第三章向量值函数与空间曲线 F(S0)×(F(S0+△s)-F(s0 =f(sn)×|r()As+r(s。△s)2+d(0△sy2 ∥r(s)×(产"(S0)+0 可得,B∥r(S0)×("(S0), 再利用F(s)=7=1和 F(s)⊥(s0)(产(s)=T是定长向量,所以产(s)⊥r(s)) 即得密切平面的单位法向量B (s So 密切平面方程为(p-f(S0)B=0 或(G(s0),产(S0),p-r(S0)=0 如果F=(s)是平面曲线,则其上任一点的密切平面就是曲线 所在平面 副法线:密切平面的法线称为C在r()处的副法线,单位副 法线向量以B表示,则 产(So)×F"(S0) So 副法线方程为()=f(s0)+1B 或p()=f(s0)+1(P(s0)×F"(s0) 曲线C的一般参数方程F=f(),它在产(t0)处的单位副法线向 量为严(t0)×F"(t0) 卩(0)×"(0 例4求圆锥螺线r()=(cost- t sin t at)y在坐标原点处的密 切平面方程和副法线方程。 解坐标原点对应于t=0, r=(cost-tsin t, -sin t-t cost, a), r(0)-(1, 0, a) r=(2sin t-t cos t, -2 cost+tsin 1,0) r"(0)=(0,-2,0) 所以,螺线在原点处的密切平面方程为 -r(0),F'(O)P"(0)=0 即 -ax+z=0 螺旋线在原点处的副法线方程为 p=F(0)+1((0)xF(0) =(at,0,-1) 第三章向量值函数与空间曲线第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 5 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) // ( ) ( ( ) (1)) ( ) 1 ( ) 2! 1 ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 r s r s o r s r s s r s s o s r s r s s r s              +       =     +   +    +  − 可得， // ( ) ( ( )) 0 0 B r s r s       , 再利用 r (s0 ) = T = 1   和 ( ) ( ) 0 0 r s r s    ⊥  ( (s) = T   r  是定长向量，所以 r (s) r (s)    ⊥  )， 即得密切平面的单位法向量 B  : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 r s r s r s B         = . 密切平面方程为 ( − r(s0 )) B = 0     或 (r(s0 ),r (s0 ),  − r(s0 )) = 0    如果 r r(s)   = 是平面曲线，则其上任一点的密切平面就是曲线 所在平面。 ⚫ 副法线: 密切平面的法线称为 C 在 ( ) 0 r s  处的副法线，单位副 法线向量以 B  表示，则 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 r s r s r s B         = 副法线方程为 (t) r s t B     = ( 0 ) + 或 ( ) ( ) ( ( ) ( )) 0 0 0 t r s t r s r s      = +    . ⚫ 曲线 C 的一般参数方程 r r(t)   = ，它在 ( ) 0 r t  处的单位副法线向 量为 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 r t r t r t r t B            = . 例 4 求圆锥螺线 ( ) ( ) T r t = t cost − tsin t at  在坐标原点处的密 切平面方程和副法线方程。 解 坐标原点对应于 t=0, (0) (0, 2,0) ( 2sin cos , 2cos sin ,0) (cos sin , sin cos , ), r (0) - (1,0, a)  = −  = − − − +  = − − −  r r t t t t t t r t t t t t t a     所以，螺线在原点处的密切平面方程为 ( − r(0),r (0),r (0)) = 0      即 0 0 - 2 - 1 0 a y z = x , −ax + z = 0 螺旋线在原点处的副法线方程为 = r(0) +t(r (0)r (0))      即  = (at, 0, − t ) 