第十九讲球函数(-) 将 Helmholtz方程在球坐标糸下分离变量,可得到连带 Legendre方程 sin e de( sing +入 日=0 以及它的特殊情形, Legendre方程 1 d d sIn d)+A6 作变换x=cos6,y(x)=6(),则又可将它们改写成 (1-x2) 孟…-出]+y= 本章讨论这两个方程的解,它们的主要性质及其在分离变量法中的应用
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ Helmholtz ✠✡☛☞✌✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙✚ Legendre ✠✡ 1 sin θ d dθ sin θ dΘ dθ + λ − µ sin2 θ Θ = 0 ✛✜✢✣✤✥✦✧✕ Legendre ✠✡ 1 sin θ d dθ sin θ dΘ dθ + λΘ = 0, ★ ✓✩ x = cos θ, y(x) = Θ(θ) ✕✪✫✖✟✢✬✭ ✮✯ d dx 1 − x 2 dy dx + λ − µ 1 − x 2 y = 0 ✰ d dx 1 − x 2 dy dx + λy = 0. ✱✲✳✴✵✶✷✠✡✣✸✕✢✬✣✹✺✻✼✜✽☛✑ ✒✓✔✾ ✿✣❀❁❂
§19.1 Legendre方程的解 319.1 Legendre方程的解 在求出 Legendre方程的解的具体形式之前,根据常微分方程的解析理论(见第六讲) 事先就可以对 Legendre方程的解的解析性作出判断 ★ Legendre方程(这里的z是复变量!) dz +Au=0. 有三个奇点,z=±1和z=∞,并且都是正则奇点,因此,除了这三个点可能是奇点外, Legendre 方程的解在全平面解析 ★2=0点是 Legendre方程的常点,因此,方程的解在以多=0点为圆心的单位圆|<1内解 析,可以展开为 Taylor级数.第六讲中已经求出了两个线性无关的特解,它们是 TIn+ n+1+ ! 2 其中 把这两个特解作解析延拓,可以得到 Legendre方程的解在其他区域内的表达式,但是,无论如何, 在级数解收敛圆的圆周上,确切说,在z=±1这两点,方程的级数解总一定不解析,这从上面写 出的解的具体形式可以看出 对于m2(2),当n足够大时,其系数 2 rin+ +1 之n-(+1/2-n+v2(m+<+1)n+P (u+1)/2√2π (2n+1)2n+1/2e-(2n+√2r 2 =常数
Wu Chong-shi §19.1 Legendre ❃❄❅❆ ❇ 2 ❈ §19.1 Legendre ❉❊❋● ☛❍ ■ Legendre ✠✡✣✸✣❏❑✧▲▼◆✕ ❖P◗❘✑✠✡✣✸❙❚✴ (❯ ❱❲❳) ✕ ❨❩❬✖ ✛❭ Legendre ✠✡✣✸✣✸❙✻★ ■❪❫❂ F Legendre ❴❵ (❛❜❝ z ❞❡❢❣ ❤) d dz 1 − z 2 dw dz + λw = 0. ✐❥❦❧♠✕z = ±1 ♥ z = ∞ ✕ ♦♣q❞rs❧♠❂t✉✕ ✈✇❛ ❥❦♠①②❞ ❧♠③✕Legendre ❴❵❝④⑤⑥⑦⑧④⑨❂ F z = 0 ♠ ❞ Legendre ❴❵❝⑩♠ ✕ t✉✕❴❵❝④⑤❶ z = 0 ♠❷ ❸❹❝❺❻ ❸ |z| < 1 ❼④ ⑨✕① ❶❽❾❷ Taylor ❿➀❂➁➂➃ ➄➅➆➇➈✇➉❦➊➋➌➍❝➎④✕➏➐❞ w1(z) = X∞ n=0 2 2n (2n)! Γ n − ν 2 Γ n + ν + 1 2 Γ − ν 2 Γ ν + 1 2 z 2n , w2(z) = X∞ n=0 2 2n (2n + 1)! Γ n − ν − 1 2 Γ n + 1 + ν 2 Γ − ν − 1 2 Γ 1 + ν 2 z 2n+1 , ➑ ➄ ν(ν + 1) = λ. ➒ ❛ ➉❦➎④➓④⑨➔→✕① ❶➣↔ Legendre ❴❵❝④⑤➑↕➙➛ ❼❝➜➝➞❂➟ ❞✕➌➠➡➢✕ ⑤❿➀④➤➥ ❸ ❝ ❸➦➧✕ ➨➩➫✕⑤ z = ±1 ❛ ➉♠✕❴❵❝❿➀④➭➯➲➳④⑨❂ ❛➵➧ ⑧➸ ➈ ❝④❝➺➻➼➞① ❶➽➈❂ ➾➚ w1(z) ✕➪ n ➶➹➘➴✕➑➷➀ c2n = 2 2n (2n)! Γ n − ν 2 Γ n + ν + 1 2 Γ − ν 2 Γ ν + 1 2 ∼ 2 2n (2n + 1)2n+1/2e−(2n+1)√ 2π n − ν 2 n−(ν+1)/2 e −n+ν/2 √ 2π Γ − ν 2 n + ν + 1 2 n+ν/2 e −n−(ν+1)/2 √ 2π Γ ν + 1 2 =⑩➀ × 1 n
第十九讲球函数 第3页 这说明,除了一个常数倍外,u1(2)在z=±1附近的行为,和 完全相同.因此,1(2)在z=±1对数发散,z=±1是u1(2)的枝点,如果把 Legendre方程在 0的第一解1(z)解析延拓到全平面上,它一定是一个多值函数 对于m2(2),当n足够大时,也有 r(n+1+ C2n+1 (2n+1) (2n+2)2n+3/2e-(2n+2)√2m D-1)n-u/2 e-n+(-/(n+1+ n+(v+1)/2 -1-n/2y2r 常数 所以,除了一个常数倍外,m2(2)在z=±1附近的行为,和 完全相同.因此,m2(2)在z=±1也对数发散.2=士1也是v2(2)的枝点,把 Legendre方程在 z=0的第二解2(z)解析延拓到全平面上,它也是一个多值函数 ★还可以在z=1(或z=-1)点的邻域内求解 Legendre方程 由于z=±1是方程的正则奇点,方程在环域0<|z-11<2内有两个正则解,故可设 m(2)=(2-1)∑cn(z-1) 代入 Legendre方程,就可以得到在z=1点的指标方程 所以,p1=P2=0,这说明 Legendre方程在z=1点邻域内的第一解实际上是在圆域|z-1<2 内解析的,而第二解则一定含有对数项,以z=1(和z=-1)为枝点 按照常微分方程级数解法的标准步骤,可以求出 Legendre方程在z=1点邻域内的第一解 P(2) =(n!)2r(-n+1)(2
Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 3 ❈ ❛ ➫ Ï✕ ✈✇➯ ❦ ⑩➀Ð③ ✕ w1(z) ⑤ z = ±1 ÑÒ❝Ó❷ ✕♥ ln 1 1 − z 2 = X∞ n=1 1 n z 2n Ô ⑥ÕÖ❂t✉✕ w1(z) ⑤ z = ±1 ➾ ➀×Ø❂ z = ±1 ❞ w1(z) ❝Ù♠❂➡Ú➒ Legendre ❴❵⑤ z = 0 ❝➁ ➯④ w1(z) ④⑨➔→↔⑥⑦⑧➧ ✕➏➯➲❞➯❦ÛÜÝ➀❂ ➾➚ w2(z) ✕➪ n ➶➹➘➴✕Þ✐ c2n+1 = 2 2n (2n + 1)! Γ n − ν − 1 2 Γ n + 1 + ν 2 Γ − ν − 1 2 Γ 1 + ν 2 ∼ 2 2n (2n + 2)2n+3/2e−(2n+2)√ 2π × n − ν − 1 2 n−ν/2 e −n+(ν−1)/2 √ 2π Γ − ν − 1 2 n + 1 + ν 2 n+(ν+1)/2 e −n−1−ν/2 √ 2π Γ 1 + ν 2 =⑩➀ × 1 2n + 1 . ß ❶✕✈✇➯ ❦ ⑩➀Ð③ ✕ w2(z) ⑤ z = ±1 ÑÒ❝Ó❷ ✕♥ ln 1 + z 1 − z = X∞ n=1 2 2n + 1 z 2n+1 Ô ⑥ÕÖ❂t✉✕ w2(z) ⑤ z = ±1 Þ ➾ ➀×Ø❂ z = ±1 Þ❞ w2(z) ❝Ù♠❂➒ Legendre ❴❵⑤ z = 0 ❝➁à④ w2(z) ④⑨➔→↔⑥⑦⑧➧ ✕➏Þ❞➯❦ÛÜÝ➀❂ F á ① ❶⑤ z = 1(â z = −1) ♠ ❝ã➛ ❼➇ ④ Legendre ❴❵❂ ä➚ z = ±1 ❞❴❵❝rs❧♠✕❴❵⑤å➛ 0 < |z − 1| < 2 ❼ ✐➉❦rs④✕æ①ç w(z) = (z − 1)ρ X∞ n=0 cn(z − 1)n , èé Legendre ❴❵✕ê① ❶➣↔⑤ z = 1 ♠ ❝ëì❴❵ ρ(ρ − 1) + ρ = 0. ß ❶✕ ρ1 = ρ2 = 0 ❂ ❛ ➫ Ï Legendre ❴❵⑤ z = 1 ♠ ã ➛ ❼❝➁ ➯④íî➧ ❞⑤ ❸➛ |z − 1| < 2 ❼④⑨❝✕ï➁à④s➯➲ð✐➾➀ñ✕❶ z = 1(♥ z = −1) ❷ Ù ♠❂ òó⑩ôõ❴❵❿➀④ö❝ì÷øù✕① ❶➇➈ Legendre ❴❵⑤ z = 1 ♠ ã ➛ ❼❝➁ ➯④ Pν(z) = X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) z − 1 2 n
§19.1 Legendre方程的解 第4页 称为v次第一类 Legendre函数;第二解可取为 Q(2=2.(2)/h+1 一1-27-2(+1 r(u+n+1) 1+-+…+ z(m!)r(u-n+1) 称为v次第二类 Legendre函数,其中?是 Euler数,ψ(z)是r函数的对数微商 由于函数P(2)(延拓到全平面后,它是 1和z=∞为枝点的多值函数)和Q(2) 的多值性已有约定性的规定,使用时需要特别注意
Wu Chong-shi §19.1 Legendre ❃❄❅❆ ❇ 4 ❈ ú❷ ν û➁ ➯ü Legendre Ý ➀ý➁à④ ①þ❷ Qν(z) = 1 2 Pν(z) ln z + 1 z − 1 − 2γ − 2ψ(ν + 1) + X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) 1 + 1 2 + · · · + 1 n z − 1 2 n , ú❷ ν û➁àü Legendre Ý ➀✕➑ ➄ γ ❞ Euler ➀✕ ψ(z) ❞ Γ Ý ➀❝➾ ➀ôÿ❂ ✁✂✄ Pν(z)(☎✆✘✝✞ ✟✠ ✕✢✡ ✛ z = −1 ✰ z = ∞ ☛☞✌✣ ✍✎✂✄) ✰ Qν(z) ✣ ✍✎✻ ✏✑ ✒✓✻✣✔✓ ✕✕❁✖✗✺✤✘✙✚❂
第十九讲球函数 第5页 819.2 Legendre多项式 球形区域内x2+y2+2<a2的 Laplace方程边值问题 0. us=f(2), 其中∑代表球面x2+y2+2=a2上的变点 考虑到现在所讨论的空间区域的具体形状,自然会采用球坐标系来求解这个定解问题,而且 会把坐标原点放置在球心,如果边界条件具有绕某一个(通过球心的)固定轴旋转不变的对称性, 那么,当然也就应当把这个对称轴的方向取为极轴的方向 这样选择了坐标系后,所要求的未知函数u当然就与φ无关, u=u(r,6) 容易写出定解问题在球坐标系下的具体形式,但是,需要注意: ★ Laplace方程在6=0和=丌方向上不成立,在这些点上充其量只存在u(r,)对θ的单侧导 数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,必须补充上u(r,θ)在θ=0 和θ=丌方向上的有界条件 ★ Laplace方程在坐标原点r=0也不成立,在该点充其量只存在u(,0)对r的单侧导数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,还必须补充上u(r)在坐标 原点r=0处的有界条件, 定解问题在球坐标系下的完整表达形式应该是 10 1 a in 0 0e 有界 =有界 l=0有界 u a=f(e) 分离变量.令 a(r,6)=R(r)() 代入方程和有界条件,就能够分离变量而得到 1 d de(6) sin e sin e de +A(6)=0 和(Rn)-MR()=0 6(0)有界 6(m)有界 其中λ是分离变量时引进的待定参数 Legendre方程,配上有界条件,构成本征值问题,通常作变换x=cos6,y(x)=(0),并且把
Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 5 ❈ §19.2 Legendre ✛✜✢ ✣ ➼ ➙➛ ❼ x 2 + y 2 + z 2 < a2 ❝ Laplace ❴❵✤ Ü✥✦ ∇2u = 0, u Σ = f(Σ), ➑ ➄ Σ è ➜ ✣ ⑧ x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ➧ ❝❢♠❂ ✧★↔✩⑤ ß✪➠ ❝✫✬➙➛❝➺➻➼✭✕✮ ✯✰✱✲ ✳✴✵✶ ✷➇ ④❛❦ ➲④✥✦✕ï ♣ ✰➒ ✴✵✸✹ ✺✻⑤ ✣❹❂➡Ú✤✼✽✾➺ ✐✿❀➯ ❦ (❁❂✣❹ ❝) ❃➲❄❅❆➳❢❝➾ú➋✕ ❇❈✕➪✯ Þê❉➪ ➒ ❛ ❦➾ú❄❝❴ ❊ þ❷ ❋● ❝❴ ❊❂ ❛❍■❏✇❑ ì ➷▲ ✕ ß▼➇ ❝◆❖Ý ➀ u ➪ ✯ êP φ ➌➍✕ u = u(r, θ). ◗❘➸➈ ➲④✥✦⑤ ✣❑ ì ➷❙ ❝➺➻➼➞❂➟ ❞✕❚ ▼❯❱❲ F Laplace ❴❵⑤ θ = 0 ♥ θ = π ❴ ❊ ➧ ➳❳❨✕⑤❛❩ ♠➧❬➑ ❣❭❪⑤ u(r, θ) ➾ θ ❝❺❫❴ ➀❂ ➒ Laplace ❴❵❵➸↔✣❑ ì ➷ ➴✕❷✇❛❜➲④✥✦❝❝❞➋ ✕❡❢❣❬➧ u(r, θ) ⑤ θ = 0 ♥ θ = π ❴ ❊ ➧ ❝ ✐ ✼✽✾❂ F Laplace ❴❵⑤❑ ì❤ ♠ r = 0 Þ➳❳❨✕⑤✐ ♠❬➑ ❣❭❪⑤ u(r, θ) ➾ r ❝❺❫❴➀❂ ➒ Laplace ❴❵❵➸↔✣❑ ì ➷ ➴✕❷✇❛❜➲④✥✦❝❝❞➋ ✕á❡❢❣❬➧ u(r, θ) ⑤ ❑ ì ❤ ♠ r = 0 ❥❝ ✐ ✼✽✾❂ ➲④✥✦⑤ ✣❑ ì ➷❙ ❝ Ô❦ ➜➝➼➞❉✐❞ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ = 0, u θ=0 ✐ ✼✕ u θ=π ✐ ✼✕ u r=0 ✐ ✼✕ u r=a = f(θ). õ❧❢❣❂♠ u(r, θ) = R(r)Θ(θ), èé❴❵♥✐ ✼✽✾✕ê② ➹õ❧❢❣ï➣↔ 1 sin θ d dθ sin θ dΘ(θ) dθ + λΘ(θ) = 0 Θ(0) ✐ ✼ Θ(π) ✐ ✼ ♥ d dr r 2 dR(r) dr − λR(r) = 0, ➑ ➄ λ ❞õ❧❢❣➴♥♦❝♣➲q➀❂ Legendre ❴❵✕r➧✐✼✽✾✕ s ❳t✉Ü✥✦❂ ❁⑩➓❢✈ x = cos θ, y(x) = Θ(θ) ✕ ♦♣➒
§19.2 Legendre多项式 第6页 待定参数入写成v(u+1),本征值问题就变为 dz|+(u+1)y=0 y(±1)有界 求本征值和本征函 ★可以从 Legendre方程在x=0点邻域内两个线性无关解出发来求解 上一节已经给出了这两个线性无关解的形式,还论证了对于一般的(或)值,这两个解在 x=±1都是对数发散的 为了使得方程的解在r=±1均有界,就要求λ(或υ)取某些特殊值 ★从 Legendre方程在x=1点邻域内的两个线性无关解P()和Qn(x)出发来讨论 Pv(a) 1r(u+n+1)/x- P(x)在x=1点是解析的,当然也就是有界的 x+1 Qv(r)=Pv(r)In -2y-2(+1) 1) 1) Q,(x)在x=1点是对数发散的 把 Legendre方程的通解写成 y(a)=cPv(r)+c2Q,(a) 由于要求解在x=1有界,必须有c2=0,而且不妨取c1=1 要求解在x=-1点也有界,就可以定出本征值A=v(v+1),从而求出相应的本征函数 在x=-1点,P(x)的数值为 P(-1) )r(u+n+1) T(n+v+ir(n-v (m2r(-n+1) 1)2 由 Stirling公式可以估计得 r(n+v+1)r(n-n)(n+u+1)n++1/2en--1(n-)--1/2en+1 (n+1)n+1/2e-n-1(n+1)m+1/2e-n-1 所以
Wu Chong-shi §19.2 Legendre ✇①② ❇ 6 ❈ ♣➲q➀ λ ➸❳ ν(ν + 1) ✕t✉Ü✥✦ê❢❷ d dx 1 − x 2 dy dx + ν(ν + 1)y = 0, y(±1) ✐ ✼. ③④⑤⑥⑦④⑤⑧⑨ F ⑩❶❷ Legendre ❸❹❺ x = 0 ✹❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄➅➆➇③➄❂ ➧ ➯➈ ➅➆➉➈✇ ❛ ➉❦➊➋➌➍④❝➼➞✕á➠➊✇➾➚➯➋❝ λ(â ν) Ü ✕❛➉❦④⑤ x = ±1 q ❞ ➾ ➀×Ø❝❂ ❷✇➌ ➣❴❵❝④⑤ x = ±1 ➍ ✐ ✼✕ê▼➇ λ(â ν) þ❀ ❩➎➎ Ü❂ F ➵ Legendre ❴❵⑤ x = 1 ♠ ã ➛ ❼❝➉❦➊➋➌➍④ Pν(x) ♥ Qν(x) ➈ × ✷✪➠❂ Pν(x) = X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) x − 1 2 n , Pν(x) ⑤ x = 1 ♠ ❞④⑨❝✕➪✯ Þê❞✐ ✼❝ý Qν(x) = 1 2 Pν(x) ln x + 1 x − 1 − 2γ − 2ψ(ν + 1) + X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) 1 + 1 2 + · · · + 1 n x − 1 2 n , Qν(x) ⑤ x = 1 ♠ ❞ ➾ ➀×Ø❝❂ ➒ Legendre ❴❵❝❁④➸❳ y(x) = c1Pν(x) + c2Qν(x), ä➚▼➇ ④⑤ x = 1 ✐ ✼✕❡❢✐ c2 = 0 ✕ï♣ ➳➏ þ c1 = 1 ❂ ▼➇ ④⑤ x = −1 ♠ Þ ✐ ✼✕ê① ❶➲➈ t✉Ü λ = ν(ν + 1) ✕➵ï➇➈Õ❉❝t✉Ý ➀❂ ⑤ x = −1 ♠ ✕ Pν(x) ❝➀Ü❷ Pν(−1) = X∞ n=0 (−) n (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) = − sin νπ π X∞ n=0 Γ (n + ν + 1) Γ (n − ν) (n!)2 . ä Stirling ➐➞ ① ❶➑➒➣ Γ (n + ν + 1) Γ (n − ν) (n!)2 ∼ (n + ν + 1)n+ν+1/2 e −n−ν−1 (n − ν) n−ν−1/2 e −n+ν (n + 1)n+1/2e−n−1(n + 1)n+1/2e−n−1 ∼ 1 n ß ❶
第十九讲球函数 第7页 ★对于一般的v值,P(x)在x=-1点发散 ★只要P(x)是无穷级数,它就不可能在x=-1点有界 ★要使得本征值问题有(非零)解,必须要求Pυ(x)不是无穷级数,即截断为多项式 从P(x)的具体形式看,这只能发生在v为非负整数时,所以,本征值问题的解就是 本征值 l(l+1),l=0,1,2,3 本征函数 y(=)=PI(a) 1(x)是一个l次多项式,称为l次 Legendre多项式 n!)2(l-n)! 容易得到 Legendre多项式在x=1点的数值: Legendre多项式是作为本征值问題的解出现的,是作为 Legendre方程在有界条件下的 本征函数出现的 列出最低的几个 Legendre多项式的表达式 (x)=1 P1(r)=a, P2()=2(32-1 3(x)11(5x3- P4(x)=÷( 它们的图形见图19.1
Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 7 ❈ F ➾➚➯➋❝ ν Ü ✕ Pν(x) ⑤ x = −1 ♠ ×Ø❂ F ❭ ▼ Pν(x) ❞ ➌➓ ❿➀✕➏ê➳①②⑤ x = −1 ♠✐✼ý F ▼➌ ➣t✉Ü✥✦✐ (➔→) ④✕❡❢▼➇ Pν(x) ➳❞➌➓ ❿➀✕➣↔↕❷Ûñ➞❂ ➵ Pν(x) ❝➺➻➼➞➽✕❛❭ ② ×➙⑤ ν ❷ ➔➛❦ ➀➴❂ß ❶✕t✉Ü✥✦❝④ê❞ t✉Ü λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, · · · , t✉Ý ➀ yl(x) = Pl(x). Pl(x) ❞➯❦ l û Û ñ➞✕ú❷ l û Legendre Û ñ➞✕ Pl(x) = X l n=0 1 (n!)2 (l + n)! (l − n)! x − 1 2 n . ◗❘➣↔ Legendre Û ñ➞⑤ x = 1 ♠ ❝➀Ü❲ Pl(1) = 1. Legendre ✍➜▲✡★ ☛ ✱➝✎ ➞➟✣✸ ■➠✣ ✕✡★ ☛ Legendre ✠✡☛✑➡➢➤✏✣ ✱➝✂✄ ■➠✣❂ ➥➈➦➧❝➨ ❦ Legendre Û ñ➞❝➜➝➞❲ P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 3x 2 − 1 , P3(x) = 1 2 5x 3 − 3x , P4(x) = 1 8 35x 4 − 30x 2 + 3 . ➏➐❝➩➼➫➩ 19.1 ❂
§19.2 Legendre多项式 第8页 P4(x) P6() 1 O a P3() Ps(a) 1 ac O 图
Wu Chong-shi §19.2 Legendre ✇①② ❇ 8 ❈ ➭ 19.1 Legendre ✇①②
第十九讲球函数 第9页 3193 Legendre多项式的微分表示 Legendre多项式的微分表示是 PI(a) 27 drl (x2-1) 这个表达式也称为 rodrigues公式 证因为 (x2-1)2=(x-1y2+(x-1)y 所以 2-(x-1y+=∑ (l+n) 2 l drl x2n!(l-n)! m!(-m) 这样就证明了 Legendre多项式的微分表示,口 从 Legendre多项式的微分表示,立即可以看出 Legendre多项式的奇偶性:l为偶数时Pl(x) 是偶函数;1为奇数时P(x)是奇函数,即 (-x)=(-)P( 再结合P(x)在x=1点的数值,又可以得到P(x)在x=-1点的数值, 从 Legendre多项式的微分表示还可以直接求出 Legendre多项式中所有各项的系数,从而导出 Legendre多项式的另一个显明表达式,为此,可将(x2-1)2展开 l! r!(l-r)! 然后逐项微商l次 r=0 r!(L-r) r!(-r)! 由于微商l次后,多项式的次数要降低l次,所以这里和式的上限就由微商前的l变为微商后的 /2].对比一下 Legendre多项式的微分表示,就得到 P2()=(-ym-2- 从这个表达式很容易求出 Legendre多项式P(x)在x=0点的数值: P2()=(-)Qy P2+1(0)=0
Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 9 ❈ §19.3 Legendre ✛✜✢❋➯➲➳➵ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸❞ Pl(x) = 1 2 l l! d l dxl x 2 − 1 l . ❛ ❦ ➜➝➞Þú❷ Rodrigues ➐➞❂ ➺ t❷ x 2 − 1 l = (x − 1)l [2 + (x − 1)]l = X l n=0 l! n! (l − n)!2 l−n (x − 1)l+n , ß ❶ 1 2 l l! d l dx l x 2 − 1 l = d l dx l X l n=0 1 n! (l − n)!2 −n (x − 1)l+n = X l n=0 1 n! (l − n)! (l + n)! n! x − 1 2 n . ❛❍ê ➊ Ï✇ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸❂ ➵ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸✕❨➣① ❶➽➈ Legendre Û ñ➞❝❧➻➋❲ l ❷➻ ➀➴ Pl(x) ❞ ➻Ý ➀ý l ❷❧➀➴ Pl(x) ❞ ❧Ý➀✕➣ Pl(−x) = (−) lPl(x). ➼➽➾ Pl(x) ⑤ x = 1 ♠ ❝➀Ü ✕➚ ① ❶➣↔ Pl(x) ⑤ x = −1 ♠ ❝➀Ü ✕ Pl(−1) = (−1)l . ➵ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸á ① ❶➪➶➇➈ Legendre Û ñ➞ ➄ß✐➹ ñ❝➷ ➀✕➵ï❴➈ Legendre Û ñ➞❝➘➯ ❦➴ Ï ➜➝➞❂❷✉ ✕ ①➷ x 2 − 1 l ❽❾✕ x 2 − 1 l = X l r=0 (−) r l! r! (l − r)!x 2l−2r , ✯▲➬ñôÿ l û✕ d l dx l x 2 − 1 l = d l dx l X l r=0 (−) r l! r! (l − r)!x 2l−2r = [ X l/2] r=0 (−) r l! r! (l − r)! (2l − 2r)! (l − 2r)! x l−2r , ä➚ôÿ l û ▲ ✕ Û ñ➞❝û➀▼➮➧ l û✕ß ❶❛❜♥➞❝➧➱ ê ä ôÿ✃❝ l ❢ ❷ ôÿ▲ ❝ [l/2] ❂➾ ❐ ➯ ❙ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸✕ê➣↔ Pl(x) = [ X l/2] r=0 (−) r (2l − 2r)! 2 l r! (l − r)! (l − 2r)!x l−2r . ➵❛❦ ➜➝➞❒ ◗❘➇➈ Legendre Û ñ➞ Pl(x) ⑤ x = 0 ♠ ❝➀Ü❲ P2l(0) = (−) l (2l)! 2 2l l! l! , P2l+1(0) = 0.
§19.4 Legendre多项式的正交完备性 第10页 319.4 Legendre多项式的正交完备性 Legendre多项式是作为本征值问题的本征函数出现的,因此,从本征值问题出发,可 以证明 Legendre多项式的正交性,即不同次数的 Legendre多项式在区间[-1,1上正 父 P1(x)Pk(x)dx=0,k≠ 可以从方程出发来证明 现在用另一种方法证明这个结果 先计算积分 z"PI(a)dr 其中k和l都是非负整数 ★对于这个积分,从被积函数的奇偶性可以判断 xP2(x)dx=0,当k±l=奇数 ★当k±l为偶数时,可将P(x)用它的微分表示代入,于是有 z"P(a)dx 21l! r(z2-1)'dr I drk d-1 2az-= dr dzl-1 d (x2-1)中一定含有因子(x2-1),所以在代入上下很x=士1后,分部积 分出来的项一定为0,于是就有 xP厘亚小(2-1)ax dr dxl-l 这样,分部积分一次,其效果就表现在三方面 (1)改变一次正负号 (2)对函数(x2-1)的微离减少一 (3)对函数x的微商增加一次 这样,分部积分l次后,微商运算就全部转移到函数xk上,结果就变为 rP(a)dr 21l 这时有两种可能,是k<l,函数xk微商l次定为0,于是 xP2(x)dx=0,当k<l
Wu Chong-shi §19.4 Legendre ✇①②❅❮❰ÏÐÑ ❇ 10 ❈ §19.4 Legendre ✛✜✢❋ÒÓÔÕÖ Legendre ✍➜▲✡★ ☛ ✱➝✎ ➞➟✣✱➝✂✄ ■➠✣ ✕×Ø✕Ù ✱➝✎ ➞➟ ■Ú✕✖ ✛Û Ü Legendre ✍➜▲✣ÝÞ✻ ✕ß àáâ⑨ã Legendre äåæ❺çè [−1, 1] éê ë ✕ Z 1 −1 Pl(x)Pk(x)dx = 0, k 6= l. ① ❶➵❴❵➈ × ✷➊ Ï❂ ✩⑤ ✲ ➘➯ì❴ö➊ Ï ❛ ❦➽Ú❂ í ➒îïõ Z 1 −1 x kPl(x)dx, ➑ ➄ k ♥ l q ❞➔➛❦ ➀❂ F ➾➚❛ ❦ ïõ✕➵ðïÝ ➀❝❧➻➋①❶ñ↕ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 0, ➪ k ± l = ❧ ➀. F ➪ k ± l ❷➻ ➀➴✕①➷ Pl(x) ✲ ➏❝ôõ➜➸ èé✕ ➚ ❞ ✐ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 1 2 l l! Z 1 −1 x k d l dx l x 2 − 1 l dx = 1 2 l l! x k d l−1 dx l−1 x 2 − 1 l 1 −1 − Z 1 −1 dx k dx d l−1 dx l−1 x 2 − 1 l dx . ✁ d l−1 dx l−1 x 2 − 1 l ✿ò ✓ó✑ ×ô x 2 − 1 ✕õ ✛ ☛ö÷ø✏ù x = ±1 ✠ ✕✑úû ✑ ■ü✣➜ ò ✓ ☛ 0 ✕✁✡❬✑ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 1 2 l l! Z 1 −1 (−) 1 dx k dx d l−1 dx l−1 x 2 − 1 l dx. ❛❍✕õýïõ➯û✕➑þÚ ê➜✩⑤ ❥ ❴⑧❲ (1) ✭ ✓òÿÝ ✁ý (2) ❭✂✄ x 2 − 1 l ✣❘✂✄ ☎òÿý (3) ❭✂✄ x k ✣❘✂✆✝òÿ❂ ❛❍✕õýïõ l û ▲ ✕ôÿ✞îê⑥ý❆✟↔ Ý ➀ x k ➧✠➽✡☛☞✌ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 1 2 l l! Z 1 −1 (−) l d lx k dx l x 2 − 1 l dx. ✍✎✏✑✒✓✔✠✕✖ k < l ✠✗✘ x k ✙✚ l ✛ ✕✜✌ 0 ✠✢✖ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 0, ✣k < l