《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 证明（应用确界定理）不妨设回)<“<f)令g)-f)-“则g也是a,上连续 函数，@)>0，g⑥)>0，于是定理的结论转为：3x∈a,b使g)=0这个简化的情形称为根的 存在性定理(h4.7的推论) 记B=8)>0,x∈血，显然E为非空有界数集Ecla,b∈)故有确界定理，E有 下确界，记x=tE因g@<0,⑥)>0有连续函数的局部保号性，36>0，使在a,a+d)内 g)<0,在(b,b-)内gx)>0.由此易见x。≠a,x≠b,即x∈(a,b). 下证g)=0.倘若gx)≠0，不妨设g)>0, 则又由局部保号性，存在U,7仁a,b》使在其内x>0),特别有 8x->0→x-3eE =0 但此与x=fE矛盾，则必有8，)=0. 几何解释直线y=c与曲线y=()相交.把x轴平移到y=c,则问题成为零点存在问题 这启发我们想办法作一个辅助函数，把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？ ①从几何上，r=xy=y-c启示我们作F()=f)-e:6球 cf-.-7x ②从结果x)=C着手. f(a)- 利用零点定理证：令F)=f闭)-C,则F()eCa.D,往下即名)丈# 这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊，最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方 法，以后会经常用到。 推论如/为区间上的连续函数，则值域J=少也是一个区间（可以退化为一点） 证∫为常量函数，则J=)退化为一点.∫非常量函数，则J当然不是单点集在J中任 取两点<（只要证4，]CJ),则在1中必有两点，x2使得fx)=片，fx,)=2.于是 对<y<片，必存在x,x介于x与x之间，使f)=y,即y∈J因而以，]二J一J是一个 区间 二、一致连续性 命题4(Cantor定理)f)eCla,),则f在la,上一致连续 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 4 证明 (应用确界定理) 不妨设 f (a)    f (b)令g(x) = f (x)−  则 g 也是 a,b 上连续 函数, g(a)  0 , g(b)  0 ,于是定理的结论转为: x (a,b),使g(x ) = 0 这个简化的情形称为根的 存在性定理(th4.7 的推论) 记 E = x g(x)  0, xa,b 显然 E 为非空有界数集 (E  a,b且bE) 故有确界定理, E 有 下确界,记 x = inf E 因g(a)  0, g(b)  0 有连续函数的局部保号性,   0 ,使在 [a, a +  ) 内 g(x)  0,在 (b,b − ) 内 g(x)  0 ．由此易见 x  a , x  b ,即 x (a,b)  ． 下证 g(x ) = 0 ．倘若 g(x )  0 ,不妨设 g(x )  0 , 则又由局部保号性,存在 (x ,)( (a,b))   使在其内 g(x  0) ,特别有 g x    x −  E      − 2 0 2     =0, 但此与 x = inf E 矛盾,则必有 g(x0 ) = 0． 几何解释 直线 y = c 与曲线 y = f (x) 相交.把 x 轴平移到 y = c ,则问题成为零点存在问题. 这启发我们想办法作一个辅助函数,把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？ ① 从几何上, x  = x, y  = y − c 启示我们作 F(x) = f (x) − c ； ② 从结果 f (x ) = c 0 着手. 利用零点定理证：令 F(x) = f (x) − c ,则 F(x) C([a,b]) ,往下即转化为零点存在问题. # 这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊,最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方 法,以后会经常用到. 推论 如 f 为区间 I 上的连续函数,则值域 J = f (I) 也是一个区间（可以退化为一点）. 证 f 为常量函数,则 J = f (I) 退化为一点. f 非常量函数,则 J 当然不是单点集.在 J 中任 取两点 1 2 y  y （只要证 [y , y ]  J 1 2 ）,则在 I 中必有两点 1 x , 2 x 使得 1 1 f (x ) = y , 2 2 f (x ) = y .于是 对 1 2 y  y  y ,必存在 x , x 介于 1 x 与 2 x 之间,使 f (x) = y ,即 y  J 因而 [y , y ]  J 1 2  J 是一个 区间. 二、一致连续性: 命题 4 ( Cantor 定理 ) f (x) C[a,b] , 则 f (x) 在 [a,b] 上一致连续