另一方面,对任意自然数n,由上面的估计,我们有 (rk(t) k-1 从而 xn+1(t)≤Le(-)+r()≤Le(t=o 由此知va≤t≤B,x(t)≤LeM(-a) 习题3.2 3.如果下列两个向量函数 cos t 为齐次微分方程组 dx 1(t)a12(t) 的基本解组,试求a(t) 解:易知 d au(t)a12(t)[sint cost a()a(t)」 Cost-sint a1()a12(t) cost -sin t int cos t a21(t)a22(t) sint -cost cost-sint 由此可求出a1(1)=a2(1)=0,a12(1)=1,a21(t)=-1 4.利用解的存在惟一性(定理1.1)证明定理22的第一部分 明:充分性设方程组:=A()x的解组{xk(t):k=1,2,…,n}的 Wronsky行列式detx()在 某点t=to∈a,处取值不为零,则{xk(to):k=1,2,…,n}线性无关,由定理21的证明可知解 组{xk(t):k=1,2,…,n}线性无关 必要性用反证法.设方程组=A(1)x的解组{xk(1):k=1,2,……,n}线性无关但在 间t∈a,月上它的 Wronsky行列式detx(1)≡0.在区间t∈la,上取定to∈[a,,则 {xk(to):k=1,2,,n}线性相关,即存在不全为零的常数C1,…,Cn使得 Cixi(to)+C2x2(to)+.+Cnxn(to)=0 显然C1x1()+C2x2()+…+Cnxn()和x(1)=0都是方程组:=A(t)x的满足初值条件 x(to)=0的解,因此由解的存在惟一性定理知必有 故解组{xk(t):k=1,2,…,n}线性相关,但这与假设矛盾2 另一方面, 对任意自然数 n, 由上面的估计, 我们有 0 ≤ xn+1(t) − r(t) = nX +1 k=1 (xk(t) − xk−1(t)) ≤ nX +1 k=1 LMk−1 (k − 1)!(t − α) k−1 ≤ LeM(t−α) . 从而 xn+1(t) ≤ LeM(t−α) + r(t) ≤ LeM(t−α) . 由此知 ∀α ≤ t ≤ β, x(t) ≤ LeM(t−α) . 习 题 3.2 3. 如果下列两个向量函数   sin t cos t   ,   cos t − sin t   为齐次微分方程组 dx dt =   a11(t) a12(t) a21(t) a22(t)   x 的基本解组, 试求 aij (t), i, j = 1, 2. 解: 易知 d dt   sin t cos t cos t − sin t   =   a11(t) a12(t) a21(t) a22(t)     sin t cos t cos t − sin t   , 因此   a11(t) a12(t) a21(t) a22(t)   =   cos t − sin t − sin t − cos t     sin t cos t cos t − sin t   −1 , 由此可求出 a11(t) = a22(t) = 0, a12(t) = 1, a21(t) = −1. 4. 利用解的存在惟一性(定理 1.1 )证明定理 2.2 的第一部分. 证明: 充分性 设方程组 dx dt = A(t)x 的解组 {xk(t) : k = 1, 2, . . . , n} 的 Wronsky 行列式 detX(t) 在 某点 t = t0 ∈ [α, β] 处取值不为零, 则 {xk(t0) : k = 1, 2, . . . , n} 线性无关, 由定理 2.1 的证明可知解 组 {xk(t) : k = 1, 2, . . . , n} 线性无关. 必要性 用反证法. 设方程组 dx dt = A(t)x 的解组 {xk(t) : k = 1, 2, . . . , n} 线性无关但在 区间 t ∈ [α, β] 上它的 Wronsky 行列式 detX(t) ≡ 0. 在区间 t ∈ [α, β] 上取定 t0 ∈ [α, β], 则 {xk(t0) : k = 1, 2, . . . , n} 线性相关, 即存在不全为零的常数 C1, ..., Cn 使得 C1x1(t0) + C2x2(t0) + · · · + Cnxn(t0) = 0. 显然 C1x1(t) + C2x2(t) + · · · + Cnxn(t) 和 x(t) ≡ 0 都是方程组 dx dt = A(t)x 的满足初值条件 x(t0) = 0 的解, 因此由解的存在惟一性定理知必有 C1x1(t) + C2x2(t) + · · · + Cnxn(t) ≡ 0. 故解组 {xk(t) : k = 1, 2, . . . , n} 线性相关, 但这与假设矛盾