第四章量子力学基础知识 量子力学是研究微观粒子(如电子,原子和分子等)运动规律的学科 量子力学的建立经历了由经典物理学到旧量子论,再由旧量子论到量子力学两个历史发 展阶段。 4.1微观粒子运动的特征 4.1.1几个代表性的实验 经典物理学发展到19世纪末,在理论上己相当完善,对当时发现的各种物理现象都 能加以理论上的说明。它们主要由牛顿的经典力学,麦克斯韦的电、磁和光的电磁波理 论,玻耳兹曼和吉布斯等建立的统计物理学组成。19世纪末,人们通过实验发现了一些 新的现象,它们无法用经典物理学解释,这些具有代表性的实验有以下3个。 (1)黑体辐射 黑体是指能全部吸收各种波长辐射的物体,它是一种理想的吸收体,同时在加热它 时,又能最大程度地辐射出各种波长的电磁波 绝热的开有一个小孔的金属空腔就是一种良好的黑体模型。进入小孔的辐射,经多 次吸收和反射,可使射入的辐射实际上全部被吸收,当空腔受热时,空腔会发出辐射, 称为黑体辐射。 实验发现,黑体辐射能量与波长的关系主要与温度有关,而与空腔的形状和制作空腔 的材料无关。在不同温度下,黑体辐射的能量(亦称辐射强度)与波长的关系如图所示。 许多物理学家试图用经典热力学和统计力学方法解释黑体辐射现象。瑞利( Rayleigh JW)和金斯( Jeans J⊕)把分子物理学中能量按自由度均分的原理用于电磁辐射理论, 得到的辐射能量公式在长波处接近实验结果,在短波处和实验明显不符。特别是瑞利 金斯的理论预示在短波区域包括紫外以至x射线、γ射线将有越来越高的辐射强度,完 全与事实不符,这就是物理学上所谓的“紫外灾难”。维恩( Wien w)假设辐射按波长分 布类似于麦克斯韦的分子速度分布,得到的公式在短波处和实验结果接近,在长波处相 差很大。 1900年普朗克( Planck m在深入研究了实验数据,并在经典力学计算的基础上首先提 出了“能量量子化”的假设,他认为黑体中原子或分子辐射能量时做简谐振动,这种振 子的能量只能采取某一最小能量单位ε的整数倍数值。ε≡nεo,n=1,2,3, n称量子数。并且εa=hv
1 第 四 章 量 子 力 学 基 础 知 识 量子力学是研究微观粒子（如电子，原子和分子等）运动规律的学科 量子力学的建立经历了由经典物理学到旧量子论，再由旧量子论到量子力学两个历史发 展阶段。 4.1 微观粒子运动的特征 4.1.1 几个代表性的实验 经典物理学发展到 19 世纪末，在理论上已相当完善，对当时发现的各种物理现象都 能加以理论上的说明。它们主要由牛顿的经典力学，麦克斯韦的电、磁和光的电磁波理 论，玻耳兹曼和吉布斯等建立的统计物理学组成。19 世纪末，人们通过实验发现了一些 新的现象，它们无法用经典物理学解释，这些具有代表性的实验有以下 3 个。 （1）黑体辐射 黑体是指能全部吸收各种波长辐射的物体，它是一种理想的吸收体，同时在加热它 时，又能最大程度地辐射出各种波长的电磁波。 绝热的开有一个小孔的金属空腔就是一种良好的黑体模型。进入小孔的辐射，经多 次吸收和反射，可使射入的辐射实际上全部被吸收，当空腔受热时，空腔会发出辐射， 称为黑体辐射。 实验发现，黑体辐射能量与波长的关系主要与温度有关，而与空腔的形状和制作空腔 的材料无关。在不同温度下，黑体辐射的能量（亦称辐射强度）与波长的关系如图所示。 许多物理学家试图用经典热力学和统计力学方法解释黑体辐射现象。瑞利（Rayleigh J W）和金斯(Jeans J H)把分子物理学中能量按自由度均分的原理用于电磁辐射理论， 得到的辐射能量公式在长波处接近实验结果，在短波处和实验明显不符。特别是瑞利- 金斯的理论预示在短波区域包括紫外以至 x 射线、γ射线将有越来越高的辐射强度，完 全与事实不符，这就是物理学上所谓的“紫外灾难”。维恩(Wien W)假设辐射按波长分 布类似于麦克斯韦的分子速度分布，得到的公式在短波处和实验结果接近，在长波处相 差很大。 1900 年普朗克(Planck M)在深入研究了实验数据，并在经典力学计算的基础上首先提 出了“能量量子化”的假设，他认为黑体中原子或分子辐射能量时做简谐振动，这种振 子的能量只能采取某一最小能量单位ε0的整数倍数值。ε=nε0, n=1，2，3，... n 称量子数。并且ε0=hν
其中h称为普朗克常数,数值为6.626×103J.s 由于量子数n取值的整数性,辐射能量具有跳跃式的不连续性。这种能量变化的不连续 性就称为能量的量子化。在量子化假定基础上,使振子的各本征振动的能量服从玻尔兹 曼分布,得到辐射强度与波长的关系E=87exp(hc/7)-1 式中,T为绝对温度;c是光速;k是玻尔兹曼常数 这个公式结果和实验结果完全一致,很好地描述了黑体辐射问题。 下图中就是150K时辐射强度实验数据与瑞利-金斯理论及普朗克理论的比较。… (2)光电效应 19世纪赫兹发现光照射到金属表面上时,金属表面上会发射出光电子的现象就是的光 电效应。测定装置示意图如图。当合适频率的入射光透过石英窗射向金属电极A时,电 极将发射具有一定动能的电子。在该电极与环形电极C间施加电压V,可在检流计G中 检测到光电流。当电压减少至零时,光电流仍有一定大小,说明光电子本身有动能 电压变负达到某值时,光电流等于零,此时电压与电荷的乘积应与光电子的动能相等, 由此可估计光电子动能的大小。 实验中发现的规律主要有以下几点: 每种金属都有一固定的频率ⅴo,称为临阈频率。只有当入射光频率大于νo时,才会有 光电流产生,否则,无论光强度多大都不会产生光电流。 光电流强度和入射光强度成正比 光电子电子动能和入射光频率成线性增长关系,而与入射光强度无关 经典物理学理论认为光的能量应由光的强度决定,即由光的振幅决定,而与光的频率无 关,光的频率只决定光的颜色。光电流是金属内电子吸收入射光能量后逸出金属表面所 产生的,因此,光电流是否产生,以及产生后光电子的动能大小应由光强度决定。这样 的解释显然和光电效应实验相矛盾。 1905年,爱因斯坦提出光子学说,成功地解释了光电效应,它的主要思想如下 光的能量只能是最小能量单位ε。(称光量子)的整数倍,ε=nεo,n=1,2, 称为量子数,并且光能量与光子频率v成正比,εa=hv 光子不但有能量,还有质量m,不同频率的光子具有不同的质量。 光子具有动量P=mc=h/A 光强度取决于单位体积内的光子数,即光子密度
2 其中 h 称为普朗克常数，数值为 6.626×10-34 J.s 由于量子数 n 取值的整数性，辐射能量具有跳跃式的不连续性。这种能量变化的不连续 性就称为能量的量子化。在量子化假定基础上，使振子的各本征振动的能量服从玻尔兹 曼分布，得到辐射强度与波长的关系 3 1 E h hc k T 8 [exp( / ) 1] − − = − 式中，T 为绝对温度；c 是光速；k 是玻尔兹曼常数。 这个公式结果和实验结果完全一致，很好地描述了黑体辐射问题。 下图中就是 1500K 时辐射强度实验数据与瑞利-金斯理论及普朗克理论的比较。… （2）光电效应 19 世纪赫兹发现光照射到金属表面上时，金属表面上会发射出光电子的现象就是的光 电效应。测定装置示意图如图。当合适频率的入射光透过石英窗射向金属电极 A 时，电 极将发射具有一定动能的电子。在该电极与环形电极 C 间施加电压 V，可在检流计 G 中 检测到光电流。当电压减少至零时，光电流仍有一定大小，说明光电子本身有动能。当 电压变负达到某值时，光电流等于零，此时电压与电荷的乘积应与光电子的动能相等， 由此可估计光电子动能的大小。 实验中发现的规律主要有以下几点： 每种金属都有一固定的频率ν0，称为临阈频率。只有当入射光频率大于ν0 时，才会有 光电流产生，否则，无论光强度多大都不会产生光电流。 光电流强度和入射光强度成正比。 光电子电子动能和入射光频率成线性增长关系，而与入射光强度无关 经典物理学理论认为光的能量应由光的强度决定，即由光的振幅决定，而与光的频率无 关，光的频率只决定光的颜色。光电流是金属内电子吸收入射光能量后逸出金属表面所 产生的，因此，光电流是否产生，以及产生后光电子的动能大小应由光强度决定。这样 的解释显然和光电效应实验相矛盾。 1905 年，爱因斯坦提出光子学说，成功地解释了光电效应，它的主要思想如下： 光的能量只能是最小能量单位ε0（称光量子）的整数倍，ε=nε0，n=1，2，3，…，n 称为量子数，并且光能量与光子频率ν成正比，ε0=hν 光子不但有能量，还有质量 m，不同频率的光子具有不同的质量。 光子具有动量 P=mc=h/λ 光强度取决于单位体积内的光子数，即光子密度
根据爱因斯坦的光子学说,当光照射到金属表面上时,能量为hν的光子被电子所吸 收,电子将这部分能量中的一部分用来克服金属表面对它的吸引力,另一部分转变成逸 出电子的动能。hvo为电子逸出功,所以只有当频率大于临阈频率时,才能有电子逸出, 产生光电流。入射光强度越大,光子密度越大,光子越多,产生的光电流就越大,因此, 光电流强度和入射光强度成正比。 (3)氢原子光谱 原子被火焰、电弧等激发时,能受激而发光,形成光源。将它的辐射线通过分光可以 得到许多不连续的明亮的线条,称为原子光谱。实验发现原子光谱是不连续的线状光谱。 这又是一个经典物理学不能解释的现象。下图就是氢原子的巴尔末线系 1911年卢瑟福( Rutherford e)用α粒子散射实验证实了原子模型,认为原子是由电子 绕核运动构成的。经典物理学无法解释原子光谱现象,因为根据经典电动力学,绕核作 轨道运动的电子是有加速度的,应当自动地放射出辐射,因而能量要逐渐减少,这样会 使电子逐渐接近原子核,最后和核相撞,因此原子应为一个不稳定的体系。另一方面, 根据经典电动力学,电子放出辐射的频率应等于电子绕核运动的频率,由于电子的能量 要逐渐减少,其运动的频率也将逐渐地改变,因而辐射的频率也将逐渐地改变,所以原 子发射的光谱应当是连续的。然而实验测得的光谱却是线状的、不连续的。这些都和经 典的理论发生了本质的矛盾 1913年玻尔( Bohr N)根据普朗克的量子论,爱因斯坦的光子学说和卢瑟福的原子模 型,提出关于原子结构的三个假定 电子只能在核外某些稳定的轨道上运动,这时电子绕核旋转不产生经典辐射,原子相应 处于稳定态,简称定态。能量最低的稳定态称为基态,其它的称为激发态 原子可由某一定态跳跃到另一个定态,称为跃迁,跃迁中放出或吸收辐射,其频率为ν hv=E2-E1=△E 原子各种可能存在的定态轨道有一定限制,即电子的轨道运动的角动量必须等于b2 的整数倍,∥=mh/2π,n=1,2,3, 此式又称玻尔的量子化规律,其中n为量子数。%‰%1913年玻尔( Bohr N)根据普朗克 的量子论,爱因斯坦的光子学说和卢瑟福的原子模型,提出关于原子结构的三个假定 电子只能在核外某些稳定的轨道上运动,这时电子绕核旋转不产生经典辐射,原子相应 处于稳定态,简称定态。能量最低的稳定态称为基态,其它的称为激发态
3 根据爱因斯坦的光子学说，当光照射到金属表面上时，能量为 hν的光子被电子所吸 收，电子将这部分能量中的一部分用来克服金属表面对它的吸引力，另一部分转变成逸 出电子的动能。hν0为电子逸出功，所以只有当频率大于临阈频率时，才能有电子逸出， 产生光电流。入射光强度越大，光子密度越大，光子越多，产生的光电流就越大，因此， 光电流强度和入射光强度成正比。 （3）氢原子光谱 原子被火焰、电弧等激发时，能受激而发光，形成光源。将它的辐射线通过分光可以 得到许多不连续的明亮的线条，称为原子光谱。实验发现原子光谱是不连续的线状光谱。 这又是一个经典物理学不能解释的现象。下图就是氢原子的巴尔末线系 1911 年卢瑟福(Rutherford E)用α粒子散射实验证实了原子模型，认为原子是由电子 绕核运动构成的。经典物理学无法解释原子光谱现象，因为根据经典电动力学，绕核作 轨道运动的电子是有加速度的，应当自动地放射出辐射，因而能量要逐渐减少，这样会 使电子逐渐接近原子核，最后和核相撞，因此原子应为一个不稳定的体系。另一方面， 根据经典电动力学，电子放出辐射的频率应等于电子绕核运动的频率，由于电子的能量 要逐渐减少，其运动的频率也将逐渐地改变，因而辐射的频率也将逐渐地改变，所以原 子发射的光谱应当是连续的。然而实验测得的光谱却是线状的、不连续的。这些都和经 典的理论发生了本质的矛盾。 1913 年玻尔(Bohr N)根据普朗克的量子论，爱因斯坦的光子学说和卢瑟福的原子模 型，提出关于原子结构的三个假定： 电子只能在核外某些稳定的轨道上运动，这时电子绕核旋转不产生经典辐射，原子相应 处于稳定态，简称定态。能量最低的稳定态称为基态，其它的称为激发态。 原子可由某一定态跳跃到另一个定态，称为跃迁，跃迁中放出或吸收辐射，其频率为ν hν＝E2－E1＝ΔE 原子各种可能存在的定态轨道有一定限制，即电子的轨道运动的角动量必须等于 h/2π 的整数倍，M＝nh/2π，n＝1,2,3,… 此式又称玻尔的量子化规律，其中 n 为量子数。%%%%1913 年玻尔(Bohr N)根据普朗克 的量子论，爱因斯坦的光子学说和卢瑟福的原子模型，提出关于原子结构的三个假定： 电子只能在核外某些稳定的轨道上运动，这时电子绕核旋转不产生经典辐射，原子相应 处于稳定态，简称定态。能量最低的稳定态称为基态，其它的称为激发态
原子可由某一定态跳跃到另一个定态,称为跃迁,跃迁中放出或吸收辐射,其频率为ⅴ hv=E2-E1=△E 原子各种可能存在的定态轨道有一定限制,即电子的轨道运动的角动量必须等于b/2r 的整数倍,∥=mh/2π,n=1,2,3, 此式又称玻尔的量子化规律,其中n为量子数。根据玻尔的假定可以计算出氢原子基态 轨道的半径a为52.9pm,基态能量为-13.6eV,和实验结果十分接近。 对于微观体系的运动,经典物理学已完全不能适用。以普朗克的量子论、爱因斯坦的 光子学说和玻尔的原子模型方法为代表的理论称为旧量子论。旧量子论尽管解释了一些 简单的现象,但是,对绝大多数较为复杂的情况,仍然不能解释。这显然是由于旧量子 论并没有完全放弃经典物理学的方法,只是在其中加入了量子化的假定,然而量子化概 念本身与经典物理学之间是不相容的。因此,旧量子论要作为一个完整的理论体系,其 本身是不能自圆其说的 从黑体辐射、光电效应和原子光谱等实验可见,对于微观体系的运动,经典物理学已 完全不能适用。以普朗克的量子论、爱因斯坦的光子学说和玻尔的原子模型方法为代表 的理论称为旧量子论。旧量子论尽管解释了一些简单的现象,但是,对绝大多数较为复 杂的情况,仍然不能解释。这显然是由于旧量子论并没有完全放弃经典物理学的方法, 只是在其中加入了量子化的假定,然而量子化概念本身与经典物理学之间是不相容的 因此,旧量子论要作为一个完整的理论体系,其本身是不能自圆其说的。 4.1.2波粒二象性的普遍性及统计解释 17世纪末以前,人们对光的观察和研究还只限于几何光学方面。从光的直线传播、反 射定律和折射定律出发,对于光的本性问题提出了两种相反的学说一一以牛顿为代表的 微粒说和以惠更斯为代表的波动说。 微粒说认为,光是由光源发出的以等速直线运动的微粒流。微粒种类不同,颜色不同 在光反射和折射时,表现为刚性弹性球。 波动说认为光是在媒质中传播的一种波,光的不同颜色是由于光的波长不同引起的。 微粒说和波动说都能解释当时已知的实验事实,但在解释折射现象时导出的折射率结 论相反:微粒说的结论是光在媒质中的相对折射率正比于光在媒质中的传播速率,而波 动说则得出相对折射率反比于光在媒质中的传播速率的结论。当时由于还不能准确测量 光速,所以无法判断哪种说法对
4 原子可由某一定态跳跃到另一个定态，称为跃迁，跃迁中放出或吸收辐射，其频率为ν hν＝E2－E1＝ΔE 原子各种可能存在的定态轨道有一定限制，即电子的轨道运动的角动量必须等于 h/2π 的整数倍，M＝nh/2π，n＝1,2,3,… 此式又称玻尔的量子化规律，其中 n 为量子数。根据玻尔的假定可以计算出氢原子基态 轨道的半径 a0为 52.9pm，基态能量为-13.6eV，和实验结果十分接近。 对于微观体系的运动，经典物理学已完全不能适用。以普朗克的量子论、爱因斯坦的 光子学说和玻尔的原子模型方法为代表的理论称为旧量子论。旧量子论尽管解释了一些 简单的现象，但是，对绝大多数较为复杂的情况，仍然不能解释。这显然是由于旧量子 论并没有完全放弃经典物理学的方法，只是在其中加入了量子化的假定，然而量子化概 念本身与经典物理学之间是不相容的。因此，旧量子论要作为一个完整的理论体系，其 本身是不能自圆其说的。 从黑体辐射、光电效应和原子光谱等实验可见，对于微观体系的运动，经典物理学已 完全不能适用。以普朗克的量子论、爱因斯坦的光子学说和玻尔的原子模型方法为代表 的理论称为旧量子论。旧量子论尽管解释了一些简单的现象，但是，对绝大多数较为复 杂的情况，仍然不能解释。这显然是由于旧量子论并没有完全放弃经典物理学的方法， 只是在其中加入了量子化的假定，然而量子化概念本身与经典物理学之间是不相容的。 因此，旧量子论要作为一个完整的理论体系，其本身是不能自圆其说的。 4.1.2 波粒二象性的普遍性及统计解释 17 世纪末以前，人们对光的观察和研究还只限于几何光学方面。从光的直线传播、反 射定律和折射定律出发，对于光的本性问题提出了两种相反的学说——以牛顿为代表的 微粒说和以惠更斯为代表的波动说。 微粒说认为，光是由光源发出的以等速直线运动的微粒流。微粒种类不同，颜色不同。 在光反射和折射时，表现为刚性弹性球。 波动说认为光是在媒质中传播的一种波，光的不同颜色是由于光的波长不同引起的。 微粒说和波动说都能解释当时已知的实验事实，但在解释折射现象时导出的折射率结 论相反：微粒说的结论是光在媒质中的相对折射率正比于光在媒质中的传播速率，而波 动说则得出相对折射率反比于光在媒质中的传播速率的结论。当时由于还不能准确测量 光速，所以无法判断哪种说法对
随后光的干涉和衍射现象相继发现,这些现象是波的典型性质,而微粒说无法解释。光 速的精确测定证实了波动说对折射率的结论是正确的。光的偏振现象进一步说明光是 种横波。因此在19世纪末、本世纪初的黑体辐射、光电效应和康普顿散射等现象发现 以前,波动说占了优势。 为了解释光在真空中传播的媒质问题,提出了“以太”假说。“以太”被认为是一种 弥漫于整个宇宙空间、渗透到一切物体之中且具有许多奇妙性质的物质,而光则认为是 以“以太”为媒质传播的弹性波。19世纪70年代,麦克斯韦建立了电磁场理论,预言 了电磁波的存在。不久后赫兹通过实验发现了电磁波。麦克斯韦根据光速与电磁波速相 同这一事实,提出光是一种电磁波,这就是光的电磁理论。根据麦克斯韦方程组和电磁 波理论,光和电磁波无需依靠“以太”作媒质传播,其媒质就是交替变化的电场和磁场 本身。所谓“以太”是不存在的 到了19世纪末,因为光的电磁波学说不能解释黑体辐射现象而碰到了很大的困难。 为了解释这个现象,普朗克在1900年发表了他的量子论。接着爱因斯坦推广普朗克的 量子论,在1905年发表了他的光子学说,圆满地解释了光电效应,又在1907年在振子 能量量子化的基础上解释了固体的比热与温度的关系问题。根据他的意见,光的能量不 是连续地分布在空间,而是集中在光子上。这个学说因为康普顿效应的发现再一次得到 了实验证明。 光子学说提出以后,重新引起了波动说和微粒说的争论,并且问题比以前更尖锐化了, 因为凡是与光的传播有关的各种现象,如衍射、干涉和偏振,必须用波动说来解释,凡 是与光和实物相互作用有关的各种现象,即实物发射光(如原子光谱等)、吸收光(如 光电效应、吸收光谱等)和散射光(如康普顿效应等)等现象,必须用光子学说来解释 不能用简单的波动说或微粒说来解释所有现象。因此,光既具有波动性的特点,又具有 微粒性的特点,即它具有波、粒二象性( wave particle duality),它是波动性和微粒 性的矛盾统一体,不连续的微粒性和连续的波动性是事物对立的两个方面,它们彼此互 相联系,相互渗透,并在一定的条件下相互转化,这就是光的本性 所谓波动和微粒,都是经典物理学的概念,不能原封不动地应用于微观世界。光既不 是经典意义上的波,也不是经典意义上的微粒。光的波动性和微粒性的相互联系特别明 显地表现在以下三个式子中:E=hv,p=h/A,p=k|u|2 在以上三个式子中等号左边表示微粒的性质即光子的能量E、动量p和光子密度p,等
5 随后光的干涉和衍射现象相继发现，这些现象是波的典型性质，而微粒说无法解释。光 速的精确测定证实了波动说对折射率的结论是正确的。光的偏振现象进一步说明光是一 种横波。因此在 19 世纪末、本世纪初的黑体辐射、光电效应和康普顿散射等现象发现 以前，波动说占了优势。 为了解释光在真空中传播的媒质问题，提出了“以太”假说。“以太”被认为是一种 弥漫于整个宇宙空间、渗透到一切物体之中且具有许多奇妙性质的物质，而光则认为是 以“以太”为媒质传播的弹性波。19 世纪 70 年代，麦克斯韦建立了电磁场理论，预言 了电磁波的存在。不久后赫兹通过实验发现了电磁波。麦克斯韦根据光速与电磁波速相 同这一事实，提出光是一种电磁波，这就是光的电磁理论。根据麦克斯韦方程组和电磁 波理论，光和电磁波无需依靠“以太”作媒质传播，其媒质就是交替变化的电场和磁场 本身。所谓“以太”是不存在的。 到了 19 世纪末，因为光的电磁波学说不能解释黑体辐射现象而碰到了很大的困难。 为了解释这个现象，普朗克在 1900 年发表了他的量子论。接着爱因斯坦推广普朗克的 量子论，在 1905 年发表了他的光子学说，圆满地解释了光电效应，又在 1907 年在振子 能量量子化的基础上解释了固体的比热与温度的关系问题。根据他的意见，光的能量不 是连续地分布在空间，而是集中在光子上。这个学说因为康普顿效应的发现再一次得到 了实验证明。 光子学说提出以后，重新引起了波动说和微粒说的争论，并且问题比以前更尖锐化了， 因为凡是与光的传播有关的各种现象，如衍射、干涉和偏振，必须用波动说来解释，凡 是与光和实物相互作用有关的各种现象，即实物发射光（如原子光谱等）、吸收光（如 光电效应、吸收光谱等）和散射光（如康普顿效应等）等现象，必须用光子学说来解释。 不能用简单的波动说或微粒说来解释所有现象。因此，光既具有波动性的特点，又具有 微粒性的特点，即它具有波、粒二象性(wave particle duality)，它是波动性和微粒 性的矛盾统一体，不连续的微粒性和连续的波动性是事物对立的两个方面，它们彼此互 相联系，相互渗透，并在一定的条件下相互转化，这就是光的本性。 所谓波动和微粒，都是经典物理学的概念，不能原封不动地应用于微观世界。光既不 是经典意义上的波，也不是经典意义上的微粒。光的波动性和微粒性的相互联系特别明 显地表现在以下三个式子中：E=hν,p=h/λ,ρ=k|Ψ|2 在以上三个式子中等号左边表示微粒的性质即光子的能量 E、动量 p 和光子密度 ρ，等
式右边表示波动的性质,即光波的频率、波长λ和场强屮。按照光的电磁波理论, 光的强度正比于光波振幅的平方W2,按照光子学说,光的强度正比于光子密度p 所以p正比于甲2,令比例常数为k,即得到p=k||2 1924年,法国物理学家德布罗意提出,这种“二象性”并不特殊地只是一个光学现象, 而是具有一般性的意义。他说:“整个世纪以来,在光学上,比起波动的研究方法,是 过于忽略了粒子的研究方法;在实物理论上,是否发生了相反的错误呢?是不是我们把 粒子的图象想得太多,而过分忽略了波的图象?”从这样的思想出发,德布罗意假定波 粒二象性的公式也可适用于电子等静止质量不为零的粒子,也称为实物粒子。,即实物 粒子也具有波粒二象性。实物粒子的波长等于普朗克常数除以粒子的动量,=h=h P 这就是德布罗意关系式 根据德布罗意假设,以1.0×10m.s2的速度运动的电子波长为73x101om 质量为1.0×10-3kg的宏观物体,当以1.0×10-2m,s=1速度运动时,波长为 663×103m实物粒子波长太小,观察不到其波动性;只有微观粒子才可观测其波动性。 实物粒子的波称为德布罗意波或实物波。德布罗意指出:可以用电子的晶体衍射实验证 实物质波的存在 1927年美国科学家戴维逊和革末的单晶电子衍射实验以及英国汤普森的多晶体电子衍射 实验证实了德布罗意关于物质波的假设。随后,实验发现质子、中子、原子和分子等都有衍 射现象,且都符合德布罗意关系式。下面左边就是多晶体电子衍射的示意图,从电子发射器 A发出的电子射线穿过晶体粉末B,投射到屏C上,可以得到一系列的同心圆。这些同心圆 叫衍射环纹。右边是电子射线通过金晶体时的衍射环纹图样。 下面就以多晶体电子衍射实验来进行讨论。从衍射环纹的半径和屏C与晶体B间的距离可 以计算衍射角α,根据衍射角可用布拉格( Bragg)公式计算电子射线的波长A,即 n入=2dsin C 式中d是晶格间距,n=1、2、3、…分别表示各同心圆,其中最小的同心圆n=1,其次n=2。 电子射线可从阴极射线管产生,并使之在电势差等于V的电场中加速到速度v。获得的动 能等于它在电场中降落的势能e,即:e=m2因此r=,/2eF
6 式右边表示波动的性质，即光波的频率 ν、波长 λ 和场强 Ψ。按照光的电磁波理论， 光的强度正比于光波振幅的平方|Ψ|2，按照光子学说，光的强度正比于光子密度 ρ， 所以 ρ 正比于|Ψ|2，令比例常数为 k，即得到 ρ=k|Ψ|2 1924 年，法国物理学家德布罗意提出，这种“二象性”并不特殊地只是一个光学现象， 而是具有一般性的意义。他说：“整个世纪以来，在光学上，比起波动的研究方法，是 过于忽略了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把 粒子的图象想得太多，而过分忽略了波的图象？”从这样的思想出发，德布罗意假定波 粒二象性的公式也可适用于电子等静止质量不为零的粒子，也称为实物粒子。， 即实物 粒子也具有波粒二象性。实物粒子的波长等于普朗克常数除以粒子的动量， h h p mv = = 这就是德布罗意关系式。 根据德布罗意假设，以 1.0×106 m.s -1的速度运动的电子波长为 10 7.3 10 m − 质量为 1.0×10－3kg 的宏观物体，当以 1.0×10－2m.s－1 速度运动时，波长为 29 6.63 10 m − 实物粒子波长太小，观察不到其波动性；只有微观粒子才可观测其波动性。 实物粒子的波称为德布罗意波或实物波。德布罗意指出：可以用电子的晶体衍射实验证 实物质波的存在。 1927 年美国科学家戴维逊和革末的单晶电子衍射实验以及英国汤普森的多晶体电子衍射 实验证实了德布罗意关于物质波的假设。随后，实验发现质子、中子、原子和分子等都有衍 射现象，且都符合德布罗意关系式。下面左边就是多晶体电子衍射的示意图，从电子发射器 A 发出的电子射线穿过晶体粉末 B，投射到屏 C 上，可以得到一系列的同心圆。这些同心圆 叫衍射环纹。右边是电子射线通过金晶体时的衍射环纹图样。 下面就以多晶体电子衍射实验来进行讨论。从衍射环纹的半径和屏 C 与晶体 B 间的距离可 以计算衍射角α，根据衍射角可用布拉格(Bragg)公式计算电子射线的波长λ，即 2 sin 2 n d = 式中 d 是晶格间距，n=1、2、3、…分别表示各同心圆，其中最小的同心圆 n=1，其次 n=2。 电子射线可从阴极射线管产生，并使之在电势差等于 V 的电场中加速到速度 v。获得的动 能等于它在电场中降落的势能 eV，即： 1 2 2 eV mv = 因此 2eV v m =
h h 根据德布罗意关系式,可得电子波长入=2= h my 2ev 知道电势V,就可以计算出电子射线的波长λ。将衍射角算得的波长与通过德布罗意关系式 算出的波长比较,两者一致。这样就从实验上证明了德布罗意关系式。 实物波的物理意义与机械波(水波、声波)及电磁波等不同,机械波是介质质点的振动,电 磁波是电场和磁场的振动在空间传播的波,而实物波没有这种直接的物理意义 那么实物波的本质是什么呢?有一种观点认为波动是粒子本身产生出来的,有一个电子就有 个波动。因此当一个电子通过晶体时,就应当在底片上显示出一个完整的衍射图形。而事 实上,在底片上显示出来的仅仅是一个点,无衍射图形。另一种观点认为波是一群粒子组成 的,衍射图形是由组成波的电子相互作用的结果。但是实验表明用很弱的电子流,让每个电 子逐个地射出,经过足够长的时间,在底片上显示出了与较强的电子流,在较短时间内电子 衍射完全一致的衍射图形。这说明电子的波动性不是电子间相互作用的结果 在电子衍射实验中若将加速后的电子一个一个地发射,发现各电子落到屏上的位置是不重 合的,也就是说电子的运动是没有确定轨迹的,不服从经典力学物体的运动方程。当不断发 射了很多电子以后,各电子在屏上形成的黑点构成了衍射图象,这说明大量粒子运动的统计 结果是具有波动性的。当电子数不断增加时,所得衍射图象不变,只是颜色相对加深,这就 说明波强度与落到屏上单位面积中的电子数成正比。1926年,波恩提出了实物波的统计解释。 他认为在空间的任何一点上波的强度(振幅绝对值平方)和粒子在该位置出现的几率成正比。 实物波的强度反映微粒出现的几率的大小,故可称几率波。 衍射强度 电子束单缝衍射实验示意图 4.1.3不确定原理 可以把实物粒子的波粒二象性理解为:具有波动性的微粒在空间的运动没有确定的轨迹
7 根据德布罗意关系式，可得电子波长 1/ 2 2 h h h p mv m eV = = = 知道电势 V，就可以计算出电子射线的波长λ。将衍射角算得的波长与通过德布罗意关系式 算出的波长比较，两者一致。这样就从实验上证明了德布罗意关系式。 实物波的物理意义与机械波(水波、声波)及电磁波等不同，机械波是介质质点的振动，电 磁波是电场和磁场的振动在空间传播的波，而实物波没有这种直接的物理意义。 那么实物波的本质是什么呢？有一种观点认为波动是粒子本身产生出来的，有一个电子就有 一个波动。因此当一个电子通过晶体时，就应当在底片上显示出一个完整的衍射图形。而事 实上，在底片上显示出来的仅仅是一个点，无衍射图形。另一种观点认为波是一群粒子组成 的，衍射图形是由组成波的电子相互作用的结果。但是实验表明用很弱的电子流，让每个电 子逐个地射出，经过足够长的时间，在底片上显示出了与较强的电子流，在较短时间内电子 衍射完全一致的衍射图形。这说明电子的波动性不是电子间相互作用的结果。 在电子衍射实验中若将加速后的电子一个一个地发射，发现各电子落到屏上的位置是不重 合的，也就是说电子的运动是没有确定轨迹的，不服从经典力学物体的运动方程。当不断发 射了很多电子以后，各电子在屏上形成的黑点构成了衍射图象，这说明大量粒子运动的统计 结果是具有波动性的。当电子数不断增加时，所得衍射图象不变，只是颜色相对加深，这就 说明波强度与落到屏上单位面积中的电子数成正比。1926 年，波恩提出了实物波的统计解释。 他认为在空间的任何一点上波的强度（振幅绝对值平方）和粒子在该位置出现的几率成正比。 实物波的强度反映微粒出现的几率的大小，故可称几率波。 电子束单缝衍射实验示意图 4.1.3 不确定原理 可以把实物粒子的波粒二象性理解为：具有波动性的微粒在空间的运动没有确定的轨迹
只有与其波强度大小成正比的几率分布规律。微观粒子的这种运动完全不服从经典力学的理 论,所以在认识微观体系运动规律时,必须摆脱经典物理学的束缚,必须用量子力学的概念 去理解。微观粒子的运动没有确定的轨迹,也就是说它在任一时刻的坐标和动量是不能同时 准确确定的,这就是测不准原理。可以用电子束通过一个单缝的衍射实验来说明测不准原理 如图所示,具有动量p的电子束,通过宽度为△x的狭缝,在y方向与狭缝距离为1处放 屏幕,可在屏幕上得到如图所示的衍射强度分布曲线 经典粒子直线运动,通过狭缝后,在屏幕上显示宽度为Δx的条状图案。具有波动性的 电子,通过狭缝边缘和中心的两束电子波相互叠加,在到达屏幕处,有的位置上两束电子波 是加强的(峰),有的位置上是相互抵消的。根据光学原理,相消的条件是这两束光从狭缝 到达屏幕的光程差AO为波长λ的半整数倍 △x/2.sin0≈AO=n/2 考虑一级衍射(n=1)的情况sin0=入/Ax 通过狭缝前电子在x方向动量p为零,通过狭缝后电子在x方向动量p=psinθ,所以动量 在x方向分量在通过狭缝前后的变化为A2=pSin=sin0·h/ 此式结合式Sin=入/Ax可得Ax·p=h 如果将x方向的讨论改为y或z方向做类似讨论,显然可得 Ay·A,=hA·A2=h 称为测不准关系式 若考虑到n=2,3,…,等多级衍射时,则为△x·△p2≥h;△y·△p≥h;△z·△p2≥h 1927年,海森堡通过严格的推导,得出了测不准关系式为 h h h Ax·APx :Av. Ap 4 用能量E和时间t作为表示粒子状态的基本变量时,测不准关系则为△E.△t≥ 4π 测不准关系式表示通过狭缝时电子的坐标的不确定度和相应动量的不确定度的乘积至少 等于一个常数。也就是说,当某个微粒的坐标完全被确定时(Δx→0),则它的相应动量就完 全不能被确定(Δp→∞),反之亦然。换言之,微观粒子在空间的运动,它的坐标和动量是不 能同时准确确定的,讨论微观粒子的运动轨迹毫无意义。由于微观粒子运动具有波粒二象性, 因而不能同时准确确定某些成对物理量,如位置与动量,能量与时间,这种现象也被称为不
8 只有与其波强度大小成正比的几率分布规律。微观粒子的这种运动完全不服从经典力学的理 论，所以在认识微观体系运动规律时，必须摆脱经典物理学的束缚，必须用量子力学的概念 去理解。微观粒子的运动没有确定的轨迹，也就是说它在任一时刻的坐标和动量是不能同时 准确确定的，这就是测不准原理。可以用电子束通过一个单缝的衍射实验来说明测不准原理。 如图所示，具有动量 p 的电子束，通过宽度为Δx 的狭缝，在 y 方向与狭缝距离为 l 处放一 屏幕，可在屏幕上得到如图所示的衍射强度分布曲线。 经典粒子直线运动，通过狭缝后，在屏幕上显示宽度为Δx 的条状图案。具有波动性的 电子，通过狭缝边缘和中心的两束电子波相互叠加，在到达屏幕处，有的位置上两束电子波 是加强的（峰），有的位置上是相互抵消的。根据光学原理，相消的条件是这两束光从狭缝 到达屏幕的光程差 AO 为波长λ的半整数倍 = x n / 2 sin AO / 2 考虑一级衍射(n=1)的情况 sin / = x 通过狭缝前电子在 x 方向动量 px为零，通过狭缝后电子在 x 方向动量 px=psinθ,所以动量 在 x 方向分量在通过狭缝前后的变化为 sin sin / = = p p h x 此式结合式 sin / = x 可得 x = x p h 如果将 x 方向的讨论改为 y 或 z 方向做类似讨论，显然可得 y = y p h z = z p h 称为测不准关系式。 若考虑到 n=2,3,…,等多级衍射时，则为Δx·Δpx≥h；Δy·Δpy≥h；Δz·Δpz≥h 1927 年，海森堡通过严格的推导，得出了测不准关系式为 4 x h x p ； 4 y h y p ； 4 z h z p 用能量 E 和时间 t 作为表示粒子状态的基本变量时，测不准关系则为 4 h E t 测不准关系式表示通过狭缝时电子的坐标的不确定度和相应动量的不确定度的乘积至少 等于一个常数。也就是说，当某个微粒的坐标完全被确定时(Δx→0)，则它的相应动量就完 全不能被确定(Δpx→∞),反之亦然。换言之，微观粒子在空间的运动，它的坐标和动量是不 能同时准确确定的，讨论微观粒子的运动轨迹毫无意义。由于微观粒子运动具有波粒二象性， 因而不能同时准确确定某些成对物理量，如位置与动量，能量与时间，这种现象也被称为不
确定原理。 经典力学中用轨迹描述物体的运动,即用物体的坐标位置和运动速度(或动量)随时间的变 化来描述物体的运动。因此需要能够同时准确确定物体的坐标和速度。经典力学只适用于描 述宏观粒子的运动。那么宏观粒子和微观粒子有什么不同呢?下面我们来做一简单比较。首 先宏观粒子和微观粒子具有很多的共同点:都具有质量、能量和动量,服从能量守恒定律和 动量守恒定律,都具有波粒二象性,都满足测不准关系式。它们的不同之处在于: 宏观粒子波动性不明显,其坐标和速度可同时准确测定,有确定的运动轨迹,可以用经典力 学来描述。 微观粒子波动性显著,受测不准关系式的限制其坐标和速度不可能同时准确测定,没有确定 的运动轨迹,不能用经典力学来描述。 宏观和微观的区分是相对的,不确定原理起作用,粒子的运动轨迹无法描述的场合,就是微 观领域。而不确定原理不起作用,粒子的坐标和速度能够同时准确测定的场合,就是宏观领 域。((宏观粒子和微观粒子的划分也不是绝对的,比如说电子,运动在原子中的电子,受测 不准关系式限制,属于微观粒子;而电视机显相像管中电子枪发射的电子其运动轨迹就是可 以控制的,属于宏观粒子。)) 例4.1子弹(质量0.01kg,速度1000m·s-1)和原子中的电子(质量9.1×103kg,速 度1000·s-)。当他们的速度不确定范围为其速度的10%时,分别计算它的位置 的不确定范围并讨论计算结果, 解:对子弹 Ax≥h/4p=h/(m△v) 6.63×10-34J.s 663×10-3m 00lkg×1000s-×1×10 对电子 6.63×10-34J.s △x≥h/(m△x)= =7.27×10 1×103kg×1000ms-×1×10 对子弹来说,Δx很小,可以忽略,即子弹的坐标是可以准确测定;对电子来说,Δx’达 7.27×10-6m,由于原子半径仅为10-10m的数量级,所以Δx不可忽略,在原子中运动的电 子坐标在其速度误差为10%时是不能准确测定的,电子的运动无法用经典力学中的轨迹(即
9 确定原理。 经典力学中用轨迹描述物体的运动，即用物体的坐标位置和运动速度(或动量)随时间的变 化来描述物体的运动。因此需要能够同时准确确定物体的坐标和速度。经典力学只适用于描 述宏观粒子的运动。那么宏观粒子和微观粒子有什么不同呢？下面我们来做一简单比较。首 先宏观粒子和微观粒子具有很多的共同点：都具有质量、能量和动量，服从能量守恒定律和 动量守恒定律，都具有波粒二象性，都满足测不准关系式。它们的不同之处在于： 宏观粒子波动性不明显，其坐标和速度可同时准确测定，有确定的运动轨迹，可以用经典力 学来描述。 微观粒子波动性显著，受测不准关系式的限制其坐标和速度不可能同时准确测定，没有确定 的运动轨迹，不能用经典力学来描述。 宏观和微观的区分是相对的，不确定原理起作用，粒子的运动轨迹无法描述的场合，就是微 观领域。而不确定原理不起作用，粒子的坐标和速度能够同时准确测定的场合，就是宏观领 域。（（宏观粒子和微观粒子的划分也不是绝对的，比如说电子，运动在原子中的电子，受测 不准关系式限制，属于微观粒子；而电视机显相像管中电子枪发射的电子其运动轨迹就是可 以控制的，属于宏观粒子。）） 例 4.1 子弹（质量 0.01kg,速度 1000 1 m s − ）和原子中的电子（质量 31 9.1 10 kg − ，速 度 1000 1 m s − ）。当他们的速度不确定范围为其速度的 0 10 0 时，分别计算它的位置 的不确定范围并讨论计算结果， 解：对子弹 / /( ) x x = x h p h m v 34 1 1 6 63 10 0.01 1000 1 10 J s kg m s − − − = 34 6.63 10 m − = 对电子 ' x h m x /( ' ') 34 31 1 1 6.63 10 9.1 10 1000 1 10 J s kg m s − − − − = 6 7.27 10 m − = 对子弹来说，Δx 很小，可以忽略，即子弹的坐标是可以准确测定；对电子来说，Δx’ 达 7.27×10－6m,由于原子半径仅为 10－10m 的数量级,所以Δx 不可忽略，在原子中运动的电 子坐标在其速度误差为 10％时是不能准确测定的，电子的运动无法用经典力学中的轨迹(即
速度和坐标)来描述,只能用量子力学来描述 而子弹则可以用经典力学来描述。 4.2量子力学的基本假定 4.2.1算符和运算规则 规定运算操作性质的符号称为算符。例如ln、d/dx、sin等分别表示对函数进行对数、 微分、正弦等运算。算符的作用是:算符作用在一个函数上,得到一个新函数 通常可以"∧"标记算符,如A和B,如果算符A将函数f(x)变成新函数g(x),就可写 成Af(x)=g(x),(读作:算符A作用于函数f(x)等于g(x) 算符有如下的运算规则: A+B)f(x)=Af(x)+Bf(x) (4-B)/(x=4/(x)-B/(x) ABf(x)=ABf(x) A[Af(x) A(B+C)f(x)=ABf(x)+Acf() (AB)C()=A(BC)f(x) 算符的加法:两个算符相加作用于函数等于分别作用于函数后相加,算符的减法为: 两个算符相减后作用于函数就等于分别作用于函数后相减;算符A与算符B的乘法等于 算符B作用于函数后的新函数再被算符A作用;算符的平方等于算符作用于函数后的新 函数再被该算符作用。算符的乘法还服从结合律和分配律,但是一般不服从交换律。满 足乘法交换律的两个算符称为对易的算符。 当算符A满足A[f(x)±g(x)=Af(x)±Ag(x) 称A为线性算符。如d/ax就是线性算符,而ln和sin不是线性算符。 当A满足gAr=j(Adr或Adr=M)dr 称A为自轭算符或厄密算符。这里积分是对所有变量的全部变化空间积分
10 速度和坐标)来描述,只能用量子力学来描述。 而子弹则可以用经典力学来描述。 4.2 量子力学的基本假定 4.2.1 算符和运算规则 规定运算操作性质的符号称为算符。例如 ln、d/dx、sin 等分别表示对函数进行对数、 微分、正弦等运算。算符的作用是：算符作用在一个函数上，得到一个新函数。 通常可以 " " 标记算符，如 A 和 B ，如果算符 A 将函数 f(x)变成新函数 g(x)，就可写 成 Af(x)＝g(x)，(读作：算符 A 作用于函数 f(x)等于 g(x)) 算符有如下的运算规则： ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] A B f x Af x B f x A B f x Af x B f x AB f x A B f x A A Af x + = + − = − = = A B C f x AB f x AC f x ( ) + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB C f x A BC f x ( ) = ( ) 算符的加法：两个算符相加作用于函数等于分别作用于函数后相加，算符的减法为： 两个算符相减后作用于函数就等于分别作用于函数后相减；算符 A 与算符 B 的乘法等于 算符 B 作用于函数后的新函数再被算符 A 作用；算符的平方等于算符作用于函数后的新 函数再被该算符作用。算符的乘法还服从结合律和分配律，但是一般不服从交换律。满 足乘法交换律的两个算符称为对易的算符。 当算符A满足 A[ ( ) ( )] A ( ) A ( ) f x g x f x g x = 称A为线性算符。如d/dx就是线性算符，而 ln 和 sin 不是线性算符。 当 A 满足 * * A (A ) d d = 或 * * 1 2 2 1 A (A ) d d = 称 A 为自轭算符或厄密算符。这里积分是对所有变量的全部变化空间积分