第二部分数学物理方程
第二部分 数学物理方程
第十二章数学物理方程 和定解条件 说明 ★本章计划讲授学时:6
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第十二章数学物理方程和定解条件 第十二章数学物理方程和定解条件 数学物理方程,通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程 有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程.例如 ·静电势和引力势满足的 Laplace方程或 Poisson方程 ·波的传播所满足的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的 Navier- Stockes方程组和 Euler方程组 描写电磁场运动变化的 Maxwell方程组 ·作为微观物质运动基本规律的 Schrodinger方程和 Dirac方程 弹性力学中的 Saint- Venant方程组 等等.这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程(组).所以,本课程将集中讨论几种典型的二阶 线性偏微分方程. 本章从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程。以后讨论这些方程的一般性质 及解法
第十二章 数学物理方程和定解条件 第 1 页 第十二章 数学物理方程和定解条件 数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程， 有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程．例如， • 静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 • 波的传播所满足的波动方程 • 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 • 连续介质力学中的Navier–Stockes方程组和Euler方程组 • 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 • 作为微观物质运动基本规律的Schr¨odinger方程和Dirac方程 • 弹性力学中的Saint-Venant方程组 等等．这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程(组)．所以，本课程将集中讨论几种典型的二阶 线性偏微分方程． 本章从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程．以后讨论这些方程的一般性质 及解法．
12.1弦的横振动方程 §121弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上 作小振动.列出弦的横振动方程 图121 取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x=0与x=l 设u(x,t)是坐标为的弦上一点在时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dr的一小段(弦 ).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点 分析弦元受力:它在两个端点x及x+dx处受到张力的作用 因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力——张力T的作用,而没有法向应力.同 时,略去了重力的作用 因此有 (Tsin 0)z= dn (T cos 0)x+dz -(T cos O)x=0 小振动近似:x+dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dx,t)-a(x,t),与dx相 比是一个小量,即 Jau/ax<1 在小振动近似下, sinb≈tan6 略去了“的三级项 略去了一一的二级项 这样,就有 (T)x+dx-(T)x=0 (T)x 说明T不随x变化,弦中各点的张力相等.于是, 2=T(
§12.1 弦的横振动方程 第 2 页 §12.1 弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上 作小振动．列出弦的横振动方程． 图12.1 弦的横振动 tan θ1 = µ ∂u ∂x ¶ x , tan θ2 = µ ∂u ∂x ¶ x+dx 取弦的平衡位置为x轴，且令端点坐标为x = 0与x = l． 设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移．在弦上隔离出长为dx的一小段(弦 元)．弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点． 分析弦元受力：它在两个端点x及x + dx处受到张力的作用． 因为弦是完全柔软的，故只受到切向应力 张力T的作用，而没有法向应力．同 时，略去了重力的作用． 因此有 (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x = dm ∂ 2u ∂t2 , (T cos θ)x+dx − (T cos θ)x = 0. 小振动近似：x+ dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+ dx, t)−u(x, t)，与dx相 比是一个小量，即 |∂u/∂x| ¿ 1. 在小振动近似下， sin θ ≈ tan θ = ∂u ∂x µ 略去了 ∂u ∂x的三级项 ¶ , cos θ ≈ 1 µ 略去了 ∂u ∂x的二级项 ¶ . 这样，就有 (T)x+dx − (T)x = 0 即 (T)x+dx = (T)x, 说明T不随x变化，弦中各点的张力相等．于是， ρdx ∂ 2u ∂t2 = T "µ ∂u ∂x¶ x+dx − µ ∂u ∂x¶ x # = T ∂ 2u ∂x2 dx
12.1弦的横振动方程 第3页 其中p是弦的线密度(单位长度的质量).定义 则方程可以写成 at a就是弦的振动传播速度 还可以证明:在小振动近似下,张力T与t无关.这是因为弦元的伸长 ds- dr du2tdr2-dx 所以,在准确到∂u/ar的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变 化.因此,按照 Hooke定律,T也不随时间变化 前面又已经证明过,T也不随x变化,所以T是一个常数 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作 位长度所受的外力为f,则仿照 前面的推导,有 a-u a1 Toady+fdr 因此 -- 其中的非齐次项f/p是单位质量所受的外力
§12.1 弦的横振动方程 第 3 页 即 ρ ∂ 2u ∂t2 − T ∂ 2u ∂x2 = 0, 其中ρ是弦的线密度(单位长度的质量)．定义 a = r T ρ , 则方程可以写成 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0. a就是弦的振动传播速度． 还可以证明：在小振动近似下，张力T与t无关．这是因为弦元的伸长 ds − dx = p du 2 + dx 2 − dx = s 1 + µ ∂u ∂x¶2 − 1 dx = O µ µ∂u ∂x¶2 ¶ , 所以，在准确到∂u/∂x的一级项(即小振动近似)的条件下，弦元的长度不随时间变 化．因此，按照Hooke定律，T也不随时间变化． 前面又已经证明过，T也不随x变化，所以T是一个常数． 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用，设单位长度所受的外力为f，则仿照 前面的推导，有 ρdx ∂ 2u ∂t2 = T ∂ 2u ∂x2 dx + fdx. 因此， ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f ρ , 其中的非齐次项f /ρ是单位质量所受的外力．
§122杆的纵振动方程 第4页 §122杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆,沿杆长方向作小振动.假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情 况(即位移)完全相同 (a) 图122杆的纵振动应力与应变 ★如图12.2,取杆长方向为x轴方向,垂直于杆长方向的各截面均用它的平衡位置x标记 ★在任一时刻t,此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t ★在杆中隔离出一小段(x,x+dx),分析受力 通过截面x,受到弹性力P(x,t)S的作用 ·通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用 P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力),沿x方向为正 因此,根据 Newton第二定律,就得到 dm az=[P(a+dx, t)-P(a, t)S 若杆的密度为p,则dm=pdx:S a2u ap 如果略去垂直杆长方向的形变,根据Hoke定律,应力P与应变u/O成正比 比例系数E称为杆的 Young模量,它是一个物质常数.这样,就得到了杆的纵振动方程 a- 其中 E 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同,但它们满足的偏微分方程的形式却完全一 样.这一类方程统称为波动方程
§12.2 杆的纵振动方程 第 4 页 §12.2 杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作小振动．假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情 况(即位移)完全相同． 图12.2 杆的纵振动 应力与应变 F 如图12.2，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长方向的各截面均用它的平衡位置x标记． F 在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)． F 在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力： • 通过截面x，受到弹性力P(x, t)S的作用 • 通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正． 因此，根据Newton第二定律，就得到 dm ∂ 2u ∂t2 = [P(x + dx, t) − P(x, t)] S. 若杆的密度为ρ，则dm = ρ dx · S， ρ ∂ 2u ∂t2 = ∂P ∂x . 如果略去垂直杆长方向的形变，根据Hooke定律，应力P与应变∂u/∂x成正比 P = E ∂u ∂x, 比例系数E称为杆的Young模量，它是一个物质常数．这样，就得到了杆的纵振动方程 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 其中 a = r E ρ . 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同，但它们满足的偏微分方程的形式却完全一 样．这一类方程统称为波动方程．
§122杆的纵振动方程 更一般地,在三维空间中的波动方程是 u=0 ax2 ay 2a 称为 Laplace算符, vV即va=V·(Va)
§12.2 杆的纵振动方程 第 5 页 更一般地，在三维空间中的波动方程是 ∂ 2u ∂t2 − a 2∇ 2 u = 0, 其中 ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 称为Laplace算符， ∇ 2 = ∇ · ∇ 即 ∇ 2 u = ∇ · (∇u)
§123热传导方程 第6页 §123热传导方程 推导热传导方程所用的数学方法和上面的完全相同.不同之处在于具体的物理规律 不同.这里用到的是热学方面的两个基本规律,即 能量守恒定律和热传导的 Fourier定律 热传导的 Fourier定律设有一块连续介质.取定一定坐标系,并用u(x,y,z,t)表示介质内 空间坐标为(x,y,2)的一点在时刻的温度.若沿x方向有一定的温度差,在x方向也就一定有热 量的传递,从宏观上看,单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成 正比,即 q称为热流密度,k称为导热率 k与介质的质料有关,而且,严格说来,与温度u也有关系.但如果温度的变化范围 不大,则可以近似地将k看成与u无关 上面公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反,即热量由高温流向低温 研究三维各向同性介质中的热传导,在介质中三个方向上都存在温度差,则有 Ox’qy=-k 或 即热流密度矢量q与温度梯度Vu成正比 根据 Fourier定律和能量守恒定律推导均匀各向同性介质中的热传导方程. 在介质内部隔离出一个平行六面体(见图123),六个面都和坐标面重合 图123热传导方程 位于(x,y,2)点的小六面体 ★△时间内沿x方向流入六面体的热量 qx)2-(q)2+△]△y△z△t=(k △y△z△t 0x)x+ ax2
§12.3 热 传 导 方 程 第 6 页 §12.3 热 传 导 方 程 推导热传导方程所用的数学方法和上面的完全相同．不同之处在于具体的物理规律 不同．这里用到的是热学方面的两个基本规律，即 能量守恒定律 和 热传导的Fourier定律． 热传导的Fourier定律 设有一块连续介质．取定一定坐标系，并用u(x, y, z, t)表示介质内 空间坐标为(x, y, z)的一点在t时刻的温度．若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就一定有热 量的传递．从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成 正比，即 q = −k ∂u ∂x, q称为热流密度，k称为导热率． k与介质的质料有关，而且，严格说来，与温度u也有关系．但如果温度的变化范围 不大，则可以近似地将k看成与u无关． 上面公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温． 研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上都存在温度差，则有 qx = −k ∂u ∂x, qy = −k ∂u ∂y , qz = −k ∂u ∂z , 或 q = −k∇u, 即热流密度矢量q与温度梯度∇u成正比． 根据Fourier定律和能量守恒定律推导均匀各向同性介质中的热传导方程． 在介质内部隔离出一个平行六面体(见图12.3)，六个面都和坐标面重合． 图12.3 热传导方程 位于(x, y, z)点的小六面体 F ∆t时间内沿x方向流入六面体的热量 £ (qx)x − (qx)x+∆x ¤ ∆y∆z∆t = h µ k ∂u ∂x¶ x+∆x − µ k ∂u ∂x¶ x i ∆y∆z∆t = k ∂ 2u ∂x2 ∆x∆y∆z∆t
§123热传导方程 ★△时间内沿y方向流入六面体的热量 -u △x△z△t=k△x△y△z△t ★在△时间内沿z方向流入六面体的热量 q)2-(q-)+△3]△z△△t=k2△x△y△△ 如果六面体内没有其他热量来源或消耗,则根据能量守恒定律,净流入的热量应该等于介质在 此时间内温度升高所需要的热量, dr2 ay 2 az △x△y△z△t=p△x△y 所以 其中p是介质的密度,c是比热容 k/pc,则有 其中称为扩散率,或温度传导率 位体积介质中产生的热量为F(x,y,2,1,应发生,或通有电流, 如果在介质内有热量产生(例如,有化学反 ,单位时间内单 kvu△x△y△z△t+F(x,y,z,t)△r△y△z△t=p△r△y△z:c:△u (, y, z, t)=f(a, y, z, t) 如果介质不均匀,则导热率k与坐标(x,y,2)有关.这时,热传导方程就变为 V·(kVu)=F(x,y,2,t) 热传导方程的另一种形式令j=pcu,称为热流(强度),则 +v F(a, y,z, t) 这个方程常称为连续性方程 如果是各向异性介质,则 Fourier定律应改写成 K. Vu
§12.3 热 传 导 方 程 第 7 页 F ∆t时间内沿y方向流入六面体的热量 h (qy)y − (qy)y+∆y i ∆x∆z∆t = k ∂ 2u ∂y2 ∆x∆y∆z∆t, F 在∆t时间内沿z方向流入六面体的热量 £ (qz)z − (qz)z+∆z ¤ ∆x∆y∆t = k ∂ 2u ∂z2 ∆x∆y∆z∆t. 如果六面体内没有其他热量来源或消耗，则根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在 此时间内温度升高所需要的热量， k µ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ¶ ∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u. 所以 ∂u ∂t − k ρc ∇ 2 u = 0, 其中ρ是介质的密度，c是比热容． 令κ = k/ρc，则有 ∂u ∂t − κ∇ 2 u = 0, 其中κ称为扩散率，或温度传导率． 如果在介质内有热量产生(例如，有化学反应发生，或通有电流，· · · · · ·)，单位时间内单 位体积介质中产生的热量为F(x, y, z, t)，则有 k∇ 2 u∆x∆y∆z∆t + F(x, y, z, t)∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u, ∂u ∂t − κ∇ 2 u = 1 ρc F(x, y, z, t) = f(x, y, z, t). 如果介质不均匀，则导热率k与坐标(x, y, z)有关．这时，热传导方程就变为 ρc ∂u ∂t − ∇ · (k∇u) = F(x, y, z, t). 热传导方程的另一种形式 令j = ρcu，称为热流(强度)，则 ∂j ∂t + ∇ · q = F(x, y, z, t). 这个方程常称为连续性方程． 如果是各向异性介质，则Fourier定律应改写成 q = −K · ∇u
§123热传导方程 第8页 这里的K是一个3×3矩阵,它和Vu按矩阵乘法的规则相乘.q和Vu都是列矢量 相应地,热传导方程变为 V·(K.Va)=F(x,y,z,t) 从分子运动的角度看,温度的高低是分子热运动激烈程度的反映.分子热运动的不平衡 通过碰撞交换能量,在宏观上就表现为热量的传递.可以设想,如果介质内存在别种不均匀状 况,例如物质浓度的不均匀,通过分子的运动也会发生物质的交换,这在宏观上就表现为分子 的扩散.这种在微观机理上的相似性,就决定了扩散方程和热传导方程有相同的形式, at-Dv-u=f(r, y, 其中的u(x,y,z,t)代表分子浓度,D是扩散率,f(x,y,z,t)则是单位时间内在单位体积中该种 分子的产率
§12.3 热 传 导 方 程 第 8 页 这里的K是一个3 × 3矩阵，它和∇u按矩阵乘法的规则相乘．q和∇u都是列矢量. 相应地，热传导方程变为 ρc ∂u ∂t − ∇ · (K · ∇u) = F(x, y, z, t). 从分子运动的角度看，温度的高低是分子热运动激烈程度的反映．分子热运动的不平衡， 通过碰撞交换能量，在宏观上就表现为热量的传递．可以设想，如果介质内存在别种不均匀状 况，例如物质浓度的不均匀，通过分子的运动也会发生物质的交换，这在宏观上就表现为分子 的扩散．这种在微观机理上的相似性，就决定了扩散方程和热传导方程有相同的形式， ∂u ∂t − D∇ 2 u = f(x, y, z, t), 其中的u(x, y, z, t)代表分子浓度，D是扩散率，f(x, y, z, t)则是单位时间内在单位体积中该种 分子的产率．
