《数学分析》第十六讲 广义含参变量积分

第四章重积分 第二章含参变量积分 第六节含参变量的积分 4-6-2广义含参积分 第十六讲广义含参变量积分 课后作业 阅读:第四章第六节:含参变量积分pp.135-141 预习:第五章第一节:曲线积分pp.142-151 作业 1.证明下列积分在参变量的指定区间上一致收敛 (1)xeax(a≤s≤b) (2) x x"ndx(00) 3.利用积分号下求导的定理及 dx 2Vt (t>0) 计算积分 4.计算积分 d(a>0b>0) 4-6-2广义含参积分 含参积分(x)或广(xy)中被积函数在上是无界函 数时,就称为广义含参变量积分。由广义含参积分定义的函数在实际使用得 以一般含参积分更广泛,但在研究其性质时复杂一点。 1)广义含参变量积分的收敛性与一致收敛性 逐点收敛概念设函数f(x,y在带域D=[a+∞)×[cd上有定义 如果点在y∈[e]处,广义积分 第五章含参变量的积分

第四章 重积分 第五章 含参变量的积分 1 第二章 含参变量积分 第六节 含参变量的积分 4-6-2 广义含参积分 第十六讲 广义含参变量积分 课后作业： 阅读：第四章 第六节: 含参变量积分 pp.135---141 预习：第五章 第一节: 曲线积分 pp. 142---151 作业: 1. 证明下列积分在参变量的指定区间上一致收敛. (1) 0 + −  x e dx s x (a  s  b) ; (2) e x dx tx 2n 0 2 − +  (0  t 0  t  +) . 2. 利用积分号下求导的定理及 0 2 2 +  + = dx y x y  ( y  0) . 证明 0 2 1 1 2 2 2 1 2 + + − +        + = dx − y x n n y n n ( ) ( )!! ( )!!  (y  0) 3. 利用积分号下求导的定理及 t e dx tx  2 2 1 0 = − +  (t  0) 计算积分 e x dx. tx 2n 0 2 − +  . 4. 计算积分 0 2 2 + − −  e − e x dx ax bx (a  0,b  0) . 4-6-2 广义含参积分 含参积分   a f (x, y)dx 或  b a f (x, y)dx 中被积函数在 a,b 上是无界函 数时, 就称为广义含参变量积分。由广义含参积分定义的函数在实际使用得 以一般含参积分更广泛，但在研究其性质时复杂一点。 1) 广义含参变量积分的收敛性与一致收敛性 ⚫ 逐点收敛概念 设函数 f (x, y) 在带域 D = a,+) c,d 上有定义, 如果点在 y0 c,d 处, 广义积分

第四章重积分 f(x,yo) If(x, yo 收敛,就称无穷限含参量积分f(x,y)在点y处收敛,否则就称 它在y0点发散:如果在区间[cd上每一点都收敛,则称无穷限含参 变量积分在[c:d]上收敛,这样就在[cd]定义了一个上的函数 致收敛概念若E>0,丑A0(E)>0,当A>A0时,恒有 [(xy本=()0,丑4(E,y)>0,当A',A">A0时,恒有 f(x, y)da f(x, y) ()无穷限含参变量积「f(x,y)在d上一致收敛的等价条件是 VE>0,34(6)>0,当A’,A”>A时,恒有 If(x, y)dx-5/(x,y)d f(x, y)dx0,34()>0, 当A’,A">A时, F(x,y)<E,故 第五章含参变量的积分

第四章 重积分 第五章 含参变量的积分 2 c A a A f x y dx f x y dx + →+   ( , ) = lim ( , ) 0 0 收敛, 就称无穷限含参量积分 a f x y dx +  ( , ) 在点 y 0 处收敛, 否则就称 它在 y 0 点发散； 如果在区间 c,d 上每一点都收敛, 则称无穷限含参 变量积分在 c,d 上收敛，这样就在 c,d 定义了一个上的函数 I y f x y dx a ( ) = ( , ) +  . ⚫ 一致收敛概念 若   0, A0 ()  0 , 当 A  A0 时, 恒有 − ( )    f x y dx I y A a ( , ) , y c,d, 则称无穷限含变量积分 a f x y dx +  ( , ) 在 c,d 上一致收敛于 I(y) ; 或简单地说: a f x y dx +  ( , ) ( 关于 y c,d ) 一致收敛。 ⚫ 柯西准则: (1) 无穷限含参变量积 a f x y dx +  ( , ) 收敛的等价条件是:   0, A0 (, y)  0, 当 A , A  A0 时, 恒有 a A a A A A f x y dx f x y dx f x y dx        ( , ) − ( , ) = ( , )   . (2) 无穷限含参变量积 a f x y dx +  ( , ) 在 c,d 上一致收敛的等价条件是:   0, A0 ()  0 , 当 A , A  A0 时, 恒有 a A a A A A f x y dx f x y dx f x y dx        ( , ) − ( , ) = ( , )   . 验证广义含参变量积分是否是一致收敛的最常用的方法是比较判别法。 ⚫ 一致收敛强函数判别法 (Weirstrass 判别法) 设在带域 a,+) c,d 上, 有 f (x, y)  F(x) , 如果积分 a F x dx +  ( ) 收敛, 则 a f x y dx +  ( , ) 关于 y c,d 一致收敛。 证明 a f x y dx +  ( , ) 收敛, 因此   0, A0 ()  0 , 当 A , A  A0 时,     A A F(x, y)dx  , 故

第四章重积分 f(x, y)d f(x,y)dx=.F(x) 本定理得证 例1证明积分 Je" Sinxd在y的区间+∞)上一致收敛(c>0) 证明y[+),c>0,故p 而「e收敛, 所以强函数判决∫eSmx在y+x)一致收敛。 以证明,e”smxd在区间(+)上收敛但不一致收敛 2)广义含参变量积分的分析性质 下面讨论由广义含参变量积分所定义的函数的连续性、可微性和可积性。 连续性定理(1)f(x,y)在[+)x[,d上连续 (y)=「f(x)在y的闭区间4小上一致收敛 则10y)在[cd]上连续 证明:lm(y)=mf(x,y)= lim lim["f(x,y = lim limf(x, y)dx=limlim f(x,y)dx (x,)=f(x,y) *此处用到上节讨论的累次极限可交换的定理:这里 F(A,J)=/(x,y)dx, limlim F(A,2)=lim lim 可积性定理设f(x,y)在[a+∞)x[ed]上连续,且 1()=f(xy)d在小上一致收敛 则(y)在[e]上可积,且其积分满足等式 ∫(y)=小∫”(x,y=厂 即积分顺序可交换。 证明:(y)d=[d[f(x,y)dhx 第五章含参变量的积分

第四章 重积分 第五章 含参变量的积分 3             A A A A A A f (x, y)dx f (x, y) dx F(x)dx  , 本定理得证。 例 1 证明积分  + − 0 e Sinxdx y x 在 y 的区间 c,+) 上一致收敛 (c  0) 。 证明 y c,+), c  0, 故 e x e e − yx − yx −cx sin   , 而 0 + −  e dx cx 收敛, 所以强函数判决:  + − 0 e Sinxdx y x 在 y c,+) 一致收敛。 可以证明, 0 + −  e xdx yx sin 在区间 (0,+) 上收敛, 但不一致收敛。 2) 广义含参变量积分的分析性质 下面讨论由广义含参变量积分所定义的函数的连续性、可微性和可积性。 ⚫ 连续性定理 (1) f (x, y) 在 a,+) c,d 上连续, (2) I y f x y dx a ( ) = ( , ) +  在 y 的闭区间 c,d 上一致收敛, 则 I(y) 在 c,d 上连续。 证明：   → → + → → = = A y y y y a y y A a lim I( y) lim f (x, y)dx lim lim f (x, y)dx 0 0 0 ; =* → →  →  → = A A a y y A A y y a lim lim f (x, y)dx lim lim f (x, y)dx 0 0 = ( ) 0 0 0 lim f (x, y )dx f (x, y )dx I y a A A a = =    → . *此处用到上节讨论的累次极限可交换的定理：这里 F(A y) f x y dx F(A y) F(A y) y y A A y y A a , ( , ) , lim lim , lim lim , → 0 → → → 0 = =  ⚫ 可积性定理 设 f (x, y) 在 a,+) c,d 上连续, 且 I y f x y dx a ( ) = ( , ) +  在 c,d 上一致收敛, 则 I(y) 在 c,d 上可积, 且其积分满足等式 c d c d a a c d I y dy dy f x y dx dx f x y dy      = = + + ( ) ( , ) ( , ) , 即积分顺序可交换。 证明：            = = →+ + d c A a A a d c d c I(y)dy dy f (x, y)dx lim f (x, y)dx dy ;

第四章重积分 如〔(A=如C(/(y) d x 此处用到上节讨论的积分号与极限号可交换的定理:这里 F(4y)=f(xy)t∫F(4y=∫F(y 当d=∞时,如果f(x,y)满足下列条件 (1)f(x,y)在[l+∞)x[e,可]上连续 )Jf(x,y)t和(x,y)h分别在y的门]上和x的小上 致收敛,其中C与A为任意大的正数; (3)「d1(x,y)和厂(xy)中有一个存在 则/0)=「1(xy)在+)上可积,且满足 (y)=df(x,y)小 可微性定理设(1)f(xy),f(x,y)在[a+∞)x[e,d]上连续, (2)(y)=.f(x,y)dtx存在 (3J(x,)在yE小上一致收敛 则I(y)的导数存在,且 0y(xy)=厂(x 即积分与导数可交换顺序。 证明:()=厂(xy)=(m/(xy = lim f(x, y)dx=lim f(, y)dx f(x, y)a 第五章含参变量的积分

第四章 重积分 第五章 含参变量的积分 4 =*            =      →+ →+ A a d A c d c A A a lim f (x, y)dx dy lim f (x, y)dy dx =   + d a c dx f (x, y)dy . *此处用到上节讨论的积分号与极限号可交换的定理：这里 F(A y) f x y dx F(A y)dy F(A y)dy d c A d c A A a   → → , = ( , ) , lim , = lim , 当 d =  时, 如果 f (x, y) 满足下列条件: (1) f (x, y) 在 a,+) c, 上连续; (2) a f x y dx +  ( , ) 和 c f x y dy +  ( , ) 分别在 y 的 c,C 上和 x 的 a, A 上 一致收敛, 其中 C 与 A 为任意大的正数; (3) c a dy f x y dx + +   ( , ) 和 a c dx f x y dy + +   ( , ) 中有一个存在, 则 I y f x y dx a ( ) = ( , ) +  在 c,+) 上可积, 且满足 c c a a c I y dy dy f x y dy dx f x y dy + + + + +      ( ) = ( , ) = ( , ) . ⚫ 可微性定理 设 (1) f (x, y) , f  x y y ( , ) 在 a,+) c,d 上连续, (2) I y f x y dx a ( ) = ( , ) +  存在, (3) a y f x y dx +  ( , ) 在 y c,d 上一致收敛, 则 I(y) 的导数存在, 且  = =  + +   I y d dy f x y dx f x y dx a a y ( ) ( , ) ( , ) , 即积分与导数可交换顺序。 证明： ( )       = =   →+ + A a A a f x y dx dy d f x y dx dy d I y dy d ( , ) lim ( , ) ; =*        →+ A A a f x y dx d y d lim ( , ) =    → A A a f x y dx y lim ( , ) =     a f x y dx y ( , )

第四章重积分 此处用到上节讨论的求导与极限号可交换的定理:这里 ()/xym(4=m品(4y 3)举例: 例2计算积分 dx(a,b>0)之值 解由e-d 可得 为了交换积分顺序以求得积分值,先证c在y∈上一致收敛 显然,当0≤x0) 且「e"d收敛,可得e”在yE小上一致收敛 「d-「dch=∫d!eh (÷-儿2= 例3计算(y)=[ e- cos yxdx之值(a>0) 解记f(x,y)= e- cosy,则f(x,y)=- re sin yx x∈[0+∞),y∈R 且「”xd收敛,所以「”f(x,y)在y的任何区间上一致收敛 又f(x,y)x显然对一切y都存在,得 ()=「f(xy)x=-「x xe sin vax e-a cos wxdx=0-10 2a 第五章含参变量的积分

第四章 重积分 第五章 含参变量的积分 5 *此处用到上节讨论的求导与极限号可交换的定理：这里 ( ) ( ( )) F(A y) y F A y dy d F A y f x y dx A A A a , ( , ) , lim , lim ,   = = → →  3) 举例： 例 2 计算积分 0 + − −  e − e x dx ax bx (a, b>0)之值 解 由 0 + − − −  = − e dy e e x xy ax bx 可得: 0 + − −  e − e x dx ax bx = 0 + −   dx e dy a b xy . 为了交换积分顺序以求得积分值, 先证 0 + −  e dx xy 在 y a,b 上一致收敛, 显然, 当 0  x  + , a  y  b 上, 有: e e − xy −ax  (a  0) 且 0 + −  e dx ax 收 敛 , 可 得 0 + −  e dx xy 在 y a,b 上一致收敛 , 0 + − −  e − e x dx ax bx = 0 0 + − + −     dx e dy = dy e dx z b xy a b xy = −       = =   − + a b xy a b y e dy y dy b a 1 1 0 ln . 例 3 计算 I y e yxdx ax ( ) = cos + − 0 2 之值 (a  0) . 解 记 f x y e yx ax ( , ) = cos − 2 , 则  = − − f x y xe yx y ax ( , ) sin 2 , x 0,+), y R , −  − − xe yx xe ax ax 2 2 sin , 且 0 + 2 −  xe dx ax 收敛, 所以 0 +  f  x y dx y ( , ) 在 y 的任何区间上一致收敛, 又 0 +  f (x, y)dx 显然对一切 y 都存在, 得:  =  = − + + −   I y f x y dx xe yxdx y ax ( ) ( , ) sin 0 0 2 = − − + + −  1 2 2 2 2 0 a 0 e yx y a e yxdx ax ax sin cos = 0 − 2 y a I( y) ;

第四章重积分 y dh 解微分方程得(y)=ce (c为常数)取y=0 C=/(0)=am2d(令√ax=) (利用泊桑积分结果 2V a 故得 1(y)= > 2va 例4计算(a)=「a(a>0)之值 解首先引进“收敛因子”eˉ(k>0),再计算: J(a)=C"c*.3“k,va≥0 kx sin ar cos axdx a2+k2 J(a)=arctan,a>0 in a -k2o ck 例5计算「e之值 解首先令x=lt,u>0,则有:I=ale"rdh 两边乘e再对u从0到+∞作积分 -u2x dadu udu 1+t 第五章含参变量的积分 6

第四章 重积分 第五章 含参变量的积分 6 即 dI dy y a = − 2 . 解微分方程得 I y ce y a ( ) = − 2 4 ( c 为常数) 取 y = 0, c I e dx ax = = + −  (0) 0 2 (令 ax = u ) = = + − 0 1 1 2 2 a e du a u  (利用泊桑积分结果), 故得 I y e yxdx a e ax y a ( ) = cos = + − − 0 4 2 2 1 2  (a  0) . 例 4 计算 dx x ax I a  + = 0 sin ( ) (a  0) 之值. 解 首先引进“收敛因子” (  0) − e k kx , 再计算： dx x ax J a e k x  + − =  0 sin ( ) , a  0 , 2 2 0 0 cos ( ) sin a k k dx e axdx x ax e da d da dJ a k x k x + =  =  =   + − + − ( ) k a J a = arctan , 2 lim arctan sin 0, 0 0   = =  + → + k a dx x ax a k 例 5 计算 e dx x  + − 0 2 之值. 解 首先令 x = u t, u  0 , 则有： I u e dx u x  + − = 0 2 2 两边乘 2 u e − 再对 u 从 0 到 + 作积分:    + + − − + −        = 0 0 0 2 2 2 2 I e du e u e dx du u u u x ( ) 1 4 1 2 1 0 2 0 1 0 2 * 2 2  = + =  =    + + − + + dx t I dx e u du x u 0 2 2  = =  + − I e dx x