例7.1.1设身高(X)与体重(Y)之间有近似回归关系(7.1.2)，e表示除了身高X,所有影响体 重(Y)的其他因素（如遗传、饮食、锻炼等），假定调查了n个人的身高和体重得样本（红，），i= 1,2,…,n,估计0和3得B0=-40,3=0.6,则经验回归方程为 Y=-40+0.6X. (7.1.5) 如果甲身高160cm,算得体重0=56kg,称0=56为身高160cm的体重的预测值。 二、多元线性回归模型 实际问题中影响因变量的自变量往往不止一个，如有X1,X2,…,Xp-1,则它们有如下线性 关系： Y=0+B1X1+…+Bp-1Xp-1+e, (7.1.6) 若有样本(1，x2,…,xp-1,),i=1,2,…,n,则有 :=B0+B1x1+·+Bp-1xp-1+e, (7.1.7) e:为随机误差，将上述方程组用矩阵表： 1 111 T12 T1P-1 Bo T21 T22 T2p-1 3 e2 .. 1 In.1 In.2 np-1 Bp-1 en 即 Unx1=XnxpBpx1+enx1, (7.1.8) 其中y为观测向量，X称为设计阵（习惯称法），B为未知回归参数向量，e是随机误差向量，关 于e通常有两种假定： (1)Gauss-Markovf假定（简称G-M假定）：E(e)=0,Cou(e)=o2L,即： (a)E(e)=0,i=l,2,…, (b)Var(e)=o2,i=1,2,…,n; (c)Co(ei,e)=0,i,j=1,2,…,n,且i≠j: (2)正态假定：e~Nn(0,o2I),即e1,·,en相互独立，具有相同分布N(0,o2), 若利用样本对B,1,…,Bp-1作出估计，估计量为o,,…,p-1,则 Y=b0+B1X1+…+Bp-1Xp-1 (7.1.9) 称为经验回归方程，它是否真正描述了Y和X1,X2,·,Xp-1之间的关系，还需要进行检验。 三、可化为线性模型的情形 有些模型表面上是非线性的，但是经过适当变换，可以化为线性模型，请看下例： 2~7.1.1 p(X) ÜN­(Y ) ÉmkCq£8'X(7.1.2)ßeL´ÿ pX ߧkKèN ­(Y ) Ÿ¶œÉ(X¢D!ÿ†!‚ı)ßb½N ná<p⁄N­(xi , yi), i = 1, 2, · · · , nßOβ0 ⁄β1  βb0 = −40, βb1 = 0.6ßK²£8êßè Y = −40 + 0.6X. (7.1.5) XJ`p160 cmßéN­y0 = 56 kgß°y0 = 56èp160cmN­˝ˇä" !ıÇ5£8. ¢SØK•KèœC˛gC˛ ÿéòáßXkX1, X2, · · · , Xp−1ßKßÇkXeÇ5 'Xµ Y = β0 + β1X1 + · · · + βp−1Xp−1 + e, (7.1.6) ek(xi1, xi2, · · · , xip−1, yi), i = 1, 2, · · · , nßKk yi = β0 + β1xi1 + · · · + βp−1xip−1 + ei , (7.1.7) ei èëÅÿßÚ˛„êß|^› Lµ   y1 y2 . . . yn   =   1 x11 x12 · · · x1,p−1 1 x21 x22 · · · x2,p−1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 xn,1 xn,2 · · · xn,p−1     β0 β1 . . . βp−1   +   e1 e2 . . . en   , =µ yn×1 = Xn×pβp×1 + en×1, (7.1.8) Ÿ•y è*ˇï˛ßX °èO (S.°{)ßβ èô£8ÎÍï˛ße¥ëÅÿï˛ß' ueœ~k¸´b½µ (1) Gauss)Markovb½({°G-Mb½)µE(e) = 0, Cov(e) = σ 2 I, =µ (a) E(ei) = 0, i = 1, 2, · · · , n; (b) V ar(ei) = σ 2 , i = 1, 2, · · · , n; (c) Cov(ei , ej ) = 0, i, j = 1, 2, · · · , n,Öi 6= j. (2) b½µe ∼ Nn(0, σ2 I), =e1, · · · , en Ép’·ß‰kÉ”©ŸN(0, σ2 ). e|^Èβ0, β1, · · · , βp−1 ä—OßO˛èβb0, βb1, · · · , βbp−1ßK Y = βb0 + βb1X1 + · · · + βbp−1Xp−1 (7.1.9) °è²£8êßßߥƒ˝£„ Y ⁄X1, X2, · · · , Xp−1 Ém'XßÑIá?1u" n!åzèÇ5.ú/ k .L°˛¥öÇ5ߥ²L·CÜßå±zèÇ5.ßûwe~µ 2