第二讲初等函数和多值函数 §21初等函数 ★幂函数zn 指数函数e2 三角函数sinz,cosz,… ★双曲函数 sinh z, cosh z 它们都可以看成是相应实变函数在复数域中的推广 ·如何将相应实变函数推广到复数域 这些函数的解析性 ·这些函数作为复变函数所特有的性质
Wu Chong-shi §2.1 ✁ ✂ ✄ ☎ 20 ✆ ✝✞✟ ✠✡☛☞✌✍✎☛☞ §2.1 ✏ ✑ ✒ ✓ F ✔✕✖ z n F ✗✖✕✖ e z F ✘✙✕✖ sin z, cos z, · · · F ✚ ✛✕✖ sinh z, cosh z,· · · F · · · · · · ✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬✕✖✭✮✖✯ ✰✱✲✳✴ • ✵✶✷✩✪✫✬✕✖✲✳✸✮✖✯ • ✹✺✕✖✱✻✼✽ • ✹✺✕✖✾✿✮✬ ✕✖❀❁❂✱✽❃
★幂函数zn ·当n=0,1,2,…时,zn在全平面解析,且当n=1,2,…时,z=∞是奇点 -3,…时,z除z=0外处处解析,在z=∞也解析 ·由幂函数还可以进一步定义(n次)多项式(函数) Pn(2)=an2+an-121-1+…+a1z+a0 和有理函数 R(x)= Pn(2) 其中Pn(2)和Qm(2)分别是n次和m次多项式
Wu Chong-shi ❄❅❆ ✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 21 ✆ F ❊❋● z n • ❍ n = 0, 1, 2, · · · ■❏ z n ✭❑▲▼✻✼❏◆❍ n = 1, 2, · · · ■❏ z = ∞ ★❖P✴ • ❍ n = −1, −2, −3, · · · ■❏ z n ◗ z = 0 ❘❙❙✻✼❏✭ z = ∞ ❚✻✼❏ (z n ) 0 = nzn−1 . • ❯✔✕✖❱✤✥❲❳❨❩❬ (n ❭)❪❫❴(✕✖) Pn(z) = anz n + an−1z n−1 + · · · + a1z + a0 ❵ ❛❜❋● R(z) = Pn(z) Qm(z) , ❝ ✰ Pn(z) ❵ Qm(z) ❞❡★ n ❭ ❵ m ❭❢❣❤✴
★指数函数e2 图21(a)指数函数实部 (b)指数函数虚部 ·“指数函数相乘等于指数相加”这个运算法则,对于复指数函数仍然成立 e21,e2=e1+1y1.e2+iy2=e2 +x2,e(y+y2)=c(x1+x2)+1(+y2)=e21+22 ·e2在全平面解析 ·e2在无穷远点无定义.例如,当z沿正实轴、负实轴或虚轴趋于∞时,e2逼近 不同的值.所以,z=∞是指数函数e2的奇点 ·复指数函数的特有性质:周期性,其周期为2mi e2+2ni=e+i(y+27)=e" (cos(y+27)+isin(y +27) e [cosy +ising=etly=e2
Wu Chong-shi §2.1 ✁ ✂ ✄ ☎ 22 ✆ F ✐●❋● e z e z = ex+iy = ex (cos y + i sin y). ❥ 2.1 (a) ❦❧♠❧♥♦ (b) ❦❧♠❧♣♦ • q✗✖✕✖✩rst✗✖✩✉✈✹✇①②③④❏⑤t ✮✗✖✕✖⑥⑦✧⑧✴ e z1 · e z2 = ex1+iy1 · e x2+iy2 = ex1 · e x2 · e iy1 · e iy2 = ex1+x2 · e i(y1+y2) = e(x1+x2)+i(y1+y2) = ez1+z2 . • e z ✭❑▲▼✻✼❏ (ez ) 0 = ez . • e z ✭⑨⑩❶P ⑨ ❩❬✴ ❷ ✵❏❍ z ❸❹✫❺❻❼✫❺❽❾❺❿t ∞ ■❏ e z ➀➁ ➂➃✱➄✴❀✥ ❏ z = ∞ ★ ✗✖✕✖ e z ✱ ❖P✴ • ✮✗✖✕✖✱❁❂✽❃➅➆➇✽❏❝ ➆➇✿ 2π i ❏ e z+2π i = ex+i(y+2π) = ex [cos(y + 2π) + i sin(y + 2π)] = ex [cos y + i sin y] = ex+iy = ez
★三角函数sinz,cosz 复三角函数sinz,cosz可以用复指数函数定义, 10 图22(a)正弦函数实部 (b)正弦函数虚部 图2.3(a)余弦函数实部 (b)余弦函数虚部 ·sinz,cosz在全平面解析 (co 2=0是它们的唯一奇点 ·sinz和cosz都是周期函数,周期为2π ·sinz和cosz的模可以大于1 -1.1752012 el =1.5430806
Wu Chong-shi ❄❅❆ ✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 23 ✆ F ➈➉❋● sin z, cos z, · · · ✮✘✙✕✖ sin z, cos z ✤✥➊✮✗✖✕✖❩❬❏ sin z = e iz − e −iz 2i , cos z = e iz + e−iz 2 . ❥ 2.2 (a) ➋➌♠❧♥♦ (b) ➋➌♠❧♣♦ ❥ 2.3 (a) ➍➌♠❧♥♦ (b) ➍➌♠❧♣♦ • sin z, cos z ✭❑▲▼✻✼❏ (sin z) 0 = cos z, (cos z) 0 = − sin z. • z = ∞ ★✜✢✱➎❳❖P✴ • sin z ❵ cos z ✣★➆➇✕✖❏➆➇✿ 2π ✴ • sin z ❵ cos z ✱➏✤✥➐t 1 ✴ i sin i = e −1 − e 1 2 = −1.1752012 · · ·, cos i = e −1 + e1 2 = 1.5430806 · · ·
其他三角函数,tanz,cotz,secz,cscz可以用sinz和cosz定义,形式和实数时一样, CsC 2 根据这些定义,容易证明,实三角函数的各种恒等式对于复三角函数仍然成立 ★双曲函数 sinh z, cosh z, 双曲函数 sinha, cosh也是通过复指数函数定义的 sinh sinh tanh cosh coth 2 sech z csch z= sinh z ·双曲函数和三角函数可以互化 cosh z= cos i tanh z=-i tan iz 因此,双曲函数的性质完全可以由三角函数推出 ·周期性,双曲函数 sinh z, cosh z的周期是2r ·导数公式 (sinh z)=cosh z, (cosh z)= sinh z,(tanh z)= sech z
Wu Chong-shi §2.1 ✁ ✂ ✄ ☎ 24 ✆ ❝➑✘✙✕✖❏ tan z, cot z,sec z, csc z ✤✥➊ sin z ❵ cos z ❩❬❏➒❤❵✫ ✖■❳➓❏ tan z = sin z cos z , cot z = cos z sin z , sec z = 1 cos z , csc z = 1 sin z . ➔→✹✺❩❬❏➣↔↕ ➙❏✫ ✘✙✕✖✱➛➜➝s ❤⑤t ✮✘✙✕✖⑥⑦✧⑧✴ F ➞➟❋● sinh z, cosh z, · · · ✚ ✛✕✖ sinh z, cosh z ❚ ★➠➡✮✗✖✕✖❩❬✱✴ sinh z = e z − e −z 2 , cosh z = e z + e−z 2 , tanh z = sinh z cosh z , coth z = cosh z sinh z , sech z = 1 cosh z , csch z = 1 sinh z . • ✚ ✛✕✖❵ ✘✙✕✖✤✥➢➤ sinh z = −i sin iz, cosh z = cos iz, tanh z = −i tan iz. ➥➦❏✚ ✛✕✖✱✽❃➧❑✤✥ ❯✘✙✕✖✲➨✴ • ➆➇✽❏✚ ✛✕✖ sinh z, cosh z ✱➆➇★ 2π i ➩ • ➫✖➭❤ (sinh z) 0 = cosh z, (cosh z) 0 = sinh z, (tanh z) 0 = sech2 z
322多值函数 多值函数及其应用在解析函数理论中占有重要地位 根式函数,对数函数,反三角函数,都是多值函数 介绍根式函数及对数函数,并通过这两种函数阐述多值函数的一些基本概念 别的多值函数都可以用这两种多值函数表达 ★根式函数√z-a 根式函数=√的定义给定一个自变量值z,凡是满足等式v2=z的v值,就是根式函 数√z的函数值,或者说是z的平方根 它是幂函数2=即U=2的反函数 它的多值性表现在 对应于一个自变量值2,根式函数√z可取两个值 为了更清楚地看出多值函数的性质,现在仔细分析一下函数 采用极坐标表达式 2-=Te 代入则有 0,±1,±2 因此,对于给定的一个z值,有两个v值与之对应 u1(2) 相当于上面的n=0,±2 相当于n=±1,±3 函数v=√z-a的多值性来源于辐角的多值性, 准确说,来源于宗量z-a(而非自变量2)辐角的多值性 多值性的表现则是函数v的辐角 为了确定起见,以后就把函数u=√z-a明确表示成 叫=√/2z-al,arg 为了更进一步揭示多值函数w=√z-a的性质,现在不妨规定好z平面上某一点arg(z-a) 的值,而后研究z沿一定曲线连续变化时,相应的v值的连续变化.当z沿一定简单闭合曲线(即
Wu Chong-shi ❄❅❆ ✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 25 ✆ §2.2 ➯ ➲ ✒ ✓ ➳➵➸➺➻➼➽➾➚➪➶➸➺➹➘ ➴➷➬➮➱✃❐✴ ❒❮➸➺❏❰➺➸➺❏ÏÐ Ñ➸➺❏ÒÓ ➳➵➸➺✴ ÔÕ❒❮➸➺➻❰ ➺➸➺❏Ö×ØÙÚÛ➸➺ ÜÝ ➳➵➸➺Þßàáâãä✴ åÞ ➳➵➸➺Òæ ç➾ ÙÚÛ ➳➵➸➺èé✴ F ê❴❋● √ z − a ê❴❋● w = √ z ëìí î ❩❳✇ ï ✬ð➄ z ❏ ñ★òós❤ w 2 = z ✱ w ➄❏ô★➔❤✕ ✖ √ z ✱✕✖➄❏❽õö★ z ✱▲÷➔ ✴ ✜★✔✕✖ z 2 = w ø w = z 2 ✱ù✕✖✴ ✜ ✱❢➄✽úû✭➅ ❰ ➽üßý þÿ➵ z ❏ ❒❮➸➺ √ z æ✁Ú ý➵✴ ✿✂✄☎✆✝✦ ➨❢➄✕✖✱✽❃❏û✭✞✟❞✼❳✠ ✕✖ w = √ z − a. ✡➊☛☞✌ú✍❤ w = ρe iφ , z − a = re iθ , ✎✏④❂ ρ = √ r, φ = θ 2 + nπ, n = 0, ±1, ±2, · · ·. ➥➦❏⑤t î ❩ ✱ ❳ ✇ z ➄❏❂✑✇ w ➄✒✓⑤ ✪ ➅ w1(z) = √ re iθ/2 ✩ ❍ t✔ ▼✱ n = 0, ±2, · · · w2(z) = √ re i(π+θ/2) = − √ re iθ/2 ✩ ❍ t n = ±1, ±3, · · · ✕✖➅ • ✕✖ w = √ z − a ✱❢➄✽✗✘t✙ ✙✱❢➄✽❏ ✚✛ö ❏✗✘t✜ð z − a(✢✣ ï ✬ð z) ✙ ✙✱❢➄✽✴ • ❢➄✽✱úû④★ ✕✖ w ✱ ✙ ✙✴ ✿✂ ✛❩✤✥❏ ✥✦ô✧ ✕✖ w = √ z − a ➙ ✛ ú★ ✧ |w| = p |z − a|, arg w = 1 2 arg(z − a). ✿✂✄❲❳❨✩ ★❢➄✕✖ w = √ z − a ✱✽❃❏û✭➂✪✫❩✬ z ▲▼✔✭❳P arg(z − a) ✱➄❏✢ ✦✮✯ z ❸ ❳❩ ✛✰✱✲✬➤■❏✩✪✱ w ➄✱✱✲✬➤✴❍ z ❸ ❳❩✳✴✵✶ ✛✰ (ø
自身不相交的闭合曲线)变化一周回到原处时,可能出现两种结果 闭合曲线内不包含a点 闭合曲线内含有a点 z沿闭合曲线变化一周回到原处,ag(2-a)也2变化一周回到原处,ang(2-a)增加2x 还原,因此对应的函数值不变 arg随之增加π,因而v值并不还原. 如下图中的C1 如下图中的C2 Z平面 W平面 Z平面 W平面 图24a 图24b 因此,a点在多值函数v=√z=a中具有特殊的地位: 当z绕a点转一圈回到原处时,对应的函数值不还原; ·而当z不绕a点转一圈回到原处时,函数值还原 点称为多值函数 的枝点 z=∞也是多值函数=√z=a的枝点 这样看来,为了完全确定多值函数u=√z-a的函数值与自变量z值之间的对应关系,我们 可以采用两种办法. 比较简单的办法是规定宗量z-a的辐角变化范围.当宗量z-a的辐角限制在某个周期内时, Ⅷ=√z-a的辐角也就唯一地确定了,因而v值也就唯一地确定.例如,规定0≤arg(z-a)<2π 或2π≤arg(z-a)<4π,等等
Wu Chong-shi §2.2 ❈ ❉ ✂ ✄ ☎ 26 ✆ ï ✷➂✩✸ ✱ ✵✶ ✛✰) ✬➤❳➆ ✹✸✺❙■❏✤✻ ➨û✑➜ ✕✼✴ ✵✶ ✛✰ ✽➂✾✿ a P z ❸ ✵✶ ✛✰ ✬➤❳➆ ✹✸✺❙❏arg(z −a) ❚ ❱✺❏ ➥➦⑤ ✪ ✱✕✖➄➂✬ ✴ ✵ ✠❀ ✰✱ C1 ✴ ❥ 2.4a ✵✶ ✛✰ ✽✿ ❂ a P z ✬➤❳➆ ✹✸✺❙❏ arg(z − a) ❁ ✉ 2π ❏ arg w ❂✓❁✉ π ❏ ➥ ✢ w ➄❃ ➂ ❱✺✴ ✵ ✠❀ ✰✱ C2 ❥ 2.4b ➥➦❏ a P ✭❢➄✕✖ w = √ z − a ✰❄❂❁❅✱✝❆➅ • ❍ z ❇ a P❈❳❉ ✹✸✺❙■❏⑤✪ ✱✕✖➄➂ ❱✺➩ • ✢❍ z ➂ ❇ a P❈❳❉ ✹✸✺❙■❏✕✖➄❱✺✴ a P❊ ✿❢➄✕✖ w = √ z − a ✱❋ P ✴ z = ∞ ❚ ★ ❢➄✕✖ w = √ z − a ✱❋ P ✴ ✹ ➓✦✗❏✿✂➧❑✛❩ ❢➄✕✖ w = √ z − a ✱✕✖➄✒ ï ✬ð z ➄✓●✱⑤✪❍■❏ ❏✢ ✤✥✡➊ ✑➜❑③✴ ▲▼◆❖ëP◗❘❙ì❚❯ z−a ë❱➉❲❳❨❩ ✴❍ ✜ð z−a ✱ ✙ ✙❬❭✭ ✭ ✇➆➇ ✽■❏ w = √ z − a ✱ ✙ ✙❚ô ➎ ❳ ✝ ✛❩ ✂❏ ➥ ✢ w ➄❚ô ➎ ❳ ✝ ✛❩ ✴ ❷ ✵❏✫❩ 0 ≤ arg(z − a) < 2π ❽ 2π ≤ arg(z − a) < 4π ❏ ss✴
例:设m=√z=I,规定0≤arg(z-1)<2丌,求u(2),u(1,u(0),u(-i) 解argw=aarg(z-1).因为0≤arg(z-1)<2丌,所 arg(z-1)2=2=0,(2)=1 arg(2-1)2= 3πi/8 arg(2 (0) arg(2-1) π,(-i) ·在辐角规定0≤arg(z-a)<2π下,v的辐角一定限制在0≤argv<π,即被限制在上半 平面 在这样的限制下,=√z=a值与自变量z值之间存在一一对应的关系 图25a 图25b ·如果规定2π≤arg(z-a)<4π,则π≤argu<2π,v将限制在下半平面 U值与自变量z值又有新的一一对应关系 ·在4≤arg(z-a)<6丌,6n≤arg(-a)<8π,…或者-2π≤arg(z-a)<0,-4≤arg(z-a)< 2,…的规定之下,还会重复出现这些结果 因此 ·只要适当规定宗量的辐角变化范围,就可以将多值函数单值化 ·辐角变化的各个周期,给出多值函数的各个单值分枝 ·每个单值分枝都是单值函数,整个多值函数就是它的各个单值分枝的总和 在上面的讨论中,多值函数v=√z-a有两个单值分枝,分别是的上半平面和下半平面 0≤arg(z-a)<2π给出单值分枝I:0≤argu<π, 2n≤arg(z-a)<4给出单值分枝Ⅱ:丌≤argu<2r 将多值函数划分为若干个(甚至无穷个)单值分枝,其实质就是限制z的变化方式.例如在上 面的例子中,就是限制z不得绕z=a点或∞点转圈.这种规定可以用几何方法形象化地表现出 来(见图2.5).在z平面上平行于实轴从z=a点向右作一割线,一直延续到∞点.如果规定在
Wu Chong-shi ❄❅❆ ✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 27 ✆ ❷ ➅❪ w = √ z − 1 ❏ ✫❩ 0 ≤ arg(z − 1) < 2π ❏❫ w(2), w(i), w(0), w(−i) ✴ ❴ arg w = 1 2 arg(z − 1) ✴ ➥ ✿ 0 ≤ arg(z − 1) < 2π ❏❀ ✥ arg(z − 1) z=2 = 0, w(2) = 1, arg(z − 1) z=i = 3 4 π, w(i) = √4 2e3π i/8 , arg(z − 1) z=0 = π, w(0) = eπ i/2 = i, arg(z − 1) z=−i = 5 4 π, w(−i) = √4 2e5π i/8 . • ✭ ✙ ✙ ✫❩ 0 ≤ arg(z − a) < 2π ✠ ❏ w ✱ ✙ ✙ ❳❩❬❭✭ 0 ≤ arg w < π ❏ø❵❬❭✭ ✔❛ ▲▼✴ ✭✹➓ ✱❬❭✠ ❏ w = √ z − a ➄✒ ï ✬ð z ➄✓●❜✭ ❳❳⑤ ✪ ✱ ❍■✴ ❥ 2.5a ❥ 2.5b • ✵ ✼✫❩ 2π ≤ arg(z − a) < 4π ❏④ π ≤ arg w < 2π ❏ w ✷❬❭✭ ✠❛▲▼✴ w ➄✒ ï ✬ð z ➄❝❂❞✱ ❳❳⑤ ✪❍■✴ • ✭ 4π ≤ arg(z −a) < 6π, 6π ≤ arg(z −a) < 8π, · · · ❽õ −2π ≤ arg(z −a) < 0, −4π ≤ arg(z −a) < −2π, · · · ✱ ✫❩ ✓ ✠ ❏❱❡❢✮➨û✹✺✕✼✴ ➥➦❏ • ❣❤✐❍ ✫❩✜ð ✱ ✙ ✙ ✬➤❥ ❦❏ ô✤✥✷❢➄✕✖✴ ➄ ➤ ✴ • ✙ ✙ ✬➤✱➛✇➆➇❏î➨❢➄✕✖✱➛✇✴ ➄❞❋✴ • ❧✇ ✴ ➄❞❋ ✣★✴ ➄✕✖❏♠✇❢➄✕✖ô★✜✱➛✇✴ ➄❞❋✱♥ ❵ ✴ ✭ ✔ ▼✱♦ ✖ ✰❏❢➄✕✖ w = √ z − a ❂✑✇ ✴ ➄❞❋❏❞❡★ w ✱ ✔❛▲▼❵✠❛▲▼➅ 0 ≤ arg(z − a) < 2π î➨✴ ➄❞❋ ♣➅ 0 ≤ arg w < π, 2π ≤ arg(z − a) < 4π î➨✴ ➄❞❋ q➅ π ≤ arg w < 2π. ✷❢➄✕✖r❞✿st✇ (✉✈⑨⑩✇) ✴ ➄❞❋❏ ❝✫ ❃ ô★ ❬❭ z ✱ ✬➤÷❤✴❷ ✵✭✔ ▼✱❷✇ ✰❏ô★ ❬❭ z ➂① ❇ z = a P❽ ∞ P❈❉✴✹➜✫❩✤✥➊② ✶÷③➒③ ➤ ✝úû➨ ✗ (✥❀ 2.5) ✴✭ z ▲▼✔ ▲④ t✫❺⑤ z = a P ⑥⑦✾ ❳⑧ ✰❏ ❳⑨⑩✲✸ ∞ P ✴✵✼✫❩ ✭
割线上岸arg(x-a)=0,就给出单值分枝I;如果规定在割线上岸arg(z-a)=2π,就给出单值 分枝Ⅱ.这两个单值分枝合起来,就得到一个完整的v平面,即整个多值函数v,割线的作用, 就是限制z的变化方式,由于割线连结了多值函数的两个枝点,z=a和∞,因此,z不再能够 绕一个分枝点转一圈了(这时,同时围绕两个分枝点转一圈还是允许的) 单值分枝的划分,或者说,宗量辐角变化范围的规定不是唯一的.例如,也可以规定 (z-a)<丌和 3x/2≤arg(z-a)<丌/2和/2≤arg(z-a)<5m/2 割线的作法多种多样,甚至不必是直线.只要割线连结了多值函数的分枝点,同时适当规定割线一 侧(例如上岸或下岸)的宗量辐角值(或者等价地,规定在某一点的宗量辐角值或函数值)即可 将多值函数划分为单值分枝,其优点是,每个单值分枝都是单值函数,因而可以像普通的单 值函数那样讨论它们的解析性.单值函数的分枝点是奇点,它不对应于哪一个单值分枝.在枝点 附近,也不存在一个只对应于一个单值分枝的邻域.这种划分的缺点是有一定的局限性.因为它 限制了宗量的辐角变化范围,就不能用来讨论一些比较复杂的问题 为了克服这个缺点,另一种完全确定函数值与自变量值对应关系的办法是:规定函数v在某 点ω0的值,并明确说明z的连续变化路线.当z沿这曲线连续变化时,函数u也随之连续变 化 令仍以函数m=√2-T为例规定m(2)=1,讨论2沿G或C2连续变化到原点时,函数m之 C1和C2是以z=1为圆心、1为半径的上半圆周和下半圆周 显然,当z沿C1移动到z=0时,△ag(2-1)=π,所 △argw arg(2 z沿C2移动到z=0时,△arg(z-1)=-丌,所以 T 采用这种办法,z的变化路线不受限制,因而就可以从一个单值分枝运动到另一个单值分枝 在几何图形上,这相当于将两个割开的2平面粘接起来,第一个面的割线下岸(arg(z-1)=27)和 第二个面的割线上岸(arg(z-1)=2m)相连,第一个面的割线上岸(arg(z-1)=0)和第二个面的 割线下岸(arg(z-1)=4丌)相连.这就构成了二叶 Riemann面(见图2.6).对于函数v 或 √z-a来说,二叶 Riemann面上的z点和v平面上的点是一一对应的
Wu Chong-shi §2.2 ❈ ❉ ✂ ✄ ☎ 28 ✆ ⑧ ✰ ✔❶ arg(z − a) = 0 ❏ ô î➨✴ ➄❞❋ ♣➩✵✼✫❩ ✭ ⑧ ✰ ✔❶ arg(z − a) = 2π ❏ ô î➨✴ ➄ ❞❋ q✴✹✑✇ ✴ ➄❞❋ ✶✤✗❏ ô① ✸ ❳ ✇➧♠✱ w ▲▼❏ø♠✇❢➄✕✖ w ✴ ⑧ ✰✱✾➊ ❏ ô★ ❬❭ z ✱ ✬➤÷❤✴❯t⑧ ✰✱✕ ✂❢➄✕✖✱✑✇❋ P ❏ z = a ❵ ∞ ❏ ➥➦❏ z ➂❷✻❸ ❇ ❳ ✇❞❋ P❈❳❉ ✂ (✹■❏➃ ■ ❦ ❇✑✇❞❋ P❈❳❉ ❱ ★❹❺✱) ✴ ✴ ➄❞❋✱r❞❏❽õö❏ ✜ð✙ ✙ ✬➤❥ ❦ ✱ ✫❩➂★ ➎ ❳ ✱✴❷ ✵❏❚✤✥✫❩ −π ≤ arg(z − a) < π ❵ π ≤ arg(z − a) < 3π, ❽ −3π/2 ≤ arg(z − a) < π/2 ❵ π/2 ≤ arg(z − a) < 5π/2. ⑧ ✰✱✾③❢➜❢➓ ❏✉✈➂❻★⑨ ✰✴❣❤⑧ ✰✱✕ ✂❢➄✕✖✱❞❋ P ❏ ➃ ■✐❍ ✫❩⑧ ✰ ❳ ❼ (❷ ✵ ✔❶❽✠❶) ✱ ✜ð✙ ✙➄ (❽õs❽ ✝❏ ✫❩ ✭ ✭❳P✱ ✜ð✙ ✙➄❽ ✕✖➄) ø ✤ ✴ ✷❢➄✕✖r❞✿✴ ➄❞❋❏ ❝❾P★❏❧✇ ✴ ➄❞❋ ✣★✴ ➄✕✖❏➥ ✢ ✤✥❿➀➠ ✱ ✴ ➄✕✖➁ ➓ ♦ ✖✜✢✱✻✼✽✴✴ ➄✕✖✱❞❋ P★❖P❏ ✜➂ ⑤ ✪t➂❳ ✇ ✴ ➄❞❋✴✭❋ P ➃➁❏❚➂ ❜✭ ❳ ✇❣⑤ ✪t❳✇ ✴ ➄❞❋✱➄✯✴✹➜r❞✱➅ P★❂ ❳❩✱➆❬✽✴➥ ✿ ✜ ❬❭✂✜ð ✱ ✙ ✙ ✬➤❥ ❦❏ ô➂✻➊ ✗♦✖❳ ✺ ➇➈✮➉✱➊➋✴ ✿✂➌➍✹✇➅ P ❏ ➎❳ ➜➧❑✛❩ ✕✖➄✒ ï ✬ð➄⑤✪❍■✱❑③ ★ ➅ ❙ì❋● w ➏➐ ➑➒ z0 ë➓❏➔→➣↔→ z ë↕➙❲❳➛➜ ✴❍ z ❸✹ ✛✰✱✲✬➤■❏✕✖ w ❚❂✓✱✲✬ ➤ ✴ ⑥ ✥ ✕✖ w = √ z − 1 ✿ ❷ ✴ ✫❩ w(2) = 1 ❏♦ ✖ z ❸ C1 ❽ C2 ✱✲✬➤✸✺ P ■❏✕✖ w ✓ ➄✴ C1 ❵ C2 ★✥ z = 1 ✿ ➝➞❻ 1 ✿ ❛➟✱ ✔❛ ➝➆ ❵✠❛ ➝➆✴ ➠ ⑦❏❍ z ❸ C1 ➡➢✸ z = 0 ■❏ ∆ arg(z − 1) = π ❏❀ ✥ ∆ arg w = 1 2 ∆ arg(z − 1) = π 2 , w(0) = eiπ/2 = i. ❍ z ❸ C2 ➡➢✸ z = 0 ■❏ ∆ arg(z − 1) = −π ❏❀✥ ∆ arg w = 1 2 ∆ arg(z − 1) = − π 2 , w(0) = e−iπ/2 = −i. ✡➊ ✹➜❑③❏z ✱ ✬➤➤ ✰ ➂➥ ❬❭❏ ➥ ✢ ô✤✥⑤❳ ✇ ✴ ➄❞❋①➢✸ ➎❳ ✇ ✴ ➄❞❋✴ ✭ ② ✶ ❀ ➒ ✔ ❏✹ ✩ ❍ t ✷✑✇ ⑧➦✱ z ▲▼➧➨✤ ✗❏ ➩❳ ✇▼✱⑧ ✰ ✠❶ (arg(z − 1) = 2π) ❵ ➩➫✇▼✱⑧ ✰ ✔❶ (arg(z − 1) = 2π) ✩ ✱❏ ➩❳ ✇▼✱⑧ ✰ ✔❶ (arg(z − 1) = 0) ❵➩➫✇▼✱ ⑧ ✰ ✠❶ (arg(z − 1) = 4π) ✩ ✱✴✹ ô➭✧ ✂ ➫➯ Riemann ▼ (✥❀ 2.6) ✴⑤ t ✕✖ w = √ z − 1 ❽ √ z − a ✗ ö ❏ ➫➯ Riemann ▼ ✔ ✱ z P❵ w ▲▼✔ ✱ P★❳❳⑤ ✪ ✱✴
+ 图26多值函数t=√2-a的 Riemann面 对于更复杂一些的根式函数,例如=√a-a或∨(2-a)(2-b),等等,也可以类似地讨 论.只是需要注意找出多值函数的全部枝点,并且正确地确定割线的作法在一般情况下,割线 可能不止一条,也不一定需要用一条割线把全部枝点都连接起来 2.对数函数Inz 对数函数u=lnz的定义是e=z,也就是说,给定自变量z的一个数值,凡是满足eu=z 的所有v值均称为对数函数u=1nz的函数值.它是指数函数v=e2的反函数.令u=u+it z=re°,就得到eu,e=re,所以 u=lnr=l|2,v=6+2n(m=0,±1,±2,…) 以后我们就把对数函数v=lnz明确表示为 w=In z=In z +i(0+ 2n7)=In z +iarg z 图27多值函数u=lnz u=lnz:给定一个z值,有无穷多个u值 因此,对数函数砌=lnz也是多值的,其多值性的来源是宗量z辐角的多值性,多值性的表 现则是函数值v的虚部.对应每一个z值,有无穷多个u值,它们的实部相同,虚部相差2π的 整数倍.图2.7给出了对数函数u=lnz的示意图
Wu Chong-shi ❄❅❆ ✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 29 ✆ ❥ 2.6 ➲➳♠❧ w = √ z − a ➵ Riemann ➸ ⑤ t ✄✮➉ ❳ ✺✱➔ ❤✕✖❏❷ ✵ w = √3 z − a ❽ p3 (z − a)(z − b) ❏ ss❏❚✤✥➺➻✝♦ ✖ ✴❣ ★➼ ❤➽➾➚➨❢➄✕✖✱❑➪❋P ❏❃◆❹✛ ✝ ✛❩⑧ ✰✱✾③✴✭❳➶➹➘✠❏ ⑧ ✰ ✤✻➂➴❳➷ ❏❚➂❳❩➼ ❤ ➊❳➷⑧✰ ✧ ❑➪❋P✣✱➨✤ ✗✴ 2. ➬●❋● ln z ⑤✖✕✖ w = ln z ✱ ❩❬★ e w = z ❏❚ô★ö❏î❩ ï ✬ð z ✱ ❳ ✇✖➄❏ñ★òó e w = z ✱❀❂ w ➄➮ ❊ ✿⑤✖✕✖ w = ln z ✱✕✖➄✴✜★✗✖✕✖ w = ez ✱ù✕✖✴➱ w = u + iv ❏ z = re iθ ❏ ô① ✸ e u · e iv = re iθ ✴❀✥ u = ln r = ln |z|, v = θ + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, · · ·). ✥✦❏✢ô✧ ⑤✖✕✖ w = ln z ➙ ✛ ú★✿ w = ln z = ln |z| + i(θ + 2nπ) = ln |z| + i arg z. ❥ 2.7 ➲➳♠❧ w = ln z w = ln z ✃❐❒❮❰ z ➳ÏÐÑÒ➲❰ w ➳ ➥➦❏⑤✖✕✖ w = ln z ❚ ★ ❢➄✱❏❝ ❢➄✽✱✗✘★✜ð z ✙ ✙✱❢➄✽❏❢➄✽✱ú û④★ ✕✖➄ w ✱ ❾ ➪✴⑤✪ ❧ ❳ ✇ z ➄❏❂⑨⑩❢✇ w ➄❏✜✢✱ ✫ ➪ ✩➃ ❏ ❾ ➪ ✩Ó 2π ✱ ♠✖Ô✴ ❀ 2.7 î➨✂⑤✖✕✖ w = ln z ✱★➾❀ ✴