《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 证法一（用有限复盖定理）参阅1]P171[证法一】 证明（佣有限覆盖定理）由f在闭区间血，上连续性，6>0，对每一点x∈，]，都存 在6.>0，使当xU,6)时，有 )号 考虑开区间集合 H={号lxek 显然H是a,)的一个开覆盖，由有限覆盖定理H的一个有限子集 r-{》=2个厦益k创记6=m含}>0 对k司下-小6展于中装园段)即-小号时有 k-小水6+受号+号= 故有(2)式同时有 V小利)心，<号 由此得)心，<6，一致连续 证法二（用致密性定理）.参阅[1P171一172【证法二】 证明如果不然fx)在a,1上不一致连续，3>0,6>0,3x,xe[a,lx-xK6,而 If(x)-f(x)REo 取5-式ea区-水后面化)一P6由致密性定理存在子序列 电氏-k也有→再由在连续在)-优 x→，ea,而由 中令k→0得 0=f(xo)-f(xo)Flim lf(x2 )-f(x2 5o 矛盾.所以f(x)在[a,上一致连续 推广fx)eCa,b),fa),fb)归→f)在ab)上一致连续. 作业1]P1721,23,4,5°：P1761,2,4.《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 5 证法 一 ( 用有限复盖定理 ) 参阅[1]P171[ 证法一 ] 证明 (用有限覆盖定理) 由 f 在闭区间 a,b 上连续性,  0,对每一点 xa,b,都存 在  x  0 ,使当 ( ) x x x, '   时,有 ( ) ( ) 2 '  f x − f x  考虑开区间集合                H = x x a b x , 2 ,   显然 H 是 a,b 的一个开覆盖,由有限覆盖定理 H 的一个有限子集   0 2 1,2, , , min 2 ,        =        =      =  i i H xi i k a b      覆盖了 记 对    −   ' " ' " x , x a,b x x , x  必属于  H 中某开区间,设        2 , ' i i x x   ,即 2 ' i i x x  −  ,此时有 i i i i i i x x x x x x     −  − + −   +  + = 2 2 2 " " ' ' 故有（2）式同时有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 '  "  f x − f xi  和 f x − f xi  由此得 f (x ' )− f (xi )    f在a,b上一致连续. 证法 二 ( 用致密性定理). 参阅[1]P171—172 [ 证法二 ] 证明 如果不然, f (x) 在 [a,b] 上不一致连续,  0  0 ,   0 , x , x[a,b] , | x − x |  ,而 0 | f (x) − f (x) |  . 取 n 1  = , x , x [a,b]  n  n   , n x x n n 1 |  −  | ,而 0 | ( ) − ( ) |  n n f x f x ,由致密性定理,存在子序列 [ , ] x x0 a b nk  →  ,而由 k n n n x x k k 1 |  −  | ,也有 0 x x n  k → . 再由 f (x) 在 0 x 连续,在 0 | (  ) − (  ) |  nk nk f x f x 中令 k →,得 0 0 0 0 =| ( ) − ( ) |= lim | (  ) − (  ) |  → nk nk k f x f x f x f x , 矛盾.所以 f (x) 在 [a,b] 上一致连续. 推广 f (x) C(a,b) , f a( ) + , f b( ) −   f (x) 在 (a,b) 上一致连续. 作业 [1]P172 1,2 3,4, 5  ；P176 1,2,4