2 第九章函数逼近 定义9.1设集合V是实数域R上的线性空间，如果V中任意一个元素∫都按某 一法则对应一个实数，记作儿，并且它满足下列条件： (1)正定性：f川≥0，f∈V:f川=0当且仅当f=0成立： (2)齐次性：lcf川=lclf川，ceR,f∈V; (3)三角不等式：If+gl≤If川+lgl,f,g∈V 上述对应关系可视为V→R的映射，称为线性空间V的范数，并简记为"，‖.定义了 范数的线性空间称为赋范线性空间. 下面对常用的有限维线性空间R”和无穷维线性空间C[a,)分别引入范数 例9.1记R”为n维线性空间，在Rn中定义 x2=(+号++2)/，收=(e1,2,…,rn)T ER". 易验证‖·2满足条件(1)~(3).因此，R”按1,2构成一赋范线性空间.事实上，若n 维线性空间R”按常用的内积(，)构成欧氏空间，则范数k2可视为向量x自己与自 己内积的平方根，即x2=√G,x,称x2为向量的2范数或欧几里得范数.另外，不 难验证Rn还可按如下范数 lk1=z+z2+…+znl,次=(e1,x2,…,xn)T∈R”, lxle=maxz1l,z2l,…,znl,i=(x1,x2,·,xn)T∈R”, 分别构成不同的赋范线性空间.更一般地，在Rn中定义 xp=(0zP+lz2P+…+znP)p,次=(c1,x2,…,xn)T∈R", 构成向量x的p范数，前面的范数分别对应p=1,2,∞的情形. 例9.2记Ca,)为区间a,)上连续函数的全体，按通常的函数加法与数乘运算 构成线性空间.在C[a,)中定义 lfl()l v e Cla. 易验证‖·川x满足条件(1)~(3).因此，Ca,)按1·‖✉构成一赋范线性空间，范数 ‖·‖le称为一致范数或Chebyshev范数2 第九章 函数逼近 定义 9.1 设集合 V 是实数域 R 上的线性空间, 如果 V 中任意一个元素 f 都按某 一法则对应一个实数, 记作 ∥f∥, 并且它满足下列条件: (1) 正定性: ∥f∥ > 0, ∀f ∈ V ; ∥f∥ = 0 当且仅当 f = 0 成立; (2) 齐次性: ∥cf∥ = |c|∥f∥, ∀c ∈ R, ∀f ∈ V ; (3) 三角不等式: ∥f + g∥ 6 ∥f∥ + ∥g∥, ∀f, g ∈ V . 上述对应关系可视为 V → R 的映射, 称为线性空间 V 的范数, 并简记为 ∥ · ∥. 定义了 范数的线性空间称为赋范线性空间. 下面对常用的有限维线性空间 R n 和无穷维线性空间 C[a, b] 分别引入范数. 例 9.1 记 R n 为 n 维线性空间, 在 R n 中定义 ∥x∥2 = ( x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n )1/2 , ∀x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n . 易验证 ∥ · ∥2 满足条件 (1) ∼ (3). 因此, R n 按 ∥ · ∥2 构成一赋范线性空间. 事实上, 若 n 维线性空间 R n 按常用的内积 (·, ·) 构成欧氏空间, 则范数 ∥x∥2 可视为向量 x 自己与自 己内积的平方根, 即 ∥x∥2 = √ (x, x), 称 ∥x∥2 为向量的2-范数或欧几里得范数. 另外, 不 难验证 R n 还可按如下范数 ∥x∥1 = |x1| + |x2| + · · · + |xn|, ∀x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n , ∥x∥∞ = max{|x1|, |x2|, · · · , |xn|}, ∀x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n , 分别构成不同的赋范线性空间. 更一般地, 在 R n 中定义 ∥x∥p = (|x1| p + |x2| p + · · · + |xn| p ) 1/p , ∀x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n , 构成向量 x 的p-范数, 前面的范数分别对应 p = 1, 2, ∞ 的情形. 例 9.2 记 C[a, b] 为区间 [a, b] 上连续函数的全体, 按通常的函数加法与数乘运算 构成线性空间. 在 C[a, b] 中定义 ∥f∥∞ = max a6x6b |f(x)|, ∀f ∈ C[a, b]. 易验证 ∥ · ∥∞ 满足条件 (1) ∼ (3). 因此, C[a, b] 按 ∥ · ∥∞ 构成一赋范线性空间, 范数 ∥ · ∥∞ 称为一致范数或 Chebyshev 范数