第五章向量分析 H的外单位法向量积分FS是向量场F通过曲面从 a的通量或(,的发散量)积分口F,4就是向量场 F在V上的平均发散量(即单位体积的发散量) 如果极限如手F元△存在,则称这个极限值,为向量 场F在点M的散度,记作dhv(M0) 应用 Gauss公式得到 V· F dxdvdz dh(M)=mF·心=加mv,Fdd=v,F(M) 在二维情形,设F(x,y)=X(x,y)+Y(x,y) 是区域DcR上的连续可微向量场,则Gaus公式变成 手F=F面=可 0a分xh=Fd 这正是 Green公式可见 Gauss公式是 Green公式在三维空间的推广, 例1:空间分布着不可压缩流体的连续性方程: 设某流体在一空间域上的流速场: U(x,y,z,1)=X(x,y,z,D)+Y(x,y,,1)+Z(x,y,,1)k, 流体的密度和速度(x,y,z,1),考察以点M(x,y,)为中心,以 r(>0)为半径的球D在时刻t,D中所含流体总量等于 Q(D, 1)=u(x,y,4,)dxdyd- 这个量对于时间的变化率正是,流体在t刻,自D内部穿越其边 界向外发散速度的负值,即 20M=-(M(M0 其中n为OD的外单位法向量由散度定理得到得到 arJuutkdrdydi div(u(M, t (M, n)dxdydc 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析  Vr 的外单位法向量. 积分    Vr F n0 dS   是向量场 F  通过曲面从 Vr  的通量或 ( Vr 的发散量). 积分   Vr r F n dS V  0 1   就是向量场 F  在 Vr 上的平均发散量(即单位体积的发散量). 如果极限   →  Vr r F n dS V 0 0 1 lim    存在, 则称这个极限值, 为向量 场 F  在点 M0 的散度,记作 ( ) div M0 . 应 用 Gauss 公式得到    =   Vr Vr F dS F dxdydz    ( ). 1 lim 1 ( ) lim 0 0 0 0 F dxdydz F M V F dS V div M r Vr r r r V r     =  =   =   →  →   在二维情形, 设 F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) 是区域 D  R 2 上的连续可微向量场, 则 Gauss 公式变成 ( ) .  0     =  = + =  D D D D dxdy Fdxdy y Y x X F n dl F dn            这正是 Green 公式.可见 Gauss 公式是 Green 公式在三维空间的推广. 例 1:空间分布着不可压缩流体的连续性方程： 设某流体在一空间域上的流速场： U x y z t X x y z t i Y x y z t j Z x y z t k     ( , , , ) = ( , , , ) + ( , , , ) + ( , , , ) , 流体的密度和速度 (x, y,z,t), 考察以点 M (x, y,z) 为中心,以 r( 0) 为半径的球 Dr .在时刻 t , Dr 中所含流体总量等于 Q(D t) r , =  D x y z t dxdydz r ( , , , ) . 这个量对于时间的变化率正是, 流体在 t 刻, 自 Dr 内部穿越其边 界向外发散速度的负值, 即 ( )   = −  Dr Dr M t dxdydz M t U M t dS t        ( , ) ( , ) , 其中 n 为  Dr 的外单位法向量.由散度定理得到,得到 ( , ) ( ( , ) ( , ))dxdydz. D div M t U M t D M t dxdydz t r r   = −     