(1)平面和球面都是全脐点曲面 (2)平面上任一点都为平点,球面上任一点的法曲率与方向无关 29.试证明:直纹面的高斯曲率K≤0 30.求椭球旋转面r=( a cos using, a sinu sinv, C cost)的高斯曲率 补充题 1.求曲面上参数曲线(u曲线和V曲线)的第二部分角轨线的微分方程 2.在曲面r=r(u,v)上任一点P处,求两个切向量el,e2,使之构成曲面的单 位正交参数(坐标)系。 3.证明:坐标曲线与任意曲线的交角公式为: 线 Edu+ Fdv Eds 线 Fdu+ gdv COS √Gds 4.证明:曲面上的点是脐点的充要条件为H2=K。 部分习题和补充题解答 习题 1. n=(bc cos p cose, ac sin (p cos 0, ab sin e u n=( b(u+v), a(v-u)-ab) 5. n=(f'cosv-fsinv, )/v1+f 6. n=(f'sin v, - f'cosv, u); n(p-r)=0; P-r=in 8.(fx,fy-1) 13(1)(cosu-vsin u, sin u+ v cos u-v)/v1+2v ().(sin A, cos e, sin v+ucos, v+u) 16. r=(cosv-usin v, sinv+ ucos, v+u) 18.(1)1+c2dy2+v2du2 (2)(f+b )du'+2bg'dudv+(f/ -+g )dv (4)(ashu+b ch u)du+b sh udv2 (5)(V2+2)du2+dv2; (6)f2du2+(f2+gt2)du2 ()(a+rcosv)du +rdv 21.cos阝= /a(du+dv)(1) 平面和球面都是全脐点曲面： (2) 平面上任一点都为平点，球面上任一点的法曲率与方向无关。 29. 试证明：直纹面的高斯曲率 K  0. 30. 求椭球旋转面 r = (a cosusinv, a sinu sinv, c cosv) 的高斯曲率。 补充题 1. 求曲面上参数曲线（u 曲线和 V 曲线）的第二部分角轨线的微分方程。 2. 在曲面 r = r(u, v) 上任一点处，求两个切向量 e1,e2，使之构成曲面的单 位正交参数（坐标）系。 3. 证明：坐标曲线与任意曲线的交角公式为： u 线： cos , Edu Fdv Eds + v 线： cos , Fdu Gdv Gds + 4. 证明：曲面上的点是脐点的充要条件为 H2=K。 部分习题和补充题解答 习题 1. n = (bc cos cos, ac sin cos, ab sin). 4. n u a v b = − − n b u v a v u ab       = + − − 2 2 , ,1 ; ( ( ), ( ), ) . 5. n f v f v f  = (−  cos ,− sin ,) / 1+  2 . 6. n = (f'sin v,−f' cos v, u); n( − r) = 0; − r = n . 8. (f  ,f  ,− ) x y 1 13. (1) (cosu− v sin u,sin u+ v cosu,−v) / 1+ 2v 2 (2) (−v,−u,1) / 1+ u + v ; 2 2 (3). (sin, cos,sin v + u cosv, v + u). 16. r = (cosv− u sin v,sin v+ u cosv, v+ u). 18. (1) 1 2 2 2 2 + c dv + v du ; (2) (f b )du bg dudv (f g )dv 2 2 2 2 2 2 + + 2  +  +  (3) (a c )sh udu a ch udv 2 2 2 2 2 2 2 + + ; (4) (a sh u b ch u)du b sh udv 2 2 2 2 2 2 2 2 + + ; (5) (V )du dv 2 2 2 2 +  + ; (6) f du f g du 2 2 2 2 2 + (  +  ) ; (7) (a + r cosv) du + r dv 2 2 2 2 20. shl. 21. cos = − + a a 2 2 1 1 . 22. −du a du + dv 2 2 2 / ( )