ ➍➎ßàá❍ ❩ ➸ ☎ ▼❍❲❳✇✫ ❇❱ 4.2 ✪ 1. f(t, z) ✗ t ✰ z ✜âã✛✓✔ t > a ✔ z ∈ G ✔ 2. ➄➅❼ä t ≥ a ✔ f(t, z) ✗ G á✜➷➽✙✚✛✓✔ 3. å ➹ Z ∞ a f(t, z)dt ➀ G á✪æÑÒ✔Ü ∀ε > 0 ✔ ∃T (ε) ✔× T2 > T1 > T (ε) ➧✔➆ Z T2 T1 f(t, z)dt < ε, ◗ F(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ➌ G ✮t ❲❳❍ ✔✤ F 0 (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ✈ ✏ç❘❙ èé ❧♠ {an} a0 = a < a2 < a3 < · · · < an < an+1 < · · · , limn→∞ an = ∞. ● un(z) = Z an+1 an f(t, z)dt ✔ ◗⑦⑧ 3.7 ➭➵❳ßàá❍③☎ ▼❍❲❳✇❍③ ⑧✔❸ê un(z) t G ✮ ❍✰ ✒❲❳✯ ❊✫ë⑤ ❖ F(z) = X∞ n=0 un(z) ➌ G ❚❘✵♥♦✔✇⑦⑧ Weierstrass ③ ⑧✔ê F(z) = X∞ n=0 un(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ➌ G ✮ ❲❳✔✤ F 0 (z) = X∞ n=0 u 0 n (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ➟❳ßàá❍ì ☎ ▼ ❃❸❹íîï⑦ ⑧✫ ➌➑ ① ✆❙③ ⑧ ➻✔ð ⑩➡ñ➳ò☎ ▼ (✦ì ☎ ▼) t s❘✵♥♦✫ ➸①❍➡◆➢t✽ óô❿ ➀✛✓ φ(t) ✔➃➬ |f(t, z)| < φ(t) ✔ z ∈ G ✔ìõ Z ∞ a φ(t)dt ÑÒ✔➟ Z ∞ a f(t, z)dt ➀ G áø➄ìõ ✪æÑÒ✫ ö ❖ßàá❍➳ò☎ ▼❍❘❙✓✁✔ ➔❼➍➎☎ ▼ F(z) = Z ∞ 0 e −t 2 cos 2zt dt. (4.1) ✆❙☎ ▼ ✥ ❍÷ ☎ ✯ ❊ø❪ ①②③ ⑧ ❍➒❨❙ ❶❷✔➫✤⑤ ❖➟❳❉❊ z = x + iy ✔ ✙ |cos 2zt| = q cosh2 2yt − cos22xt ≤ cosh 2 |yt| ≤ e 2|yt| .