第五章向量分析 于是 ∫F4=』x2(-l=∫os:sm0-k ∫ de cos(smb-)=-2r 5-42 Gauss公式 Gauss公式 定理(Gaus公式):设ΩcR为有界区域,向量函数 F(,y, 3=X(,y,z)i+y(x,y,=)j+z(x,y, =)k 是一个在Ω内连续可微,在g2=9∪a2上连续的向量函数,则有 F ds=vF 或 地入在+Ax+ZAd= cx or oZ dy). 其中曲面积分是沿2外侧进行的 证明:只要我分别证明以下三式 Zax a dy 「YAdx 即可完成定理证明 令证其中第一式,其它两式可以完全类似地证明 与证明 Green公式类似,首先考虑一种特殊情形 上底和下底分别为 二=f2(x,y)S:二=f(x,y) S1和S2均为逐片光滑曲面 2在xoy平面上的投影是D 此时a2由S1,S2组成外侧为正 在下底S上法向量与与Oz轴成钝角 fi(xr, y) 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 于是 cos (sin ) 2 . ( ) cos (sin ) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2           = − = −  = − = −          d z dz F dS x y z dS z d dz S z S   5-4-2 Gauss 公式 ⚫ Gauss 公式 定理 (Gauss 公式):设   3 R 为有界区域, 向量函数 F x y z X x y z i Y x y z j Z x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 是一个在  内连续可微, 在  =  上连续的向量函数, .则有      =    F dS F dV    或 ( )dxdydz. z Z y Y x X Xdy dz Ydz dx Zdx dy         +  +  = + +     其中曲面积分是沿  外侧进行的. 证明: 只要我分别证明以下三式, . , , dV x X Xdy dz dV y Y Ydz dx dV z Z Zdx dy              =  =  =          即可完成定理证明. 令证其中第一式, 其它两式可以完全类似地证明. 与证明 Green 公式类似，首先考虑一种特殊情形: ⚫  上底和下底分别为 2 2 1 S 1 :z = f (x, y);S :z = f (x, y). S1 和 S2 均为逐片光滑曲面.  在 xoy 平面上的投影是 Dxy ; 此时  由 S1 , S2 组成. 外侧为正. 在下底 S1 上法向量与与 oz 轴成钝角 所以 z z = f2(x,y)  z= f1(x,y) Dxy