002-2003学年第一学期概率论与数理统计(A)期末考试试卷答案 此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙 五.(本题满分10分) 射手进行射击,击中目标的概率为P(0<p<1),射击直至击中2次目标时为止,令X表示首次 击中目标所需要的射击次数,Y表示总共所需要的射击次数 )求二维随机变量(X,Y)的联合分布律 (2)求随机变量Y的边缘分布律 (3)求在Y=n时,X的条件分布律.并解释此分布律的意义 解 (1)随机变量Y的取值为2,3,4,…;而随机变量X的取值为1,2,…,n-1,并且 P(X=mY=n)=P{第一次命中目标在第m次,第二次命中目标在第m次} =qp·qp=q"P, (其中q=1-p) 1,2, (2)P(Y=n)=∑P(x=m,Y=n)=∑q"p2=(n-1k"p (n=2,3,4,…) 即随机变量Y的边缘分布律为P(Y=n)=(n-1)q=2p2(n=2,3,4,…) (3)由于P(X=mY=n)P(X=m,Y=n)=9 (n-1k2p2n-1 因此在Y=n时,X的条件分布律为 P(r=my=n) 这表明,在Y=n的条件下,X的条件分布是一个“均匀”分布.它等可能地取值1,2 六.(本题满分10分) 食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而一只蛋糕的价格是一个随机变量,它 元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、02、0.5.某天该食品店出售了300只蛋糕.试用中心 !定理计算,这天的收入至少为395元的概率 (附表:标准正态分布Φ(x)的数值表 第6页共9页2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）期末考试试卷答案 第 6 页 共 9 页 此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙． 五．（本题满分 10 分） 一射手进行射击，击中目标的概率为 p (0  p 1) ，射击直至击中 2 次目标时为止．令 X 表示首次 击中目标所需要的射击次数， Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量 (X, Y) 的联合分布律． ⑵ 求随机变量 Y 的边缘分布律． ⑶ 求在 Y = n 时， X 的条件分布律．并解释此分布律的意义． 解： ⑴ 随机变量 Y 的取值为 2, 3, 4,  ；而随机变量 X 的取值为 1, 2,  , n −1 ，并且 P(X = m, Y = n) = P第一次命中目标在第m次，第二次命中目标在第n次 1 1 2 2 q p q p q p m− n−m− n− =  = ， （其中 q = 1− p ） (n = 2, 3, 4, ; m =1, 2,  , n −1)． ⑵ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 P Y n P X m, Y n q p n 1 q p n n m n n m − − = − − = = =  = = =  = − ， (n = 2, 3, 4, )． 即随机变量 Y 的边缘分布律为 ( ) ( ) 2 2 P Y n n 1 q p n− = = − (n = 2, 3, 4, )． ⑶ 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , 2 2 2 2 − = − = = = = = = = − − n q p n q p P Y n P X m Y n P X mY n n n 因此在 Y = n 时， X 的条件分布律为 ( ) 1 1 − = = = n P X mY n (m =1, 2,  , n −1) 这表明，在 Y = n 的条件下， X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值 1, 2,  , n −1． 六．（本题满分 10 分） 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它 取 1 元、 1.2 元、 1.5 元各个值的概率分别为 0.3、0.2 、0.5 ．某天该食品店出售了 300 只蛋糕．试用中心 极限定理计算，这天的收入至少为 395 元的概率． （附表：标准正态分布 (x) 的数值表：