《数学分析》第一讲 函数概念

第一章实数与函数概述 第一章函数概述 第一讲函数概念 课后作业 阅读:第一章11-1.5pp. 自学: 练习 作业pp3-4习题11:2;7 pp7-8习题1.2:1.(3),(4);3.(3)(4);4;7;8 pp12习题13:5;911 pp19-20习题1.4:1 pp25-26习题1.5:1.(2),(1)2.(6);3.(2)5.(1) 第1章(综合题)1,4 11函数的概念与属性 函数概念 定义11:(一元函数定义)设非空集合D∈R 如果x∈D,按确定关系∫,卫实数y与其对应,记作y=f(x) 则称∫为D上的一个函数。 称x为自变量,y为因变量D为函数∫的定义域用Df)表示 也可记成f:D→R 集合:{v∈R:y=f(x)x∈D}称为函数∫的值域记作f(D) 二:函数的代数属性: 如何利用函数符号来描述函数的特性。 1奇函数与偶函数 x∈D(),f(-x)=f(x),则称∫为偶函数 x∈D(f),f(-x)=-f(x),则称∫为奇函数 2单调函数 Vx,x2∈D,xf(x2)(f(x1)≥f(x2) 则称∫在D上为单调减少函数单调非增函数 3周期函数 彐T>0T,vx∈D(f),f(x+7)=f(x) 则称∫是以T为周期的周期函数 若∫有的最小正周期T,则T是f的周期 并不是所有的周期函数都有最小周期例如考察狄利克函数 为有理数 0,x为无理数 4有界函数 若彐M>0,使得x∈D|f(x)≤M,称∫是D上有界函数 5凸函数 f∫:→>R,∫是I上的凸函数弦在曲线之上 兮3x,x2∈f(Ax+ux2)≤4f(x)+f(x2),VAH20,2+H 三复合函数与反函数 1复合函数 第一章实数与函数概述

第一章 实数与函数概述 第一章 实数与函数概述 第一章 函数概述 第一讲 函数概念 课后作业： 阅读：第一章 1.1--- 1.5 pp.1—25, 自学： 练习 作业 pp3--4 习题 1.1: 2; 7 pp7--8 习题 1.2: 1.(3), (4); 3.(3), (4); 4; 7; 8 pp12 习题 1.3 : 5; 9; 11 pp19-20 习题 1.4 : 1. pp25-26 习题 1.5 : 1. (2), (11); 2. (6); 3. (2) 5. (1) 第 1 章 (综合题) 1, 4 1.1 函数的概念与属性 一 函数概念 定义 1.1: (一元函数定义) 设非空集合 D R . 如果  x D,按确定关系 f , ! 实数 y 与其对应, 记作 y = f (x), 则称 f 为 D 上的一个函数。 称 x 为自变量, y 为因变量. D 为函数 f 的定义域,用 D( f ) 表示. 也可记成 f : D → R 。 集合： yR: y = f (x), xD 称为函数 f 的值域,记作 f (D) . 二 :函数的代数属性: 如何利用函数符号来描述函数的特性。 1 奇函数与偶函数  x D( f ), f (−x) = f (x), 则称 f 为偶函数;  x D( f ), f (−x) = − f (x),则称 f 为奇函数. 2 单调函数  x1 x2 , D, x1  x2  ( ) ( ) 1 x2 f x  f ( ( ) ( ) 1 x2 f x  f ), 则称 f 在 D 上为单调增加函数(单调非减函数);  x1 x2 , D, x1  x2  ( ) ( ) 1 x2 f x  f ( ( ) ( ) 1 x2 f x  f ), 则称 f 在 D 上为单调减少函数(单调非增函数); 3 周期函数 T  0 T ,  x D( f ), f (x +T) = f (x), 则称 f 是以 T 为周期的周期函数. 若 f 有的最小正周期 T , 则 T 是 f 的周期. 并不是所有的周期函数都有最小周期,例如考察狄利克函数    = 为无理数 为有理数 x x x 0, 1, ( ) 4 有界函数 若  M >0,使得  x D| f (x)| M, 称 f 是 D 上有界函数 5 凸函数 f : I → R, f 是 I 上的凸函数  弦在曲线之上   x x I 1 2 , ( ) ( ) 1 2 1 2 f (x +  x )   f x +  f x , ,  0, +  = 1 三 复合函数与反函数 1 复合函数

第一章实数与函数概述 设∫:D→f(D),g:f(D)→R 则g°f:D→R,(f°gx)=8(f(x)(x∈D) 称为由g与∫复合而成的复合函数 反函数 在函数概念中要求函数必须是单值的.即x=x2→f(x1)=f(x2) 但是,x≠x2不一定有f(x)≠f(x2) 如果x≠x2→f(x)≠f(x2),则在定义域D与值域f(D)之间 yy∈f(D),彐!x∈D,y=f(x).可以将x看作y的函数这个函数关系是 将原来的函数y=f(x)中的自变量与因变量颠倒过来而构成的函数关系所以 把这个函数称为y=f(x)的反函数记作x=厂(y) 由定义可以知道,反函数厂的定义域是函数∫的值域f(D) 厂的值域是函数∫的定义域D 13初等函数与非初等函数 基本初等函数 1常值函数 2幂函数f(x)=x° 3指数函数f(x)=a2(a>0) 4对数函数: f(x)=log x(x>0) f(x=lgx(x>0) f(x)=hx(x>0)(其中e是某个无理数将在下一章介绍) 5三角函数 Snx,cosx,tanx,cotx,secx和cScx都是周期函数 6反三角函数 arcsin x arccos x, arctan x fu arc cot x 二初等函数例举 从基本初等函数出发经过四则运算,复合运算得到的函数 称为初等函数 三非初等函数例举 分段初等函数 四函数表示的其他分类: (1)显函数,y=f(x) (2)隐函数由方程∫(x,y)=0确定的函数 (3)参数方程确定的函数: =x(1) y=y(1) 例题 例一:作函数y== arcsin sin x|的图形 例二;给定N个集合X,i=1,2…,N 若f:X1→{0,},f(x) fx∈X 0, ifeX <G()=Max(x)), L(x)= Min(x)), 求G()=?()=? 第一章实数与函数概述

第一章 实数与函数概述 第一章 实数与函数概述 设 f : D → f (D), g : f (D) → R , 则 g  f : D → R, (f  g)(x):= g( f (x)),(xD) 称为由 g 与 f 复合而成的复合函数. 2 反函数 在函数概念中要求函数必须是单值的. 即 ( ) ( ) 1 2 1 2 x = x  f x = f x ; 但是, 1 2 x  x 不一定有 ( ) ( ) 1 2 f x  f x 。 如 果 ( ) ( ) 1 2 1 2 x  x  f x  f x , 则在定义域 D 与值域 f (D) 之 间  y  f (D) , ! xD, y = f (x). 可以将 x 看作 y 的函数.这个函数关系是 将原来的函数 y = f (x) 中的自变量与因变量颠倒过来而构成的函数关系,所以 把这个函数称为 y = f (x) 的反函数,记作 x = f y −1 ( ). 由定义可以知道,反函数 −1 f 的定义域是函数 f 的值域 f (D) ; −1 f 的值域是函数 f 的定义域 D . 1.3 初等函数与非初等函数 一 基本初等函数 1 常值函数 2 幂函数 P f (x) = x 3 指数函数 f (x) = a (a  0) x 4 对数函数: f (x) = log x (x  0) a ; f (x) = lg x (x  0) ; f (x) = ln x (x  0) .(其中 e 是某个无理数,将在下一章介绍) 5 三角函数 sin x, cos x , tan x , cot x ,sec x 和 csc x 都是周期函数. 6 反三角函数 arcsin x , arccos x, arctan x 和 arc cot x 二 初等函数例举 从基本初等函数出发,经过四则运算,复合运算得到的函数 称为初等函数. 三 非初等函数例举 分段初等函数 四 函数表示的其他分类： (1) 显函数, y = f (x) (2) 隐函数 由方程 f (x, y) = 0 确定的函数 (3) 参数方程确定的函数:    = = ( ) ( ) y y t x x t 例 题： 例一；作函数       y = x 2 arcsin sin 2   的图形 例二；给定 N 个集合 Xi ,i =1,2 ,N , 若 : →{0,1} i Xi f , ( )      = i i if x X if x X f x 0, 1, , 令 G(x) Maxf i (x) iN = 1 , L(x) Minf i (x) iN = 1 , 求 (1) ? 1 = − G (1) ? 1 = − L

第一章实数与函数概述 解(G0=410(6)+-xx=0x 例三;若f(x)单调增,且ⅵxr,f(x)≤g(x)证明:f(f(x)≤g(g(x)。 解:∵f个:f(x)≤g(x)→∫((x)≤f(g(x) g(x)=g(x)→f(g(x)≤g(g(x) →f((x)≤f(g(x)≤g(g(x2) 例四:若f:R→R,且满足条件:vu,v∈R()-f(v)≤km-v,证明: F(x)=f(x)+kx是单调增函数 证明:Wl≤v,F(v)-F()=((v)-f(u)-x(-n) →F()-F(u)≥x(-2)-1f(v)-f()20 例五:若∫:R→R,且满足条件:存在正常数T,a,使得 x∈R,(x+T)-f(x)=a,证明:f(x)=周期函数+线性函数 证明:(x)是周期函数→(x+T)=(x 线性函数L(x)=kx有,L(x+T)-l(x)=kT.由此可设: (x)=(x)- X→ (x+7)-(x)=((x+7)-f(x)-2(x+7) →H(x)是周期函数→f(x)=(x)+x 第一章实数与函数概述

第一章 实数与函数概述 第一章 实数与函数概述 解： ( )   ( )     N i i i i i N G x Max f x i x X X 1 1 1 1 1 : =   − = = =   = ( )   ( )     N i i i i i N L x Min f x i x X X 1 1 1 1 1 : =   − = = =   = 例三；若 f (x) 单调增，且 x, f (x)  g(x),证明： f (f (x))  g(g(x))。] 解:  f : f (x)  g(x) f (f (x))  f (g(x)) g(x) = g(x) f (g(x))  g(g(x)) ( ( )) ( ( )) ( ( )) 2  f f x  f g x  g g x 例四：若 f : R → R , 且满足条件： u,v R, f (u)− f (v)  k u − v ,证明： F(x) = f (x)+ kx 是单调增函数。 证明： u  v ,F(v)− F(u) = (f (v)− f (u))− x(v − u)  F(v)− F(u)  x(v −u)− f (v)− f (u)  0 例五：若 f : R → R , 且满足条件： 存 在 正 常 数 T, , 使 得 xR, f (x +T)− f (x) = , 证明： f (x)=周期函数+线性函数。 证明： (x) 是周期函数  (x +T) = (x), 线性函数 L(x) = kx 有， L(x +T)− L(x) = kT . 由此可设： ( ) = ( ) − x  T x f x  ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )  = 0        + −  = + − − + − x T x T T x T x f x T f x    (x) 是周期函数 ( ) ( ) x T f x x   =  +