《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 a6-a-2-0 3)fan)<0fb)>0 由闭区间套定理知，3唯一的eQa6,】且ma,=m6= 由()在x0处的连续性及极限的保号性得 mfa,)=f)≤0、mf6.)=f)20→fx,)=0# 证二（用确界原理）不妨假设f(@)<0(从图1看，是使得f)>0的x的下确界），令 E=xf)>0,x∈[a,b,要证=fE(fE存在香？). 因为beE一E≠中，Eca,→E有界，故fE存在.令。=fE,下面证f(,)=0 如若不然，f,)≠0则，)>0（或，）<0)（从图形上可清楚看出，此时必存在 x<x使f)>0) 首先≠a,即∈(a,),f在连续，由连续函数的局部保号性→U(,d)c[a,使得 e化有0>0，特别应有，-孕>0即-eE,这与=E不盾.故必有 f(xo)=0 证法二（用确界原理）不妨设f(a)>0,fb)<0. 令E={xf(x)>0,x∈[a,b]},则E非空有界，→E有上确界.设E=supE, 有5∈[a,b].现证f(⑤=0，（为此证明f(5)≥0且f(5)≤0)取x,>5且 x,→5，(n→o).由fx)在点5连续和fx,)≤0，→f()=mfx)≤0， →5任E.于是31n∈E,)1n→5(n→o).由f(x)在点连续和fU)>0, →f(5)=lmf化)20.因此只能有f5)=0. 证法三（用有限复盖定理） 介值性定理设f在闭区间a,上连续，且@)≠)若内介于/a)与/O)之间的任何实数 f@)<<f⑥)或fa>u>f),则存在x∈a)使f,)=“.《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 3 ⑵ 0 2 lim ( ) lim = − − = → → n n n n n b a b a ； ⑶ f (an )  0, f (bn )  0 由闭区间套定理知,  唯一的 [ , ] 1 0 n n n x a b  =   ,且 = → n n lim a 0 lim b x n n = → 由 f (x) 在 0 x 处的连续性及极限的保号性得 lim ( ) = ( 0 )  0 → f a f x n n 、 0 lim ( ) ( ) 0 n n f b f x → =   f (x0 ) = 0 # 证二( 用确界原理 ) 不妨假设 f (a)  0 （从图 1 看, 0 x 是使得 f (x)  0 的 x 的下确界）,令 E = {x | f (x)  0, x [a,b]} ,要证 x0 = inf E （ inf E 存在否？）. 因为 bE  E  , E  [a,b]  E 有界,故 inf E 存在.令 x0 = inf E ,下面证 f (x0 ) = 0 如若不然, f (x0 )  0 则 f (x0 )  0 （或 f (x0 )  0 ）（从图形上可清楚看出,此时必存在 1 0 x  x 使 f (x1 )  0 ）. 首先 x0  a ,即 ( , ] x0  a b ； f 在 0 x 连续,由连续函数的局部保号性 ( , ) [ , ]  U x0   a b 使得 ( , ) x U x0  有 f (x)  0 ,特别应有 ) 0 2 ( 0 −   f x 即 x −  E 2 0  ,这与 x0 = inf E 矛盾,故必有 f (x0 ) = 0 . 证法 二 ( 用确界原理 ) 不妨设 f (a)  0, f (b)  0 . 令 E = { x | f (x)  0 , x [ a , b ] }, 则 E 非空有界,  E 有上确界. 设  = sup E , 有  [ a , b ]. 现证 f ( ) = 0 , ( 为此证明 f ( )  0 且 f ( )  0 ). 取 n x >  且 n x →, ( n →  ). 由 f (x) 在点  连续和 f (xn )  0 ,  ( ) = lim ( )  0 → n n f  f x ,    E. 于是 t  E,  t → ( n →  ) n n  . 由 f (x) 在点  连续和 f (t n )  0 ,  ( ) = lim ( )  0 → n n f  f t . 因此只能有 f ( ) = 0 . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 介值性定理 设 f 在闭区间 a,b 上连续,且 f (a)  f (b)若为介于f (a)与f (b) 之间的任何实数 f (a)    f (b)或 f (a)    f (b) ,则存在 x (a,b)  使 f (x ) =  ．