第三章导数与微分 连续、可导、可微习题讨论课 (一),列举四个以上的函数在一点连续的等价定义。 列举四个以上的函数在一点可导的等价定义 (二),研究下列函数的可导性 (1)若g∈C(-,+∞),求f(x)=(x2-4)g(x)之可导点 (2)f(x)=e a2+如2+c1,常数abc满足什么条件时,函数/可导,并求导函数 高阶导数的情况如何? (三),计算下列函数的导数: (1) X+x-+ (2) x+√+12有误!应是4yx2+1-=x d((√x2+1+x ()若()=x"ex,4(-e-) d x (4)若y=acg(x),求y(0)=? 问题的解 (一),列举四个以上的函数在一点连续的等价定义。 a)lm f(x)=f(xo); b)m(x)=0; c)f(x)=f(x0)+o(1) d)vE>0,36>0,yx-xo0,f(N(x0)cN(f(x0); n)可x→>x0→f(x)→>f(x0) 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 连续、可导、可微习 题 讨 论 课 (一), 列举四个以上的函数在一点连续的等价定义。 列举四个以上的函数在一点可导的等价定义。 (二), 研究下列函数的可导性： (1) 若 g C(−,+) ,求 ( ) ( 4) ( ) 2 f x = x − g x 之可导点. (2) + + = − − , 1 , 1 ( ) 4 2 1 1 2 ax bx c x e x f x x , 常数a,b,c 满足什么条件时, 函数f可导，并求导函数。 高阶导数的情况如何？ (三), 计算下列函数的导数： (1) 0 4 2 3 1 = + + − x x x x x =? 0 4 2 3 1 = + + − x x x x x =? (2) + + − + 1 1 ln 2 2 x x x x dx d =？有误! 应是 + + + − x x x x dx d 1 1 ln 2 2 (3) 若 n x f x x e − ( ) = , ( ) = ? n −x k k x e dx d (4) 若 y = arctg(x), 求 (0) ? ( ) = n y 问 题 的 解 (一), 列举四个以上的函数在一点连续的等价定义。 a) lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → ; b) lim ( 0 ) 0 0 = → f x x ; c) ( ) ( ) (1) f x = f x0 + o ; d) 0, 0, − : ( ) − ( ) 0 0 x x f x f x ; e) ( ( )), 0, ( ( )) ( ( )) 0 0 0 N f x f N x N f x ; f) ( ) ( ) 0 0 x x f x f x i→ i →
第三章导数与微分 (二),研究下列函数的可导性: (1若g∈C(-∞,+∞),求f(x)=(x2-4)g(x)之可导点 解:lim (x2-4)g(x)-0 =lim(x+2)g(x)=4g(2) (x2-4)g(x)-0 =lm(x-2)g(x)=-4g(-2) 2 (2)f(x)=e x ax+bx+c,≥1,常数abc满足什么条件时,函数厂可导,并求导函数 高阶导数的情况如何? 解:由连续性可得:f(1)=0→a+b+c=0 x 1 f=lim ei-x =0,f(-1)=lner2 0 x→-1x+1 a+b+c=0. 若∫∈C(R)→ →a=b=c=0 b=0 ∫∈C2(R)→{4a+2b=0,→a=b=c=0 12a+2b=0 +b+c=0, 4a+2b=0 f∈C(R) b 0 (三),计算下列函数的导数 (1) 奇函数的导数为偶函数;偶函数的导数为奇函数; 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 (二), 研究下列函数的可导性： (1)若 g C(−,+) ,求 ( ) ( 4) ( ) 2 f x = x − g x 之可导点. 解： lim ( 2) ( ) 4 (2) 2 ( 4) ( ) 0 lim 2 2 2 x g x g x x g x x x = + = − − − → → lim ( 2) ( ) 4 ( 2) 2 ( 4) ( ) 0 lim 2 2 2 = − = − − + − − →− →− x g x g x x g x x x (2) + + = − − , 1 , 1 ( ) 4 2 1 1 2 ax bx c x e x f x x , 常数 a,b,c 满足什么条件时, 函数 f 可导，并求导函数。 高阶导数的情况如何？ 解： 由连续性可得： f (1) = 0 a +b + c = 0 + − − = − − 4 2 , 1 , 1 1 1 ( ) 3 2 1 1 2 ax bx x x x e f x x ; 0 1 0 (1) lim 2 1 1 1 = − − = − − → − x e f x x , 0 1 0 ( 1) lim 2 1 1 1 = + − − = − − →− + x e f x x . 若 + = + + = 4 2 0 0, ( ) 1 a b a b c f C R a = b = c = 0 ; + = + = + + = 12 2 0 4 2 0, 0, ( ) 2 a b a b a b c f C R a = b = c = 0 ; = + = + = + + = 24 0 12 2 0, 4 2 0, 0, ( ) 3 a a b a b a b c f C R a = b = c = 0 (三), 计算下列函数的导数： (1) 0 4 2 3 1 = + + − x x x x x =? 奇函数的导数为偶函数；偶函数的导数为奇函数；
第三章导数与微分 因此,奇函数的二阶导数为奇函数函数,所以f"(O)=0 +√x2+1 (若()=x2x,a"(xe-) a("e-)=∑c(ye-y-) e-∑(y hk(k-1)…(k-h+1) h n(n-1)(n-h+1)xh (4)→y 1+x →(1+x2)y(1)+2my)+m(n-1)y)=0, ol=,-2p,(n)m(n-)y-),n>l; 1+ 特别有,y)(0)=m(n-1)yn(0),n>1; y(0=1, o(o)=(n-1)n-2)y-2(0) =(n-1)n-2)(n-3Xn-4)y=(0) 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 因此，奇函数的二阶导数为奇函数函数, 所以 f (0) = 0 (2) + + − + 1 1 ln 2 2 x x x x dx d =？ ln ( 1) ln ( 1) 1 1 ln 2 2 2 2 = − + − + + + + − + x x x x x x x x ln ( 1) 2ln ( 1) 1 1 ln 2 2 2 2 2 = − + = − + + + − + x x x x x x x x ln( 1) 2ln( 1) 2 2 2 = + + = − + + − x x x x + + − + 1 1 ln 2 2 x x x x dx d = 2 (ln ( 1)) 2 − x + x + dx d = 1 2 2 + − x (3)若 n x f x x e − ( ) = , ( ) = ? n −x k k x e dx d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − = k h k h x h h n k n x k k x e C x e dx d 0 = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − − + − − + − k h x k h n h n n n h x h k k k h e 0 1 1 ! 1 1 1 (4) 2 1 1 x y + = (1 ) 1 2 y + x = ( ) ( ) ( ) (1 ) 2 ( 1) 0 2 1 1 + + + − = n+ n n− x y nxy n n y , ( ) ( ) ( 1) 2 2 1 1 ( 1) 1 + 2 − + − + + = n n n y x n n y x nx y , n 1 ; 特别有， ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) (0) +1 −1 = − n n y n n y , n 1 ; y (0) =1, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ( 2) (0) −2 = − − n n y n n y = ( ) ( ) ( ) 1 ( 2) 3 ( 4) (0) −4 − − − − n n n n n y
第三章导数与微分 =(n-1) 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 = (n −1)!