03/83/80 求E(X),E(Y,E(X·Y) 解要求E(X)和E(,需先求出X和y的边缘分布关于X和Y的边缘分布为 X|13 Y|0 P|3/41/4 P1/83/83/81/8 则有E(x)=1×3+3×1=3E()=0×1+1×3+2×32+3×1=3 3 3 E(X.Y)=(1×0)×0+(1×1)×+(1×2)×=+(1×3)×0+(3×0)×+(3×1)×0 +(3×2)×0+(3×3)xx=9/4 例10(E06)设随机变量X在[0,x]上服从均匀分布,求E(smX),E(X2)及 ELX -(XI 解根据随机变量函数数学期望的计算公式,有 E(x)(xkx=三 E(sin X)=sin f(x)dt= sin.ar=(=cos )56=4 E()=x'f(x)dr=x2.dr EIX-E(R=EX 2 例11(E07)设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X(单位吨) 它服从区间[20004000上的均匀分布,每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元;若销 售不出,则每吨商品需贮存费1万元,问应组织多少货源,才能使国家收益最大? 解设组织货源t吨,显然应要求2000≤1≤4000,国家收益Y(单位万元)是X的函数 Y=g(X),表达式为g(X)=14X-1,X<t 设X的概率密度函数为f(x),则∫(x)= 1/2000.2000≤x≤4000 于是Y的期望为 其他 E(r)= g(x)f(x)dx 0020008xar 000 (4x-t)dx+3tdx 21+140001-8×10°) 2000 考虑t的取值使E(Y)达到最大,易得t=3500因此组织3500吨商品为好 数学期望的性质X 1 3 0 1/8 3/8 0 3/8 0 0 1/8 求 E(X), E(Y), E(X Y). 解 要求 E(X) 和 E(Y), 需先求出 X 和 Y 的边缘分布. 关于 X 和 Y 的边缘分布为 3/ 4 1/ 4 1 3 P X 1/8 3/8 3/8 1/8 0 1 2 3 P Y 则有 2 3 4 1 3 4 3 E(X ) =1 +  = 2 3 8 1 3 8 3 2 8 3 1 8 1 E(Y) = 0 +  +  +  = (3 1) 0 8 1 (1 3) 0 (3 0) 8 3 (1 2) 8 3 E(X Y) = (1 0) 0 + (11) +   +   +   +   8 1 + (3 2) 0 + (3 3) = 9 / 4. 例 10 (E06) 设随机变量 X 在 [0, ] 上服从均匀分布, 求 (sin ), ( ) 2 E X E X 及 [ ( )] . 2 E X − E X 解 根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有 , 2 1 ( ) ( ) 0    = =  =   + − E X xf x dx x dx   = =  + −  0  1 E(sin X ) sin xf (x)dx sin dx , 2 ( cos ) | 1 0    = − x = , 3 1 ( ) ( ) 2 0 2 2 2    = =  =   + − E X x f x dx x dx 2 2 2 [ ( )]       − = −  E X E X E X         = −    0 2 1 2 x dx . 12 2  = 例 11 (E07) 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量 X (单位:吨), 它服从区间[2000, 4000]上的均匀分布, 每销售出一吨商品, 可为国家赚取外汇 3 万元;若销 售不出, 则每吨商品需贮存费 1 万元, 问应组织多少货源, 才能使国家收益最大? 解 设组织货源 t 吨, 显然应要求 2000  t  4000, 国家收益 Y (单位:万元)是 X 的函数 Y = g(X), 表达式为 . 4 , 3 , ( )    −   = X t X t t X t g X 设 X 的概率密度函数为 f (x), 则 , 0, 1/ 2000, 2000 4000 ( )      = 其他 x f x 于是 Y 的期望为   = = + − 4000 2000 ( ) 2000 1 E(Y) g(x) f (x)dx g x dx       = − +   4000 2000 (4 ) 3 2000 1 t t x t dx tdx ( 2 14000 8 10 ). 2000 1 2 6 = − t + t −  考虑 t 的取值使 E(Y) 达到最大, 易得 = 3500,  t 因此组织 3500 吨商品为好. 数学期望的性质