第三章向量值函数与空间曲线 问题,用弧长作参数,将使一些公式大为简化 322切线和法平面 设R3中曲线C以自然参数表示为 F(S)=(x(s),y(s),z(s)a≤s≤b so∈a,b]为C的正则点。C在点s的切线向量: So 切线方程为 万=r(S0)+T=r(S0)+亓F(S0) 其中元是C在点s0的切线的向径,λ为参数 法平面:过点r()与切线垂直平面称为C在f(s)法平面, 法面方程为 n-F(s0)P(S0)=0 其中元是C在点S0的法平面上的向径。 例3求螺旋线F=(acos,asng,bq)在点q=0处的切线和法平 面 解φ=0时,f(0)=(a0) r'(o)=(-asin acos, b) r(0)=(0,a,b 故在点φ=0处螺旋线的切线议程为 p()=f(0)+tP(0)=(a,am,b),t是参数, 或 0 法平面方程为r(O)(()-f(0)=0, 即ay+bz=0 3.2.3密切平面和副法线 ●密切平面 经过曲线C上点f(S0)=(x(S0),y(s0),x(50)的切线的平面称 为切平面,其中有一个最贴近C的平面称为密切平面。 其具体定义为:过C上点r(o)的切线及其邻近点r(so+△s) 作一平面I',当As→0时,若∏有极限位置∏,则称∏为C在 点r(so)的密切平面。设该平面的法向量为单位向量B,则由 这是由于I'的法向量平行于向量 第三章向量值函数与空间曲线第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 4 问题，用弧长作参数，将使一些公式大为简化. 3.2.2 切线和法平面 设 3 R 中曲线 C 以自然参数表示为 ( ) = ( ( ), ( ), ( )) a  s  b T r s x s y s z s  , s0 [a,b] 为 C 的正则点。C 在点 s0的切线向量： ( 0 ), T = 1    T = r  s 切线方程为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 r r s T r s r s l      = +  = +   其中 l r  是 C 在点 s0的切线的向径, 为参数。 法平面: 过点 ( ) 0 r s  与切线垂直平面称为 C 在 ( ) 0 r s  法平面， 法面方程为 (r n−r(s0 ))r (s0 ) = 0    , 其中 n r  是 C 在点 s0的法平面上的向径。 例 3 求螺旋线 r = (a cos, a sin , b)  在点  = 0 处的切线和法平 面。 解  = 0 时, T r(0) = (a,0,0)  T T r a b r a a b (0) (0, , ) ( ) ( sin , cos , )  =  = −      故在点  = 0 处螺旋线的切线议程为 (t) r tr a at bt t T = (0) + (0) = ( , , ) ,     是参数， 或 b z a x a y 0 0 0 − = − = − , 法平面方程为 r (0)( (t)− r(0)) = 0     , 即 ay + bz = 0. 3.2.3 密切平面和副法线 ⚫ 密切平面 经过曲线 C 上点 T r(s ) (x(s ), y(s ),z(s )) 0 = 0 0 0  的切线的平面称 为切平面， 其中有一个最贴近 C 的平面称为密切平面。 其具体定义为：过 C 上点 ( ) 0 r s  的切线及其邻近点 r(s + s) 0  作一平面  ，当 s→ 0 时，若有极限位置，则称为 C 在 点 r(s0)的密切平面。设该平面的法向量为单位向量 B  , 则由 这是由于  的法向量平行于向量