21)(本题满分11分)设二次型f(x,x2x3)=2x2-x2+ax2+2xx2-8x3+2x2x3 在正交变换X=QY下的标准型y2+2y2,求a的值及一个正交矩阵Q 【答案】a=2Q=/~1 ,x=Qy-3y2+6y2 √3 【解析】 f(x1,x2,x3)=HAX,其中A=1 由于f(x1,x2,x3)=HAX经正交变换后,得到的标准形为1y2+ 21 故r(A)=2叫A=0→1-11=0→a=2, 41 将a=2代入,满足r(A)=2,因此a=2符合题意,此时A=1-11,则 AE-AF=-12+1 =0→=-3,2=0,=6, 由(-3E-A)x=0,可得A的属于特征值3的特征向量为a1=-1 由(6E-A)x=0,可得A的属于特征值6的特征向量为a2=0 由(OE-A)x=0,可得A的属于特征值0的特征向量为a3=2（21）（本题满分 11 分）设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 = − + + − + 在正交变换 X QY = 下的标准型 2 2 1 1 2 2   y y + ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q 【答案】 2 2 1 2 1 1 1 3 2 6 1 2 2; 0 , 3 6 3 6 1 1 1 3 2 6 a Q f x Qy y y   −       = = − = − +           【解析】 1 2 3 ( , , ) T f x x x X AX = ，其中 2 1 4 1 1 1 4 1 A a   −   = −       − 由于 1 2 3 ( , , ) T f x x x X AX = 经正交变换后，得到的标准形为 2 2 1 1 2 2   y y + ， 故 2 1 4 ( ) 2 | | 0 1 1 1 0 2 4 1 r A A a a − =  =  − =  = − ， 将 a = 2 代入，满足 r A( ) 2 = ，因此 a = 2 符合题意，此时 2 1 4 1 1 1 4 1 2 A   −   = −       − ，则 1 2 3 2 1 4 | | 1 1 1 0 3, 0, 6 4 1 2 E A        − − − = − + − =  = − = = − − ， 由 ( 3 ) 0 − − = E A x ，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 1 1 1 1      = −      ； 由 (6 ) 0 E A x − = ，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为 2 1 0 1    −   =       由 (0 ) 0 E A x − = ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3 1 2 1      =      