习题与补充题 习题 1.证明曲面r= (acosop cose, bsin(p cos,csinθ)是椭球面,并求其法向量,切平 面及曲线坐标。 2.求圆锥的参数方程和它的切平面。 3.证明曲面 (1)r=u,v 是椭圆抛物面 (2)r(a(u+v),b(u-V,2vu)是双曲抛物面。 4.求题3中各曲面的法向量和切平面。 5.求旋转曲面r( ucos, using,fu)(0<v<2π)的单位法向量。 6.求劈锥面r=(ucos, using,fu)的切平面和法线方程 7.证明一曲面是球面的充要条件是它的所有法线通过一定点 8.设曲面的表示式为z=f(xy),求它的法向量 9求双曲抛物面r=(u+v,u-v,u)在u=1,v=-1点处的单位法向量和切平面 方程 0.证明:旋转面r(f( v )cosu, f(v)sinu,g(v)g(v)0)上任一点所作的法线 定和z轴相交 11.用构造准线C和母线的方向向量的方法证明正螺面r( rose, sine,ae+b) 是直纹面。 12.用题11的方法,证明下列曲面是直纹面: (1)单叶双曲面 (2)双曲抛物面 =2Z 13.求下列直纹面的单位法向量 (1)单叶双曲面r=(cosu- vsinu,sinu+ vcoS,v) (2)双曲抛物面r=(u,v,u) (3)劈锥曲面r=( whose(u, sine(u),u) 14.证明:曲面 r=(cos-(u+ v)sinv,sinv+(u+ v )cost,u+2v)是可展曲面。 15.证明:曲面 r=u2+y,3u2+uv,u2+2u2y是可展曲面。 16.求圆柱螺线r=(cosv,sinv,w)的切线面方程。 17.证明:下列曲面是非可展直纹面: (1)双曲抛物面(abu≠0)
习题与补充题 习题 1. 证明曲面 r=(acoscos, bsincos, csin)是椭球面，并求其法向量，切平 面及曲线坐标。 2. 求圆锥的参数方程和它的切平面。 3. 证明曲面 （1） r u v u a v b = + , , 1 2 2 2 2 2 是椭圆抛物面； （2）r=(a(u+v), b(u-v, 2vu))是双曲抛物面。 4. 求题 3 中各曲面的法向量和切平面。 5. 求旋转曲面 r=(ucosv, usinv, f(u)) (0<v<2)的单位法向量。 6. 求劈锥面 r=(ucosv, usinv, f(u))的切平面和法线方程。 7. 证明一曲面是球面的充要条件是它的所有法线通过一定点。 8. 设曲面的表示式为 z=f(x,y)，求它的法向量。 9. 求双曲抛物面 r=(u+v, u-v, uv)在 u=1, v=－1 点处的单位法向量和切平面 方程。 10. 证明：旋转面 r=(f(v)cosu, f(v)sinu, g(v))(g(v)0)上任一点所作的法线一 定和 z 轴相交。 11. 用构造准线C和母线的方向向量的方法证明正螺面r=(rcos, rsin, a+b) 是直纹面。 12. 用题 11 的方法，证明下列曲面是直纹面： （1）单叶双曲面 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + − = 1 （2）双曲抛物面 x a y b z 2 2 2 2 − = 2 13. 求下列直纹面的单位法向量： （1）单叶双曲面 r=(cosu-vsinu, sinu+vcosu, v); （2）双曲抛物面 r=(u, v, uv); （3）劈锥曲面 r=(vcos(u),vsin (u), u) 14. 证明：曲面 r = (cosv－(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv, u+2v)是可展曲面。 15. 证明：曲面 r = u + v + uv + u v 2 1 2 3 2 3 , 3u , u 2 4 是可展曲面。 16. 求圆柱螺线 r=(cosv, sinv, v)的切线面方程。 17. 证明：下列曲面是非可展直纹面： （1）双曲抛物面（abu0）
r=(a(+v), b(u-v), 2uv); (2)正螺面(b≠0) r=(vcos, vsinu, bu) 18.求下列各曲面的第一基本形式 (1)圆锥面r=( vcOS, vsinu,cv), (2)螺旋面r=(f(v)cosu,f(v)sinu,g(u)+bu), (3)单叶双曲面r=( a chu cosv, a chu sinv,cchu) (4)双叶双曲央r=(achu, b shu cosy, b shu shiv) 5)劈锥曲面r=( cosu, vsinu,o(u) (6)旋转面r=(f(v)kosu,f( v)sinu,g(v) (7)环面r( a+rcosv )cosu, (atrcosv )sinu, rsinv) 19.已知曲面的第一基本形式为 ds=du +f(u, v)dv 证明:()u曲线和v曲线正交; (2)任意两条u曲线被ⅴ曲线截成等长的弧,即(u,o)到(u2,Vo)的弧长与vo 无关。 20.已知曲面S的第一基本形式为 求S上的曲线Cu=tV(0≤t≤1)弧长。 21.已知曲面S的第一基本形式为 求S上两条曲线C1:u+v=0和C2:u-y=0在交点(0,0)处的交角 2.求圆柱面r=acos,asin2,y的法曲率。 23.试证明:在曲面上的一点,任何两个正交方向的法曲率之和相等 24.求下列曲面的第二基本形式 (1)正螺面r=( V COS U, v SIn u,bu) (2)MIll r=((a+r cos v)cosu, (a+r cosv)sin u, r sinv): (3)双曲抛物面r=(a(u+v),b(u-v),2uv) 25.证明:曲面是平面的充要条件是L=M=N=0. 26.试证明:在半径为a的球面上,高斯曲率和平均曲率都是常数。 27.求下列曲面的高斯曲率和平均曲率 (1)旋转曲面r=(g(t)cos0,g(t)sine,f(t) (2)正螺面r=( v cOS u, viN u,bu) (3)螺面r=( u cos v. usin v,u+v); 28.试证明
r = (a (+v), b (u-v), 2uv); （2）正螺面 (b0) r = (vcosu, vsinu, bu) 18. 求下列各曲面的第一基本形式： (1) 圆锥面 r = (vcosu, vsinu, cv); (2) 螺旋面 r = (f (v) cosu, f (v) sinu, g (u)+bu); (3)单叶双曲面 r = (a chu cosv, a chu sinv, c chu); (4)双叶双曲央 r = (a chu, b shu cosv, b shu shiv); (5)劈锥曲面 r = (vcosu, vsinu, (u))； (6)旋转面 r = (f (v)cosu, f (v)sinu, g (v)); (7) 环面 r=((a+rcosv)cosu,(a+rcosv)sinu,rsinv)。 19. 已知曲面的第一基本形式为 ds du f u v dv 2 2 2 = + ( , ) ， 证明：(1)u 曲线和 v 曲线正交； (2) 任意两条 u 曲线被 v 曲线截成等长的弧，即(u1,v0)到(u2,v0)的弧长与 v0 无关。 20. 已知曲面 S 的第一基本形式为 ds du sh udv 2 2 2 2 = + , 求 S 上的曲线 C:u = t, v(0 t 1) 弧长。 21. 已知曲面 S 的第一基本形式为 ds du u a dv 2 2 2 2 2 = + ( + ) , 求 S 上两条曲线 C1 : u + v = 0 和 C2 : u − v = 0 在交点(0,0)处的交角。 22. 求圆柱面 r a u a a u a = v cos , sin , 的法曲率。 23. 试证明：在曲面上的一点，任何两个正交方向的法曲率之和相等。 24. 求下列曲面的第二基本形式 (1) 正螺面 r = (v cosu, v sin u, bu) ； (2) 环面 r = ((a + r cosv) cosu,(a + r cosv)sin u,r sin v) ； (3) 双曲抛物面 r = (a(u+ v), b(u− v),2uv). 25. 证明：曲面是平面的充要条件是 L=M=N=0. 26. 试证明：在半径为 a 的球面上，高斯曲率和平均曲率都是常数。 27. 求下列曲面的高斯曲率和平均曲率： (1) 旋转曲面 r = (g(t) cos, g(t)sin,f(t) ； (2) 正螺面 r = (v cosu, v sin u, bu) ； (3) 螺面 r = (u cosv, u sin v, u+ v) ； 28. 试证明：
(1)平面和球面都是全脐点曲面 (2)平面上任一点都为平点,球面上任一点的法曲率与方向无关 29.试证明:直纹面的高斯曲率K≤0 30.求椭球旋转面r=( a cos using, a sinu sinv, C cost)的高斯曲率 补充题 1.求曲面上参数曲线(u曲线和V曲线)的第二部分角轨线的微分方程 2.在曲面r=r(u,v)上任一点P处,求两个切向量el,e2,使之构成曲面的单 位正交参数(坐标)系。 3.证明:坐标曲线与任意曲线的交角公式为: 线 Edu+ Fdv Eds 线 Fdu+ gdv COS √Gds 4.证明:曲面上的点是脐点的充要条件为H2=K。 部分习题和补充题解答 习题 1. n=(bc cos p cose, ac sin (p cos 0, ab sin e u n=( b(u+v), a(v-u)-ab) 5. n=(f'cosv-fsinv, )/v1+f 6. n=(f'sin v, - f'cosv, u); n(p-r)=0; P-r=in 8.(fx,fy-1) 13(1)(cosu-vsin u, sin u+ v cos u-v)/v1+2v ().(sin A, cos e, sin v+ucos, v+u) 16. r=(cosv-usin v, sinv+ ucos, v+u) 18.(1)1+c2dy2+v2du2 (2)(f+b )du'+2bg'dudv+(f/ -+g )dv (4)(ashu+b ch u)du+b sh udv2 (5)(V2+2)du2+dv2; (6)f2du2+(f2+gt2)du2 ()(a+rcosv)du +rdv 21.cos阝= /a(du+dv)
(1) 平面和球面都是全脐点曲面： (2) 平面上任一点都为平点，球面上任一点的法曲率与方向无关。 29. 试证明：直纹面的高斯曲率 K 0. 30. 求椭球旋转面 r = (a cosusinv, a sinu sinv, c cosv) 的高斯曲率。 补充题 1. 求曲面上参数曲线（u 曲线和 V 曲线）的第二部分角轨线的微分方程。 2. 在曲面 r = r(u, v) 上任一点处，求两个切向量 e1,e2，使之构成曲面的单 位正交参数（坐标）系。 3. 证明：坐标曲线与任意曲线的交角公式为： u 线： cos , Edu Fdv Eds + v 线： cos , Fdu Gdv Gds + 4. 证明：曲面上的点是脐点的充要条件为 H2=K。 部分习题和补充题解答 习题 1. n = (bc cos cos, ac sin cos, ab sin). 4. n u a v b = − − n b u v a v u ab = + − − 2 2 , ,1 ; ( ( ), ( ), ) . 5. n f v f v f = (− cos ,− sin ,) / 1+ 2 . 6. n = (f'sin v,−f' cos v, u); n( − r) = 0; − r = n . 8. (f ,f ,− ) x y 1 13. (1) (cosu− v sin u,sin u+ v cosu,−v) / 1+ 2v 2 (2) (−v,−u,1) / 1+ u + v ; 2 2 (3). (sin, cos,sin v + u cosv, v + u). 16. r = (cosv− u sin v,sin v+ u cosv, v+ u). 18. (1) 1 2 2 2 2 + c dv + v du ; (2) (f b )du bg dudv (f g )dv 2 2 2 2 2 2 + + 2 + + (3) (a c )sh udu a ch udv 2 2 2 2 2 2 2 + + ; (4) (a sh u b ch u)du b sh udv 2 2 2 2 2 2 2 2 + + ; (5) (V )du dv 2 2 2 2 + + ; (6) f du f g du 2 2 2 2 2 + ( + ) ; (7) (a + r cosv) du + r dv 2 2 2 2 20. shl. 21. cos = − + a a 2 2 1 1 . 22. −du a du + dv 2 2 2 / ( )
23.利用欧拉公式 24.(1)、2 bdudv cosa+rcosv 26.K=1/R=H 27.(1) K=f(gf"-g"f)/g( g(g"f'-f"g')/f'(g"2+f2)]/2g(g (2)K=-b2/(b2+y2)2;H=0, (3)K=-1/(1+2u2)2;H=(u2+1)/(2u2+1) 29N=0.Il=M2,I>0 30. K=c /(a-cos'v+cosin v) 补充题 1.√Edu±√Gdvy=0 将 {ru,r、} Schm 正 交 n/√E; Er)√EG-F 3.u线δv= 4.H2=(1+22)2/4=K=入
23. 利用欧拉公式. 24. (1) − + − 2 2 2 bdudv 2 b v ; (2) - cosv(a + rcosv)du rdv ; 2 (3) −4 + + + − 2 2 2 2 2 2 ab / a b b (u v) a (u v) 26. K=1/R=H. 27. (1) K f g f g f g g f H g g f f g f g f g g f = − + = − + + ( ) / ( ) ; [ ( ) / ( )]/ ( ) ; / 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 (2) K = −b b + v H = 2 2 2 2 / ( ) ; 0; (3) K = −1 1+ 2u H = u +1 2u +1 2 2 2 2 3 2 / ( ) ; ( ) / ( ) / . 29. N=0. II=-M2 , I>0. 30. K=c2 /(a2cos2v+c2 sin2v)2 . 补充题 1. Edu Gdv = 0. 2. 将 {r ,r }Schmidi u v 正交化， e1 r u E Fru E Er v EG F 2 = / ; e 2 = (− / ,+ ) − . 3. u 线v=0. 4. H K 2 1 2 2 = + 4 = = 1 2 1 = 2 ( ) /