9.1逼近问题的描述 例9.3记Cr[a,)为区间[a,)上r次连续可微函数的全体.定义Cr[a,b的范数 fs=ma{f(lf'(…,lf川，feCa,. 显然，Ca,b是Cra,b的一个特殊情形. 例9.4记LP[a,b为区间[a,b上所有满足 [eard<te,p≥l 的Lebesgue可积函数f构成的函数类(Lebesgue积分是Riemann积分的推广)，.因区间 [a,b)上所有的连续函数都是Riemann可积的，故C[a,)cL[a,.在LP[a,)中定义 1/p -（I)Pd）,fera, (9.1) Ja 可以证明‖·p是P[a,的一个范数.注意，在[a,)中约定：将几乎处处相等的两 个可测函数∫，9视为同一函数。 在赋范线性空间中，可以按照下面的方式引入向量之间的距离 定义9.2在赋范线性空间V中，定义函数 df,g)=f-gll,f,9∈V, 称为∫与g之间的距离.不难验证d(∫，9)满足距离定义所要求的条件： (1)正定性：d(f,g)≥0，f∈V,d(,9)=0当且仅当∫=9成立， (2)对称性：d(f,g)=dg,f),f,9∈V, (3)三角不等式：df,g)≤d(f,h)+d(h,g,f,g,h∈V 有了距离的定义，便可讨论函数的连续性。 引理9.1在赋范线性空间V中，加法，数乘和范数都是距离d(∫，g)下的连续函 数 证明设V中有收敛的序列，ma=∫及m9m=9,则有 d(f*+g",fn +gn)=lf*+g"-(fn +gn)ll ≤lf'-fnll+lg°-gl =d(f',fn)+dg',9n), 9.1 逼近问题的描述 3 例 9.3 记 C r [a, b] 为区间 [a, b] 上 r 次连续可微函数的全体. 定义 C r [a, b] 的范数 ∥f∥∞ = max x∈[a,b] { |f(x)|, |f ′ (x)|, · · · , |f (r) (x)| } , ∀f ∈ C r [a, b]. 显然, C[a, b] 是 C r [a, b] 的一个特殊情形. 例 9.4 记 L p [a, b] 为区间 [a, b] 上所有满足 ∫ b a |f(x)| p dx < +∞, p > 1, 的 Lebesgue 可积函数 f 构成的函数类 (Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广). 因区间 [a, b] 上所有的连续函数都是 Riemann 可积的, 故 C[a, b] ⊂ L[a, b]. 在 L p [a, b] 中定义 ∥f∥p = (∫ b a |f(x)| p dx )1/p , ∀f ∈ L p [a, b], (9.1) 可以证明 ∥ · ∥p 是 L p [a, b] 的一个范数. 注意, 在 L p [a, b] 中约定: 将几乎处处相等的两 个可测函数 f, g 视为同一函数. 在赋范线性空间中, 可以按照下面的方式引入向量之间的距离. 定义 9.2 在赋范线性空间 V 中, 定义函数 d(f, g) = ∥f − g∥, ∀f, g ∈ V, 称为 f 与 g 之间的距离. 不难验证 d(f, g) 满足距离定义所要求的条件: (1) 正定性: d(f, g) > 0, ∀f ∈ V ; d(f, g) = 0 当且仅当 f = g 成立; (2) 对称性: d(f, g) = d(g, f), ∀f, g ∈ V ; (3) 三角不等式: d(f, g) 6 d(f, h) + d(h, g), ∀f, g, h ∈ V . 有了距离的定义, 便可讨论函数的连续性. 引理 9.1 在赋范线性空间 V 中, 加法, 数乘和范数都是距离 d(f, g) 下的连续函 数. 证明 设 V 中有收敛的序列 lim n→∞ fn = f ∗ 及 lim n→∞ gn = g ∗ , 则有 d(f ∗ + g ∗ , fn + gn) = ∥f ∗ + g ∗ − (fn + gn)∥ 6 ∥f ∗ − fn∥ + ∥g ∗ − gn∥ = d(f ∗ , fn) + d(g ∗ , gn)