第三章向量值函数与空间曲线 其中t是参数。 3.2.4主法线和从切平面 主法线:在曲线C的任一点r(sn) 在已有切线和法平面、密切平面和副法线的概念的基础上, 我们把密切平面和法平面的交线称为主法线,过f(s0)点且以主法线为法向量 的平面称为从切平面。 以N表示过(s0)的单位主法线向量,取 由于产(S0)=T是定长向量, 所以r(Ss0)⊥r(S0)→严"(S0)⊥T 再由B=(s0)×F"(S0) B⊥r"(Sa), N∥F"s0)→N 过f(s)的主法线和从切平面的方程分别为 ()=f(s0)+tN和(-f(s0)N=0 若曲线C的方程为产=1(),则NGF()x1t)xF(oQ 卩(0)×F"(t0)F(0列 例5求圆柱螺线r()=( acost asin t b)在任一点t处的切线和法平面 密切平面和副法线、主法线和从切平面。 Mf F(=(acost, a sin t, br)T F"(=(-acost, -asin L,O)' 得向量 T∥F=(-asnt, a cost,b) 副法线向量 BxF=(asin t, a cost, a2)=(bsin ( cost, a) 主法线向量 N/(cost, sin t, O)cos t, sin t, 0)c cost, -(a'+b2)sin t, O)/(cos t, sin t, 0) 故得切线方程 x-acost y-asin t bt a sin t 副法线方程 x-acost y-asin t bt bsin t bcos t 第三章向量值函数与空间曲线第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 6 其中 t 是参数。 3.2.4 主法线和从切平面 ⚫ 主法线: 在曲线 C 的任一点 ( ) 0 r s  处， 在已有切线和法平面、密切平面和副法线的概念的基础上， 我们把密切平面和法平面的交线称为主法线，过 ( ) 0 r s  点且以主法线为法向量 的平面称为从切平面。 以 N  表示过 ( ) 0 r s  的单位主法线向量，取 N B T    =  由于 (s0 ) = T   r  是定长向量， 所以 r s r s r s T     ( 0 ) ⊥ ( 0 )  ( 0 ) ⊥ ； 再由 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 B r s r s r s r s B        ⊥      = ， ( ) ( ) ( ) 0 0 0 // r s r s N r s N      =      . 过 ( ) 0 r s  的主法线和从切平面的方程分别为 (t) r s t N     = ( 0 ) + 和 ( − r(s0 ) N = 0     若曲线 C 的方程为 r r(t)   = ,则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 r t r t r t r t r t r t N           =        例 5 求圆柱螺线 ( ) ( ) T r t = a cost asin t bt  在任一点 t 处的切线和法平面、 密切平面和副法线、主法线和从切平面。 ( ) ( ) ( ) T T T r t a t a t r t a t a t b r t a t a t bt ( cos , sin ,0) ( sin , cos , ) ( cos , sin , )  = − −  = − =    解 得向量 T T //r  = (−asin t,acost,b)  副法线向量 ( ) T T B // r r ( asin t,a cost,a ) bsin t bcost,a 2    = − = − 主法线向量 T T N // (cost,sin t,0)(cost,sin t,0))c cost, (a b )sin t, 0) //(cost,sin t, 0) 2 2 − + 故得切线方程 b z bt a t y a t a t x a t − = − = − − cos sin sin cos ； 副法线方程 a z bt b t y a t b t x a t − = − − = − cos sin sin cos ；