《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 考虑开区间集H={Uk,6小x∈a,b} 虽然H是血，小的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在H的一个有限点集 H°=x,6)x∈a,bh=l2,.,k} 覆盖了a,且存在正整数M,M.M:使对一切xe,d)n有/sM,i=l2k 令M=m 则对次∈a,x必属于某U(,d)→/≤M,≤M,即证∫在a,d上有上界. 二、最值性： 命题2fx)eC[a,b],→fx)在[a,b]上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证（用确界原莲）令思》M<+,如果四达不到M.则恒有 f(x)<M 考店通表)-网则eCa因而有界即≤H≥0， 从雨四业-云“这与y是上角手质因飞使得网-业 类似地可以证明达到下确界。 三、介值性：证明与其等价的“零点定理”· 命题3（零点存在定理或根的存在性定理）设函数)在闭区间口，川上连续即 fx)eC[a,且fa)与fb)异号(faf<0),则在a,)内存在一点x使得 f)=0.即方程f)=0在ab)内至少存在一个实根. 证法一（用区间套定理）设@<0，f)>0.将a,1二等分为a,d、[c,1,若 f@=0则=C即为所求：若fc)≠0，当f@)>0时取[a,d否则取c,b)为a,b】,有 fa,)<0,)>0.如此继续，如某一次中点9有fc,)=0终止(9即为所求)：否则得 ab.1满是：①a,a,4]a6.].: 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 2 考虑开区间集 H  (x ) x (a b) x , , ' ' =   '  虽然 H 是 a,b 的一个无限开覆盖,由有限开覆盖定理,存在 H 的一个有限点集 H = (xi , i ) xi a,bi =1,2,  ,k   覆盖了 a,b,且存在正整数 , , , M1 M2 Mk 使对一切 x (x ) a b i i  ,  , 有 f (x) M i k i  , =1,2,  , , 令 i k M M i   = 1 max 则对 xa,b, x 必属于某 (xi , i ) f (x)  Mi  M ,即证 f 在 a,b 上有上界． 二、最值性: 命题 2 f (x) C[ a , b ],  f (x) 在 [ a , b ] 上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 令 M sup { f (x)} a xb = , M  + , 如果 f (x) 达不到 M ,则恒有 f (x)  M . 考虑函数 ( ) 1 ( ) M f x x −  = ,则 (x) C[a,b] ,因而有界,即 (x)   (  0) , 从而 f x  M −  M  1 ( ) ,这与 M 是上确界矛盾,因此 x [a,b] ,使得 f (x) = M . 类似地可以证明达到下确界. 三、介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. 命题 3 （零点存在定理或根的存在性定理）设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续即 f (x) C([a,b]) 且 f (a) 与 f (b) 异号（ f (a) f (b)  0 ）,则在 (a,b) 内存在一点 0 x 使得 f (x0 ) = 0 .即方程 f (x) = 0 在 (a,b) 内至少存在一个实根. 证法 一 ( 用区间套定理 ) .设 f (a)  0 , f (b)  0 .将 [a,b] 二等分为 [a, c]、[c,b] ,若 f (c) = 0 则 x = c 0 即为所求；若 f (c)  0 ,当 f (c)  0 时取 [a, c] 否则取 [c,b] 为 [ , ] a1 b1 ,有 f (a1 )  0， f (b1 )  0 .如此继续,如某一次中点 i c 有 f (ci ) = 0 终止（ i c 即为所求）；否则得 {[ , ]} an bn 满足：⑴ [a,b]  [a1 ,b1 ]  [an ,bn ]  ；