第五章向量分析 ∫2Ah=-』2(xy,f(xy)d Z(, y,f(x, y))dxdy 在上底S2上法向量与与O=轴成锐角所以 ∫2Ah=-z(xy,f(x,y)d Z(x,y,f,(x, y)dxdy 以上二式相加得到 zab=』zd入b+zaAb z(xy,f(xy)∧d+』z(x,y,(x,y)入h 于是对于上述简单情形,定理结论是正确的 对于一般的区域_2,可以将其分成若干个小区域 使得每一个小区域都属于上面的简单情形 由已经证明的结论得到 zhAh=2(=L…,k) 将上式两端分别对于i求和由于在区域内部的那些O上 都是沿其两侧各积分一次,因而互相抵消所以左端只剩下 在△上的积分,即∑』2xAd=2入d 右端求和得到∑⑩2d在= 联合起来的结果,就使定理得证.上式称为Gaus公式 散度子V·v的物理意义 假设F(x,y,z)=X(x,y,=)i+Y(x,y,)j+z(x,y,)k 是区域Ω上的连续可微向量场,M是内一点.V(r>0)是包含 M在2中的一个城,其体积为卩|,该集合之直径为r;而是其边界 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析    = −  = − D Z x y f x y dxdy D Z x y f x y d S Zdx dy xy xy xy ( , , ( , )) ( , , ( , )) 1 1 1  在上底 S2 上法向量与与 oz 轴成锐角.所以    = −  = − D Z x y f x y dxdy D Z x y f x y d S Zdx dy xy xy xy ( , , ( , )) ( , , ( , )) 2 2 2  以上二式相加得到:     =  +   S 1 S2 Z dx dy Z dx dy Z dx dy = ( ) ( )    +  1 2 , , ( , ) , , ( , ) 2 1 S S Z x y f x y dx dy Z x y f x y dx dy =             D f x y f x y dz dxdy z Z ( , ) ( , ) 2 1 =     dv z Z 于是对于上述简单情形,定理结论是正确的. 对于一般的区域 ,可以将其分成若干个小区域 1 ,2 ,...,k , 使得每一个小区域都属于上面的简单情形. 由已经证明的结论得到 dV z Z Zdx dy i i    =      (i =1,...,k) 将上式两端分别对于 i 求和. 由于在区域  内部的那些  i 上, 都是沿其两侧各积分一次, 因而互相抵消.所以左端只剩下 在  上的积分, 即    =  =    k i Zdx dy Zdx dy i 1 .   右端求和得到 . 1 dxdydz z Z dxdydz z Z k i i   =  =      联合起来的结果, 就使定理得证. 上式称为 Gauss 公式. ⚫ 散度子  v 的物理意义. 假设 F x y z X x y z i Y x y z j Z x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 是区域  上的连续可微向量场, M0 是  内一点. V (r  0) r 是包含 M0 在  中的一个城, 其体积为 Vr , 该集合之直径为 r ; 0 n  是其边界