答:不对。极限的和的运算法则是指有限项,而这题是一个求无限多项和的极限。因此 不能利用和的运算法则。正确的解法为:∵xn=一2+…+ n-11n(n-1) limx,=lim n(n-1)I 实际上,这个无穷和的极限问题是一个无穷多个无穷小之和的极限问题。无穷多个无穷 小之和仍是无穷小吗?不一定 例(1)问题中的xn=2+2+…+一2说明:无穷多个无穷小之和可以是常数 (2)若x=3+3+…+,则1mx=lim n(n-1) =0。说明:无穷多个无 2n3 穷小之和可以是无穷小。 (3)若x=12 +,2,则lix=lmm(n-1) n22n32=1∞。说明:无穷 多个无穷小之和可以是无穷大 问题7:无穷大量与无界函数,有什么区别和联系? 答:区别:无穷大量是指在自变量的某一变化过程中,对应的函数值的一种变化趋势, 即绝对值无限制地增大。也就是说当自变量变化到某一阶段后的一切x都要满足|∫(x)卜>k (k为事先给定的无论多么大的数)。而无界函数是以否定有界函数来定义的,它反映自变 量在某一范围时,对应的函数值的一种状态,其定义中的不等式f(x)>M,只要求自变 量在此范围内有一个x满足即可(尽管M与k一样,都是任意大的正数)。 联系:如果∫(x)是当x→x0时的无穷大量,则f(x)在点x0附近一定无界;反之不 定成立。例如:f(x)=-sin在(0门上无界,但当x→0时,f(x)不是无穷大量。 证明:取xn= ,有∫(xn)=2nr+,limf(xn)=∞,所以∫(x)无界。 取 ,当n→>∞时,yn→0,而lmf(yn)= lim ntsinnz=0,故 limf(x)≠∞。3 答：不对。极限的和的运算法则是指有限项，而这题是一个求无限多项和的极限。因此， 不能利用和的运算法则。正确的解法为： 2 2 2 1 1 1 ( 1) 2 n n n n x n n n − − = + + =  2 ( 1) 1 lim lim 2 2 n n n n n x → → n −  = = 实际上，这个无穷和的极限问题是一个无穷多个无穷小之和的极限问题。无穷多个无穷 小之和仍是无穷小吗？不一定。 例 (1) 问题中的 2 2 2 1 2 1 n n x n n n − = + + + 说明：无穷多个无穷小之和可以是常数； (2) 若 3 3 3 1 2 1 n n x n n n − = + + + ，则 3 ( 1) lim lim 0 2 n n n n n x → → n − = = 。说明：无穷多个无 穷小之和可以是无穷小。 (3) 若 3/ 2 3/ 2 3/ 2 1 2 1 n n x n n n − = + + + ，则 3/ 2 ( 1) lim lim 2 n n n n n x → → n − = = + 。说明：无穷 多个无穷小之和可以是无穷大。 问题 7：无穷大量与无界函数，有什么区别和联系？ 答：区别：无穷大量是指在自变量的某一变化过程中，对应的函数值的一种变化趋势， 即绝对值无限制地增大。也就是说当自变量变化到某一阶段后的一切 x 都要满足 | ( ) | f x k  （ k 为事先给定的无论多么大的数）。而无界函数是以否定有界函数来定义的，它反映自变 量在某一范围时，对应的函数值的一种状态，其定义中的不等式 | ( ) | f x M ，只要求自变 量在此范围内有一个 x 满足即可(尽管 M 与 k 一样，都是任意大的正数)。 联系：如果 f x( ) 是当 0 x x → 时的无穷大量，则 f x( ) 在点 0 x 附近一定无界；反之不一 定成立。例如： 1 1 f x( ) sin x x = 在 (0,1] 上无界，但当 x 0 → + 时， f x( ) 不是无穷大量。 证明：取 1 2 2 n x n   = + ，有 ( ) 2 2 n f x n  = +  ，lim ( ) n n f x → =  ，所以 f x( ) 无界。 取 1 n y n = ，当 n → 时， 0 n y → ，而 lim ( ) lim sin 0 n n n f y n n   → → = = ，故 0 lim ( ) x f x →  