第8页 5.复合函数的变分运算,其法则和微分运算完全相同,只要简单地将微分法则中的“d”换 即可.例如 8F(r, y, y) 3+8y 这里注意,引起F变化的原因,是函数y的变分,而自变量x是不变化的.所以,绝对不会出现 (OF/Ox)6x”项 这些运算法则,当然完全可以毫不困难地推广到多元函数的情形 ·作为完整的泛函极值问题,在列出泛函取极值的必要条件、即Euer- Lagrange方程后,还需 要在给定的定解条件下求解微分方程,才有可能求得极值函数 ·需要注意, Euler- Lagrange方程只是泛函取极值的必要条件,并不是充分必要条件.在给定 的定解条件下,Euer- lagrange方程的解可能不止一个,它们只是极值函数的候选者.到底 哪一(几)个解是要求的极值函数,还需要进一步加以甄别 和求函数极值的情形一样,甄别的方法有两种. ·一种是直接比较所求得的解及其“附近”的函数的泛函值,根据泛函极值的定义加以判断 这种方法不太实用,至少会涉及较多的计算 ·另一种方法是计算泛函的二级变分832J,如果对于所求得的解,泛函的二级变分取正(负) 值,则该解即为极值函数,泛函取极小(大).这种方法当然比较简便,但如果二级变分为0 则需要继续讨论高级变分 ·实际问题往往又特别简单:这就是在给定的边界条件下, Euler- Lagrange方程只有一个解, 同时,从物理或数学内容上又能判断,该泛函的极值一定存在,那么,这时求得的唯一解一 定就是所要求的极值函数Wu Chong-shi §31.2 ø ù ú ❪ ❫ ✡ 8 ☛ 5. ☞➆✜✬✱✯ï ➅Õ ✢❘❉➉ ❵ s ï ➅Õ➼➽✌✍✎✏✑✒✓✔✕✖✗✘✙ ✚✛ ✜ d ✢✣ ✤ ✜ δ ✢✥✦✧★✩✎ δF(x, y, y0 ) = ∂F ∂y δy + ∂F ∂y0 δy 0 . ✪✫✬✭✎✮✯ F ✰✱✛✲✳✎✴✵✶ y ✛ ✰ ✗✎✷ ✸ ✰✹ x ✴✺✰✱✛ ✧✻✼✎✽✾✺✿❀❁ ✜ (∂F /∂x)δx ✢❂✧ ✪❃❄❅✘✙✎❆❇❈❉✦✼❊✺❋●✔❍■❏❑▲✵✶✛▼◆✧ • ❖P❈◗✛❘✵❙❚❯❱✎❲❳❀❘✵❨❙❚✛❩✑❬❭❪✥ Euler–Lagrange ❫❴❵✎❛❜ ✑❲❝❞✛❞❡❬❭❢❣❡✖✗❫❴✎❤✐✦❥❣❦❙❚✵✶✧ • ❜✑✬✭✎ Euler–Lagrange ❫❴✏✴❘✵❨❙❚✛❩✑❬❭✎❧✺✴♠✗❩✑❬❭✧ ❲❝❞ ✛❞❡❬❭❢✎ Euler–Lagrange ❫❴✛❡✦❥✺♥♦♣✎qr✏✴❙❚✵✶✛st✉✧ ❏✈ ✇♦ (①) ♣❡✴✑❣✛❙❚✵✶✎❛❜✑②♦③④✼⑤⑥✧ • ⑦ ❣✵✶❙❚✛▼◆♦⑧✎⑤⑥✛ ❫ ✘✐⑨⑩✧ • ♦⑩✴❶❷ ❸❹✻ ❣❦✛❡❺❻ ✜❼❽✢ ✛✵✶✛❘✵❚✎❾❿❘✵❙❚✛❞➀④✼➁➂✧ ✪⑩❫ ✘✺➃➄➅✎➆➇✿➈❺❹❑✛➉❅✧ • ➊ ♦⑩❫ ✘✴➉❅❘✵✛➋➌✰ ✗ δ 2J ✎ ✩➍✾➎✻ ❣❦✛❡✎❘✵✛➋➌✰ ✗❨➏ (➐) ❚✎✙➑❡✥P❙❚✵✶✎❘✵❨❙➒ (➓) ✧ ✪⑩❫ ✘❆❇ ❸❹✒➔✎→ ✩➍➋➌✰ ✗ P 0 ✎ ✙❜✑➣↔↕➙➛➌✰ ✗ ✧ • ➄➜❯❱➝➝➞➟⑥ ✒✓➠✪➡✴❲❝❞✛➢➤❬❭❢✎ Euler–Lagrange ❫❴✏✐♦♣❡✎ ✍➥✎➦➧➨➩✶➫ ➭➯➲➞❥➁➂✎➑❘✵✛❙❚♦❞➳❲✎➵➸✎✪➥❣❦✛➺♦❡♦ ❞➡✴✻ ✑❣✛❙❚✵✶✧