例12设E(X),E(x2)均存在,证明EX-E(X)2=E(x2)-[E(X)2 证因为[X-E(X)2=X2-2X·E(X)+[E(X),于是 EX-E(x)2=E{X2-2X.E(X)+[E(X)2}=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(O 例13(二项分布的数学期望)若X~b(n,p),求E(X) 解因X~b(n,p),则X表示n重伯努利试验中的“成功”次数 若设x=(如第试验成功 10如第次试验失败=1.2…,m),则x=x1+X2+…+x 因为P{X=1}=p,P{X1=0}=1-P,E(X1)=1·p+0·(1-p)=P 所以E(X)=∑E(X)=m 可见,服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 例14(E08)一民航送各车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到 一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求B()(设每位旅客在各个车站 下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立) j0.在第站没有人下车 解引入随机变XL在第站没有人下、=12-10 易知X=X1+X2+…+X10 现在来求E(X).按题意,任一旅客不在第i站下车的概率为9/10,因此20位旅客都不 在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1-(9/10)20,即 P{X1=0}=(9/1020,PX1=1}=1-(9/10)20,i=12…10 由此E(x1)=1-(9/10)20,i=12.…10进而 E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=101-(9/10)20]=8784(次) 注:本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机 变量数学期望之和来求数学期望的,这种处理方法具有一定的普遍意义 课堂练习 1.设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏假定游戏的规则不公正,以致两人获胜的概率 不等,甲为p,乙为q,p>q,p+q=1.为了补偿乙的不利地位,另行规定两人下的赌注不相 等,甲为a,乙为b,a>b.现在的问题是:a究竟应比b大多少,才能做到公正? 2.某种新药在400名病人中进行临床试验,有一半人服用,一半人未服,经过5天后, 有210人痊愈,其中190人是服了新药的试用概率统计方法说明新药的疗效例 12 设 ( ), ( ) 2 E X E X 均存在，证明 2 2 2 E[X − E(X)] = E(X ) −[E(X)] . 证 因为 [ ( )] 2 ( ) [ ( )] , 2 2 2 X − E X = X − X  E X + E X 于是 [ ( )] { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 2 E X − E X = E X − X  E X + E X 2 2 = E(X ) − 2E(X) E(X) +[E(X)] 例 13 （二项分布的数学期望）若 X ~ b(n, p), 求 E(X). 解 因 X ~ b(n, p), 则 X 表示 n 重伯努利试验中的 “成功” 次数. 若设 ( 1,2, , ) 0, 1, i n i i Xi =     = 如第 次试验失败 如第 次试验成功 , 则 , X = X1 + X2 ++ Xn 因为 P{X 1} p, i = = P{X 0} 1 p, i = = − E(X ) 1 p 0 (1 p) p, i =  +  − = 所以 ( ) ( ) . 1 E X E X np n i = i = = 可见, 服从参数为 n 和 p 的二项分布的随机变量 X 的数学期望是 np. 例 14 (E08) 一民航送各车载有 20 位旅客自机场开出, 旅客有 10 个车站可以下车. 如到 达一个车站没有旅客下车就不停车. 以 X 表示停车的次数, 求 E(X) (设每位旅客在各个车站 下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立). 解 引入随机变量 , 1,2, ,10. 1, 0, =     = i i i Xi 在第 站没有人下车 在第 站没有人下车 易知 . X = X1 + X2 ++ X10 现在来求 E(X). 按题意, 任一旅客不在第 i 站下车的概率为 9/10, 因此 20 位旅客都不 在第 i 站下车的概率为 (9/10) , 20 在第 i 站有人下车的概率为 1 (9/10) , 20 − 即 { 0} (9/10) , 20 P Xi = = { 1} 1 (9/10) , 20 P Xi = = − i =1,2,  ,10. 由此 ( ) 1 (9/10) , 20 E Xi = − i =1,2,  ,10. 进而 ( ) ( ) E X = E X1 + X2 ++ X10 ( ) ( ) ( ) = E X1 + E X2 ++ E X10 10[1 (9/10) ] 8.784 20 = − = (次) 注: 本题是将 X 分解成数个随机变量之和, 然后利用随机变量和的数学期望等于随机 变量数学期望之和来求数学期望的, 这种处理方法具有一定的普遍意义. 课堂练习 1. 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏, 假定游戏的规则不公正, 以致两人获胜的概率 不等,甲为 p , 乙为 q , p  q, p + q =1 . 为了补偿乙的不利地位, 另行规定两人下的赌注不相 等, 甲为 a , 乙为 b , a  b . 现在的问题是: a 究竟应比 b 大多少, 才能做到公正? 2. 某种新药在 400 名病人中进行临床试验，有一半人服用，一半人未服，经过 5 天后， 有 210 人痊愈，其中 190 人是服了新药的. 试用概率统计方法说明新药的疗效