银川能源学院《高签激学》救案 第一童函数、极限与连缕 y,sin.cot 等都是初等函数 双曲函数： 双曲正弦：shr=e-e 双曲余弦：chr=e+ 2 双曲正切：thx=shr_e-e chx exte-x =chx y=thx 双曲函数的性质： sh(x+y)=sh x-ch ytch x-sh y; ch(xty)=ch xch y+sh xsh y. ch"x-sh"x-l; sh2x=2sh x.ch x; ch2x=ch2x+shx 下面证明sh(x+y)=sh x.chy+ch x-sh y: shrchy+chsh=e-eeteee 22 22 eygtee-laney tee 4 =exty-e -=sh(x+y) 2 反双曲函数 双曲函数=shx,y=chx20),y=hx的反函数依次为 反双曲正弦：y=arshx; 反双曲余弦：=archx; 反双曲正切：=arth x. 反双曲函数的表示达式： =arshx是x=shy的反函数，因此，从 x=er-e-y 2 中解出y来便是arshx.令=e',则由上式有u2-2r-1=0. 这是关于的一个二次方程，它的根为 u=x±Vx2+1 第7页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 7 页 2 y 1x , ysin2 x, 2 cot x y 等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: 2 sh x x e e x    ; 双曲余弦: 2 ch x x e e x    ; 双曲正切: x x x x e e e e x x x       ch sh th . 双曲函数的性质: sh(xy)sh xch ych xsh y; ch(xy)ch xch ysh xsh y. ch2 xsh2 x1; sh2x2sh xch x; ch2xch2 xsh2 x . 下面证明 sh(xy)sh xch ych xsh y: 2 2 2 2 sh c h c h sh x x y y x x y y e e e e e e e e x y x y              4 4 x y y x x y (x y) x y y x x y (x y) e e e e e e e e                   sh( ) 2 ( ) x y e e x y x y        . 反双曲函数: 双曲函数 ysh x, ych x(x0), yth x 的反函数依次为 反双曲正弦: yarsh x; 反双曲余弦: yarch x; 反双曲正切: yarth x . 反双曲函数的表示达式: yarsh x 是 xsh y 的反函数, 因此, 从 2 y y e e x    中解出 y 来便是 arsh x . 令 ue y , 则由上式有 u 2 2x u10. 这是关于 u 的一个二次方程, 它的根为 1 2 ux x  . y=ch x y=sh x 1 x y O y= e 1 -x 2 y= e 1 x 2 1 -1 O x y y=th x