第三章向量值函数与空间曲线 主法线方程 x-acost y-asint z-bt 法平面方程 -asin tx+ acos ty+b=6t 密切平面方程 b(sin t)x-b(cos)y+a=abt 从切平面方程: x cost+ vint = a 3.2.5弗雷耐标架 上面我们得到曲线C:F=F(s)在r(s0)处的单位切向量7、单位副法线向量B 和单位主法线向量N,它们以自然参数s表示和以一般参数t表示的公式如下 表所示。 空间曲线方程F=f(s)空间曲线方程F=f( 弧长 S s=SFO)dr 弧微分 ds='()dt F'(s) dr(s) r B×T "s米 T×N r(×r 卩F()×F"t 在曲线C上任一点f(5)处,都有互相正交的三个单位向7(),N(s)和B(s), 且依上述次序构成一个右旋系,我们把它看成是粘附在C上f()点处以F(S)为原 点的右旋单位正交坐标系,当s在C上移动时,这个坐标系也随着运动,是个活 动的坐标架。 定义2.1曲线F=f()在点S处的单位正交向量7(s),N()和B(5)按右手法 则组成的坐标系,称为曲线在点s处的弗雷耐〔 Frenet)标架,记作 F(s): T(s), N(s), B(s) 显然 7=N×B,N=BxT,B=7xN T,N,B)=1 例6设圆柱螺线的方程为f()=( a cost asin t bt),且有 F(s)(acos @s asin os bos) 第三章向量值函数与空间曲线第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 7 主法线方程 x a t t y a t t − z bt = − = cos − cos sin sin 0 ； 法平面方程 a tx a ty bz b t 2 − sin + cos + = ； 密切平面方程 b(sin t)x − b(cost) y + az = abt ； 从切平面方程： x cost + y sin t = a 3.2.5 弗雷耐标架 上面我们得到曲线 C：r r(s)   = 在 ( ) 0 r s  处的单位切向量 T  、单位副法线向量 B  和单位主法线向量 N  ，它们以自然参数 s 表示和以一般参数 t 表示的公式如下 表所示。 空间曲线方程 r r(s)   = 空间曲线方程 r r(t)   = 弧长 s ( )  =  t s r t dt 0  弧微分 ds ds = r (t) dt  T  ( ) ( ) ds dr s r s    = ( ) r (t) r t     N  ( ) r (s) r s     B T    B  T N    ( ) ( ) r (t) r (t) r t r t           在曲线 C 上任一点 r(s)  处，都有互相正交的三个单位向 T (s)  , N(s)  和 B(s)  ， 且依上述次序构成一个右旋系，我们把它看成是粘附在 C 上 r(s)  点处以 r(s)  为原 点的右旋单位正交坐标系，当 s 在 C 上移动时，这个坐标系也随着运动，是个活 动的坐标架。 定义 2.1 曲线 r r(s)   = 在点 s 处的单位正交向量 T (s)  , N(s)  和 B(s)  按右手法 则组成的坐标系，称为曲线在点 s 处的弗雷耐(Frenet)标架，记作 r(s);T(s), N(s), B(s)     显然，     = =  =  =  ( , , ) 1 , , T N B T N B N B T B T N             例 6 设圆柱螺线的方程为 ( ) ( ) T r t = a cost asin t bt  ,且有 ( ) ( ) T r s = a cos s asin  s b s 