m=(xy.28=j+y2+24=∫95√x+y√hh 2c056 =18|2d0 (20)(本题满分11分)设3阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同的特征值,且a3=a1+2a2 (I)证明r(A)=2 (I)若B=a1+a2+a3,求方程组Ax=B的通解。 【答案】(1)略:(Ⅱ)通解为k2+1k∈R 【解析】 (I)证明:由a3=a1+2a2可得a1+2a2-a3=0,即a2a2a3线性相关 因此,A=1a2a3|=0,即A的特征值必有0 又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0 且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为A=2,1≠2≠0 r(A)=r(A)=2 (I1)由(1)r(A)=2,知3-r(A)=1,即Ax=0的基础解系只有1个解向量 由a1+2a2-a3=0可得(a1a2a3)2=42=0,则Ax=0的基础解系为2 又B=a1+a2+a3,即(a12a)1=41|=B,则Ax=B的一个特解为1, 综上,Ax=B的通解为k2 ,k∈R2 2 2 2 2 2 2 : 2 2cos 2 2 0 2 (x, y,z) 9 9 2 2 18 64 s s D x y x m dS x y z dS x y dxdy d r dr      +  − = = + + = + = =      （20）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 A = (   1 2 3 , , ) 有 3 个不同的特征值，且 3 1 2    = + 2 。 () 证明 r A( ) 2 = ； ( )  若     = + + 1 2 3 ，求方程组 Ax =  的通解。 【答案】（I）略；（II）通解为 1 1 2 1 , 1 1 k k R         +              − 【解析】 （I）证明：由 3 1 2    = + 2 可得 1 2 3    + − = 2 0 ，即 1 2 3    , , 线性相关， 因此， 1 2 3 A = =    0 ，即 A 的特征值必有 0。 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0. 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 1 2 1 2 , 0 0          =         ∴ r A r ( ) ( ) 2 =  = （II）由（1） r A( ) 2 = ，知 3 ( ) 1 − = r A ，即 Ax = 0 的基础解系只有 1 个解向量， 由 1 2 3    + − = 2 0 可得 ( 1 2 3 ) 1 1 , , 2 2 0 1 1    A         = =             − − ，则 Ax = 0 的基础解系为 1 2 1           − ， 又     = + + 1 2 3 ，即 ( 1 2 3 ) 1 1 , , 1 1 1 1     A         = =             ，则 Ax =  的一个特解为 1 1 1           ， 综上， Ax =  的通解为 1 1 2 1 , 1 1 k k R         +              −