2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(A)期末考试试卷答案 (本题满分10分) 某学生接连参加同一课程的两次考试.第一次考试及格的概率为p,如果他第一次及格,则第二次及 格的概率也为p,如果他第一次不及格,则第二次及格的概率为P (1)求他第一次与第二次考试都及格的概率. (2)求他第二次考试及格的概率 (3)若在这两次考试中至少有一次及格,他便可以取得某种证书,求该学生取得这种证书的概率 (4)若已知第二次考试他及格了,求他第一次考试及格的概率. 解 设A={该学生第一次考试及格},B={该学生第二次考试及格} 则由题设,P(小=P,P(B4)=p,P(4B)=2 )P(4B)=P(4)P(B4)=p2 p(B)=P()(B小)+P(7))=p2+0-p)2=p0+2 (3) P(UB)=P(A+P(B-P(B)=P+p(+p)-p2-P3-p) (4B)=P()=p+p1+P 四.(本题满分10分) 设顾客在某银行等待服务的时间X(单位:分钟)是服从O=5的指数分布.某顾客在窗口等待服务 若等待时间超过10分钟,他便离开 (1)求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率. (2)若在某月中,该顾客来到该银行7次,但有3次顾客的等待时间都超过10分钟,该顾客是否有理 由推断该银行的服务十分繁忙 解 由于随机变量X服从O=5的指数分布,所以X的概率密度函数为 f(x)={3 x>0 )P{顾客等待时间超过10分钟}=P{x210}=「e3h=-e3=e-2=013535283 2)设Y表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数,则Y~b(7,e2) 所以,P(Y=3)=C;(e2)(-e-)=04849457 这表明,(Y=3)是一个小概率事件,由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的,现在发生了.因 第5页共9页2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）期末考试试卷答案 第 5 页 共 9 页 三．（本题满分 10 分） 某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为 p ，如果他第一次及格，则第二次及 格的概率也为 p ，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为 2 p ． ⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率． ⑵ 求他第二次考试及格的概率． ⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率． ⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率． 解： 设 A = 该学生第一次考试及格， B = 该学生第二次考试及格． 则由题设， P(A) = p ， P(B A) = p ， ( ) 2 p P A B = ． ⑴ ( ) ( ) ( ) 2 P AB = P A P B A = p ． ⑵ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 p p p P B P A P B A P A P B A p p + = + = + − = ． ⑶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 p p p p p P A B P A P B P AB p − − = +  = + − = + ． ⑷ ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p P B P AB P A B + = + = = 1 2 2 1 2 ． 四．（本题满分 10 分） 设顾客在某银行等待服务的时间 X （单位：分钟）是服从  = 5 的指数分布．某顾客在窗口等待服务， 若等待时间超过 10 分钟，他便离开． ⑴ 求某次该顾客因等待时间超过 10 分钟而离开的概率． ⑵ 若在某月中，该顾客来到该银行 7 次，但有 3 次顾客的等待时间都超过 10 分钟，该顾客是否有理 由推断该银行的服务十分繁忙． 解： 由于随机变量 X 服从  = 5 的指数分布，所以 X 的概率密度函数为 ( )        = − 0 0 0 5 1 5 x e x f x x ． ⑴     0.135335283 5 1 10 10 2 1 0 5 1 0 5 =  = = − = = − + − + −  P P X e dx e e x x 顾客等待时间超过 分钟 ⑵ 设 Y 表示该顾客在一个月内等待时间超过 10 分钟的次数，则 ( ) 2 ~ 7, − Y b e ． 所以， ( 3) ( ) (1 ) 0.048494457 4 2 3 3 2 = = 7 − = − − P Y C e e ． 这表明， (Y = 3) 是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因