《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 §7.2闭区间上连续函数性质的证明 教学目标：证明闭区间上的连续函数性质. 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明：闭区间上的连续函数的最大（小）值定理的证明： 闭区间上的连续函数介值定理的证明：闭区间上的连续函数一致连续性的证明， 基本要求：学握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性：用确界原理 证明闭区间上的连续函数的最大（小）值定理：用区间套定理证明闭区间上的连续函 数介值定理. 较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性 教学建议： ()本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质. (②)本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完 备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题， 教学过程： 在本节中，将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章2中给出的闭区间上连续函数的 基本性质. 一、有界性定理若函数f在闭区间a,月小上连续则f在，上有界 证法一（用区间套定理）.反证法.参阅[3P106一107. 证法二（用致密性定理），反证法. 证明如若不然，f)在a,上无界n∈N,∈[a,使得fx,)Pn,对于序列， 它有上下界a≤，≤b,致密性定理告诉我们3使得。→∈a,由f在o连续，及 Ifxm)Pn有 Ifx)Fm1fx)F+∞ 矛盾 证法三（用有限复盖定理）参阅[1]P168一169 证明（应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性(h42)对每一点x∈血，)都存 在邻域VG,δ)及正数M: 使6 sM,xe,d:)na,l《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 1 §7.2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目标：证明闭区间上的连续函数性质． 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明； 闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明． 基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理 证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函 数介值定理． 较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性． 教学建议： (1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质． (2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完 备性的六大定理的等价性证明,对较好学生可布置这方面的习题． 教学过程： 在本节中,将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章 2 中给出的闭区间上连续函数的 基本性质. 一、有界性定理 若函数 f 在闭区间 a,b 上连续,则 f 在 a,b 上有界 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107. 证法 二 ( 用致密性定理). 反证法. 证明 如若不然, f (x) 在 [a,b] 上无界,n N, x [a,b]  n  ,使得 | f (xn ) | n ,对于序列 { }n x , 它有上下界 a  xn  b ,致密性定理告诉我们 nk x 使得 [ , ] x x0 a b nk →  ,由 f (x) 在 0 x 连续,及 n nk f x k | ( ) | 有 = = + → | ( ) | lim | ( ) | 0 nk k f x f x , 矛盾. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 参阅[1]P168—169 证明 （应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（th4.2）对每一点 x a,b '  都存 在邻域 (x x ) ' ' ,   及正数 ' M x 使 f (x) M x (x ) a b x x ' , ' , '    