,320 北京科技大学学报 第32卷 型的建立基于溶质传输及枝晶尖端稳定性的分析， 枝晶前沿的界面形状并不是作为已知条件进行求 1=1=-P.em(n)了 解，需要通过一种自洽的方式使界面形状在生长中 C4m,(-=0 (10) 保持不变，严格的形状恒定求解非常复杂，求解结 D 果表明它非常接近一个旋转抛物面.Invanstov首 式中，9为比热容，kg·K:Gn为枝晶尖端的固 先对这一旋转抛物面模型进行了严格的数学求解， 液相温度梯度，K·m,Gm为枝晶尖端的液相温度 得到： 梯度，Km;入为固相传导系数，Wm.K;入 a-g =v(P) 为液相传导系数，Wm.K;L为潜热，kg. 若枝晶生长速率V已知，则由方程(10)可以得 其中Invanstov函数v(P.)的表达式为： 到P,因此枝晶尖端半径R和固液界面前沿处枝晶 v(P.)=P.·exp(P.)· exp(dz (2) 间溶质浓度C可分别从方程(3)和(1)计算得到. Z 连铸过程的枝晶生长速率的获得与铸造过程有 溶质Pecleti准数P.和热Peclet准数P,分别为 较大区别：连铸过程中枝晶生长速率V在很大程度 P=RV/(2DL) (3) 上取决于拉速V。由于拉速为一矢量，其必然有作 P=RV/(2a) (4) 用于枝晶生长方向的分支，如图1所示，拉速与拉坯 Langer和MullerK nmbnaar根据界面稳定性理论[) 方向平行，将拉速分解为垂直于液相等温面和切于 提出将R=入作为另一个约束条件⑧，其中入。为 液相等温面的两个分量，其中热流方向与液相等温 最小临界扰动波长·这一条件可以写成如下形式： 面垂直，该方向的分量即被认为是枝晶生长方向，该 R=入.= (5) 方向拉速的大小即为促使枝晶生长的速率的大小， No(mG.5。-Gr) 在本文模拟计算时，为了简化计算，采用图1(b)中 式中，C为初始成分的质量分数，%；C为固液界 的枝晶生长方式进行计算，即假设枝晶尖端生长与 面处液相成分的质量分数，%；2.为溶质的量纲为1 该尖端在液相等温面处的切线相垂直，假定液相等 的过饱和度；R为枝晶尖端半径，m;V为枝晶尖端生 温线的斜率方程为f(x),其中x为距弯月面的距 长速率，m·s;哈M为平衡分配系数，中为铁素体6 离，液相等温线可由计算连铸凝固温度场获得)， 相和奥氏体Y相；m为液相线斜率；G。为固液界面 则枝晶生长速率可由下式获得： 处的质量分数梯度，%·m；Gr为温度梯度，K· V-V. ( m;入.为最小扰动波长，mD为液相扩散系数， (11) N1+((x) m2.sa为液相热扩散系数，m2.s:下为吉布 固相等温线 液相等温线 斯汤姆森系数，K·m;o为稳定性常数；气。为 Peclet准数P.的函数， 若考虑枝晶尖端的溶质平衡有： 一G.D=V(C-C) (6) 液相 同理，若考虑尖端的热平衡有： 、固相 两相区 一Gma=L/G (7) 尖端的平均温度梯度G可以表示为： 一拉速 一枝品生长速率 入sGs十入LGm G 入十入 (8) 图】枝晶生长速率与拉速的关系 假设固液两相的导热系数相同，并且考虑到在 Fig 1 Relationshp between dendrite growth velocity and casting Invanstov解中枝晶生长是一个等温面(Gs=O),则 speed 由以上两式可以得到： 1.2微观偏析模型 (9) 溶质平衡分配系数、冷却速率、反向扩散速率 联立方程(1)~(6)和(9)河以得到如下表达式： (即溶质在固相中的扩散系数)和枝晶臂粗化速率 r.V 1 L 等均影响微观偏析·微观偏析模型是合金凝固体系 4o·(D.)2p2a6 宏观模型的必要组成部分，同时与枝晶组织生长也北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 型的建立基于溶质传输及枝晶尖端稳定性的分析． 枝晶前沿的界面形状并不是作为已知条件进行求 解‚需要通过一种自洽的方式使界面形状在生长中 保持不变．严格的形状恒定求解非常复杂‚求解结 果表明它非常接近一个旋转抛物面．Ｉｎｖａｎｓｔｏｖ ［6］首 先对这一旋转抛物面模型进行了严格的数学求解‚ 得到： Ωｃ≡ Ｃ ∗ Ｌ —Ｃ0 Ｃ ∗ Ｌ （1—ｋ ●／Ｌ 0 ） ＝Ｉｖ（Ｐｃ） （1） 其中 Ｉｎｖａｎｓｔｏｖ函数 Ｉｖ（Ｐｃ）的表达式为： Ｉｖ（Ｐｃ）＝Ｐｃ·ｅｘｐ（Ｐｃ）·∫ ∞ Ｐｃ ｅｘｐ（—ｚ） ｚ ｄｚ （2） 溶质 Ｐéｃｌｅｔ准数 Ｐｃ和热 Ｐéｃｌｅｔ准数 Ｐｔ分别为 Ｐｃ≡ＲＶ／（2ＤＬ） （3） Ｐｔ≡ＲＶ／（2αＬ） （4） Ｌａｎｇｅｒ和 Ｍｕｌｌｅｒ-Ｋｒｕｍｂｎａａｒ根据界面稳定性理论 ［7］ 提出将 Ｒ＝λｃ作为另一个约束条件 ［8］‚其中 λｃ为 最小临界扰动波长．这一条件可以写成如下形式： Ｒ＝λｃ＝ Γ σ ∗ （ｍＬＧｃξｃ—ＧＴ） （5） 式中‚Ｃ0为初始成分的质量分数‚％；Ｃ ∗ Ｌ 为固液界 面处液相成分的质量分数‚％；Ωｃ为溶质的量纲为1 的过饱和度；Ｒ为枝晶尖端半径‚ｍ；Ｖ为枝晶尖端生 长速率‚ｍ·ｓ —1；ｋ ●／Ｌ 0 为平衡分配系数‚●为铁素体 δ 相和奥氏体 γ相；ｍＬ为液相线斜率；Ｇｃ为固液界面 处的质量分数梯度‚％·ｍ —1；ＧＴ 为温度梯度‚Ｋ· ｍ —1；λｃ为最小扰动波长‚ｍ；ＤＬ 为液相扩散系数‚ ｍ 2·ｓ —1；αＬ 为液相热扩散系数‚ｍ 2·ｓ —1；Γ为吉布 斯--汤姆森系数‚Ｋ·ｍ；σ ∗ 为稳定性常数；ξｃ 为 Ｐéｃｌｅｔ准数 Ｐｃ的函数． 若考虑枝晶尖端的溶质平衡有： —ＧｃＤＬ＝Ｖ（Ｃ ∗ Ｌ —Ｃ ∗ Ｓ ） （6） 同理‚若考虑尖端的热平衡有： —ＧＴＬαＬ＝ＶＬ／ｃｐ （7） 尖端的平均温度梯度 ＧＴ可以表示为： ＧＴ＝ λＳＧＴＳ＋λＬＧＴＬ λＳ＋λＬ （8） 假设固液两相的导热系数相同‚并且考虑到在 Ｉｎｖａｎｓｔｏｖ解中枝晶生长是一个等温面 （ＧＳ ＝0）‚则 由以上两式可以得到： ＧＴ＝ —ＰｔＬ Ｒｃｐ （9） 联立方程 （1）～（6）和 （9）可以得到如下表达式： Γ·Ｖ 4σ ∗·（ＤＬ） 2· 1 Ｐ 2 ｃ — Ｌ 2αＬｃｐ · 1—（1—ｋ ●／Ｌ 0 ）·Ｐｃ·ｅｘｐ（ｐｃ）·∫ ∞ Ｐｃ ｅｘｐ（—ｚ） ｚ ｄｚ — Ｃ0·ｍＬ·ξｃ·（ｋ ●／Ｌ 0 —1） ＤＬ ＝0 （10） 式中‚ｃｐ为比热容‚Ｊ·ｋｇ —1·Ｋ —1；ＧＴＳ为枝晶尖端的固 液相温度梯度‚Ｋ·ｍ —1‚ＧＴＬ为枝晶尖端的液相温度 梯度‚Ｋ·ｍ —1；λＳ为固相传导系数‚Ｗ·ｍ —1·Ｋ —1；λＬ 为液相传导系数‚Ｗ·ｍ —1·Ｋ —1；Ｌ为潜热‚Ｊ·ｋｇ —1． 若枝晶生长速率 Ｖ已知‚则由方程 （10）可以得 到 Ｐｃ‚因此枝晶尖端半径 Ｒ和固液界面前沿处枝晶 间溶质浓度 Ｃ ∗ Ｌ 可分别从方程 （3）和 （1）计算得到． 连铸过程的枝晶生长速率的获得与铸造过程有 较大区别：连铸过程中枝晶生长速率 Ｖ在很大程度 上取决于拉速 Ｖｃ．由于拉速为一矢量‚其必然有作 用于枝晶生长方向的分支‚如图 1所示‚拉速与拉坯 方向平行‚将拉速分解为垂直于液相等温面和切于 液相等温面的两个分量‚其中热流方向与液相等温 面垂直‚该方向的分量即被认为是枝晶生长方向‚该 方向拉速的大小即为促使枝晶生长的速率的大小． 在本文模拟计算时‚为了简化计算‚采用图 1（ｂ）中 的枝晶生长方式进行计算‚即假设枝晶尖端生长与 该尖端在液相等温面处的切线相垂直．假定液相等 温线的斜率方程为 ｆ′Ｌ （ｘ）‚其中 ｘ为距弯月面的距 离‚液相等温线可由计算连铸凝固温度场获得 ［9］‚ 则枝晶生长速率可由下式获得： Ｖ＝Ｖｃ ｆ′Ｌ（ｘ） 1＋（ｆ′Ｌ（ｘ）） 2 （11） 图 1 枝晶生长速率与拉速的关系 Ｆｉｇ．1 Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｄｅｎｄｒｉｔｅｇｒｏｗｔｈｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｃａｓｔｉｎｇ ｓｐｅｅｄ 1∙2 微观偏析模型 溶质平衡分配系数、冷却速率、反向扩散速率 （即溶质在固相中的扩散系数 ）和枝晶臂粗化速率 等均影响微观偏析．微观偏析模型是合金凝固体系 宏观模型的必要组成部分‚同时与枝晶组织生长也 ·320·