《数学分析》第十二讲 原函数及不定积分

第五章不定积分 第五章不定积分 CThe indefinite integration 第十二讲原函数及不定积分 课后作业: 阅读:第五章51:pp124-125;5.2:pp125-129;53:pp131-132; 预习:第五章54:pp135-137;5.5:pp138-141;56:p.143-149 练习pp129--131:习题52:1;3;4;7中的单号题;10:;1 pp133--134:习题53:1,2,3,4各题中的单号题;6;7;9 作业pp129-131:习题52:2;5;6;7中的双号题;8;9;12 pp133-134:习题53:1,2,3,4各题中的双号题;5;8:10;1. 引言: 运算与其逆运算; 问题与其反问题。 5-1原函数和不定积分 5-1-1原函数概念及性质 )原函数概念 定义如果在某区间上恒有F'(x)=f(x),则称F(x)是f(x) 在区间I上的一个原函数 例如,在区间(0,+∞),hx是一的一个原函数 在区间(-∞,0),l(-x)是一的一个原函数 在区间(-∞,+∞),Sm2x,是2 Sinx cosx的一个原函数 Cos2x也是2 Sinx cosx的一个原函数等等. 因arcg-=-l 可知 acg是,2在(0,+∞)上的原函数,也是,2在 1+x (-∞0)上的原函数 注:一个函数在某区间I上是否存在原函数,这有侍下一章研究, 但有一个重要结论:在一区间上连续的函数一定有原函数。 (二)原函数的性质 性质一:F(x)G(x)都是f(x)在区间上的原函数,则存在常数c, 使得G(x)=F(x)+c.或者说,同一函数的两个原函之间只 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分 第五章 不定积分 (The indefinite integration ) 第十二讲 原函数及不定积分 课后作业： 阅读：第五章 5.1: pp124---125; 5.2: pp125---129; 5.3: pp131---132; 预习：第五章 5.4: pp135---137; 5.5: pp138---141; 5.6:pp. 143---149 练习 pp.129---131: 习题 5.2: 1; 3; 4; 7 中的单号题; 10; 11. pp.133---134: 习题 5.3: 1, 2,3,4 各题中的单号题; 6; 7; 9. 作业 pp.129---131: 习题 5.2: 2; 5; 6; 7 中的双号题; 8; 9; 12. pp.133---134: 习题 5.3: 1, 2,3,4 各题中的双号题; 5; 8; 10; 11. 引言： ⚫ 运算与其逆运算； ⚫ 问题与其反问题。 5-1 原函数和不定积分 5-1-1 原函数概念及性质 (一) 原函数概念 定义 如果在某区间 I 上恒有 F(x) = f (x) , 则称 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数. 例如, 在区间 (0,+) , ln x 是 x 1 的一个原函数; 在区间 (−,0) , ln( −x) 是 x 1 的一个原函数. 在区间 (−,+) , Sin x 2 ,是 2 SinxCosx 的一个原函数; Cos x 2 − 也是 2 SinxCosx 的一个原函数等等. 因 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x arctg +  =      −       + =        , 可知： x arctg 1 是 2 1 1 + x 在 (0,+) 上的原函数, 也是 2 1 1 + x 在 (−,0) 上的原函数 注：一个函数在某区间 I 上是否存在原函数，这有侍下一章研究， 但有一个重要结论：在一区间上连续的函数一定有原函数。 (二) 原函数的性质 性质一： F(x),G(x) 都是 f (x) 在区间 I 上的原函数,则存在常数 c , 使得 G(x) = F(x) + c .或者说，同一函数的两个原函之间只

第五章不定积分 差一个常数。 证明:F(x),G(x)是f(x)在区间/上的两个原函数 →Vx∈l,G(x)-F'(x)≡0 →x∈1,(G(x)-F(x)=0 C,Vx∈l,G(x)=F(x)+C 性质二:若F(x)都是f(x)在区间I上的一个原函数,则 函数集合三={(x)+C|C∈R是的所有原函数 证明:首先,VC∈R (F(x)+C)=F'(x)=f(x) →VC∈R,F(x)+C∈三 再者,Vx∈l,G'(x)=f(x) 彐C∈R,G(x)=F(x)+Cf(x) G(x)∈三 重要结论:若f(x)在区间/上存在原函数F(x),则f(x)在区间 I上的所有原函数都可以写成F(x)+c的形式 5-1-2不定积分概念及性质 (-)不定积分定义:如果∫(x)在区间/上存在原函数,则所有原函 数的集合三={F(x)+C|C∈R,称为f(x)在区间1 上的不定积分记作f(x)d或写成 f∫(x)dhx=F(x)+c(c∈R) )不定积分的性质 性质一:求不定积分是求导数微分的逆运算:即 (1)若∫(x)有原函数, f(x)dx)’=f(x) f(x)dx)=f(x)dx (2)若Vx∈1,F(x)可导,且导函数F'(x)连续,则 「F(x)bx=F(x)+c,∫4F(x)=F(x)+c 定理:(不定积分运算的线性性)若∫(x).g(x)有原函数,则 (1)[U()+g(x)=(x)+∫g(x (2)若a≠0,则[αf(x)dx=af(x)dr 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分 差一个常数。 证明： F(x),G(x) 是 f (x) 在区间 I 上的两个原函数  x  I, G(x) − F(x)  0  , ( ( ) ( ))  0  x  I G x − F x  C, x  I, G(x) = F(x) + C . 性质二：若 F(x) 都是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则 函数集合  = F(x) +C C R 是的所有原函数。 证明： 首先, C  R , (F(x) C) = F(x) = f (x)  +  C  R, F(x) + C  ; 再者， x  I, G(x) = f (x)  C R, G(x) = F(x) + C f (x)  G(x)  . 重要结论： 若 f (x) 在区间 I 上存在原函数 F(x) ,则 f (x) 在区间 I 上的所有原函数都可以写成 F(x) + c 的形式. 5-1-2 不定积分概念及性质 (一)不定积分定义: 如果 f (x) 在区间 I 上存在原函数,则所有原函 数的集合  = F(x) +C C R, 称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分.记作  f (x)dx 或写成：  f (x)dx = F(x) + c (c  R) (二) 不定积分的性质 性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算：即 (1) 若 f (x) 有原函数, 则 ( f (x)dx) = f (x)  ,  d( f (x)dx) = f (x)dx . （2）若 x I , F(x) 可导, 且导函数 F(x) 连续, 则  F(x)dx = F(x) + c , d F x = F x + c  ( ) ( ) 定理: (不定积分运算的线性性) 若 f (x), g(x) 有原函数,则 （1）    [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx (2）若   0 ，则    f (x)dx =  f (x)dx

第五章不定积分 例1:在区间(0,+∞),nx是一的原函数,∫dx=lhx+c 在区间(-20),如(-)是的原函数,门dx=hm(-x)+c snx,x≥0 例2:设f(x)= 求∫(x)在区间(-∞,+∞)上的不定积分 ,x0.-∞<x+) In a e'dx=e+c,(-∞<x<+∞) (5) Sinxdx=-Cosx+c,( <X<+ 6)[ Cosxdx=Smnx+c,(-∞<x<+∞) 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分 例 1: 在区间 (0,+) , ln x 是 x 1 的原函数, dx x c x  = ln + 1 ; 在区间 (−,0) , ln( −x) 是 x 1 的原函数, dx x c x  = ln( − ) + 1 ; 例 2:设     −  = , 0 sin , 0 ( ) x x x x f x ,求 f (x) 在区间 (−,+) 上的不定积分. 解: 在区间 [0,+) 上, 1 cos x + c 是 cos x 的所有原函数; 在区间 (−,0) 上, 2 2 2 1 x + c 是 x 的所有原函数.由于任一原 函数在区间内可导，当然连续, 由此条件可知，只有当: 1 1 2 + c = c 时，      + +  +  + = 1 , 0 2 1 cos , 0 ( ) 1 2 1 1 x c x x c x F x c 在区间 (−,+) 才连续可微, 且处处有 F(x) = f (x). 因此, 在区间 (−,+) F(x) 是 f (x) 的一个原函数.且  f (x)dx = F(x) + c 5-1-3 基本积分表 由于求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过 来就是一个求不定积分的公式。 (一) 基本积分表 以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表. (1) dx = x + c  (2) , ( 0) 1 1 1 +   + =  +  x dx x c x (3)  = x +c x dx ln | | ( x  0 ) (4) , ( 0, ) ln 1  = a + c a  −   x  + a a dx x x = + , ( −    +)  e dx e c x x x (5) Sinxdx = −Cosx + c  , ( −   x  +) (6) Cosxdx = Sinx + c  , ( −   x  +) (7)  Sec xdx = Tgx + c 2

第五章不定积分 ∫ Secx tgx dx=Secx+c (8) Csc xdx=-Cotx+ Cecx Cotxdx =-Cscx+c arcsin x+c (-1<x<1) - arccos+c niX arctan+c (11) (-∞<x<+∞) -arc cotx+c (12) 例3求不定积分j(3-x) 解:」8-x)j1-6x+x2=9x=3x2+x2+c cos 2x 例5求不定积分 sin x- cos x 解:利用三角恒等式得到 (sin x +cos x) sin x- cosx sin xx-cosx cos 2x dx=-sin xdx- cos xdx= cosx-sin x+c sin x-cosx 例6求不定积分∫-Sm2xa Sin 2x dx=(Cosx-Sinx)dx )(Cosx-Sinx ) dx ( Sinx+Cosx). Sgn(Cosx-Sinx)+c 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分  SecxTgx dx = Secx + c (8) Csc xdx = −Cotx + c  2 ,  CecxCotxdx = −Cscx + c (9)    − + + = −  x c x c x dx arccos arcsin 1 2 , ( −1 x 1 ) (10) x x c x dx = +  +   ln 1 1 2 2 **, (11)    − + + = +  arc x c x c x dx cot arctan 1 2 , ( −   x  +) (12) c x x x dx + − + = −  1 1 ln 2 1 1 2 **, ( −1  x  +1) 例 3 求不定积分 ( )  − x dx 2 3 解： ( )  − x dx 2 3 = ( − x + x )dx = x − x + x + c  2 2 3 3 1 9 6 9 3 例 5 求不定积分  − dx x x x sin cos cos 2 解:利用三角恒等式得到 (sin cos ) sin cos cos sin sin cos cos 2 2 2 x x x x x x x x x = − + − − = −  − dx x x x sin cos cos 2 = −sin xdx−  cos xdx = cos x −sin x +c . 例 6 求不定积分  1− Sin2x dx 解:  1− Sin2x dx =  Cosx − Sinx dx 2 ( ) = = Sgn Cosx − Sinx (Cosx − Sinx)dx  ( ) = (Sinx +Cosx) Sgn(Cosx − Sinx) + c

第五章不定积分 52凑微分法(第一换元法) 凑微分法学名称第一换元积分法,它是由复合函数微分公式在不定 积分中的运用 dF(a)=f(u)dlu,且u=(x)连续可导 dF(o(x))=f(o(x)o(x)dx F'(uu()dx= dF(u(x))=f(u(x))+C 即,F((x))就是∫(o(x)p(x)的原函数因此得到结论 定理:(凑微分法)若「f()dhm=F()+c,l=0(x)连续可导,则 f(o(o(x)dx= F(o(x))+c 例7求不定积分[(3-x)dx 解:令l=3 ∫6-xy=」mm(3-)=-」uM=1(-xy+c 例8:求不定积分 Sinx cosxd 解:令=Six,则有 SinxCosxdx=udu=u2+c=-Sin2x+c [SinxCosxdx=[Sinx d(Sinx)=(Sinx)+c= Sin2'x+c SSinx Cosxdr=- Cosxd(Cosx)=3(Cosx),c=3Cos2'x+c ∫ Sinx cosxdx=∫ Sin2x d(2x)+c 例9:求不定积分「mnx和[ cot xdx 解: tan xdx= dx=-f d(cos x COS x cos x 因为==hanl+c,所以有 d(cos x) tan xdx= -In x+c COS x 同样的方法可以得到 d(sin x) 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分 5.2 凑微分法 (第一换元法) 凑微分法学名称第一换元积分法,它是由复合函数微分公式在不定 积分中的运用。 dF(u) = f (u)du ,且 u = (x) 连续可导  dF((x)) = f ((x))(x)dx  F u u x dx = dF u x = f u x + C   ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) , 即， F((x)) 就是 f ((x))(x) 的原函数.因此得到结论: 定理:(凑微分法) 若 f u du = F u + c  ( ) ( ) , u = (x) 连续可导，则 f  x  x dx = F  x + c  ( ( )) ( ) ( ( )) 例 7 求不定积分 ( )  − x dx 100 3 解：令 u = 3− x, ( x) dx u d( u) u du ( − x) + c − − = − = − =    100 100 100 101 3 101 1 3 3 例 8: 求不定积分  SinxCosxdx 解: 令 u = Sinx ,则有  SinxCosxdx = udu = u + c = Sin x + c  2 2 2 1 2 1 ;  SinxCosxdx = Sinx d(Sinx) = (Sinx) + c = Sin x + c  2 2 2 1 2 1 ;  SinxCosxdx Cosx d(Cosx) (Cosx) + c = Cos x + c − = − =  2 2 2 1 2 1 ;  SinxCosxdx Sin x dx Sin x d( x) c Cos x + c − = = + =   2 4 1 2 2 4 1 2 2 1 例 9: 求不定积分  tan xdx 和  cot xdx . 解:  tan xdx  = dx x x cos sin  = − x d x cos (cos ) . 因为 u c u du = +  ln | | ,所以有  tan xdx  = − x d x cos (cos ) = −ln | cos x | +c 同样的方法可以得到:  cot xdx  = x d x sin (sin ) = ln |sin x | +c

第五章不定积分 凑微分法的基本思路是,先做小积分,即,使得 f(xdx=glu(x))u(x)dx=g(u)du 凑成己有的积分公式 g(u)d=G((x)+c形式 常用凑微分公式 =-1,d+b;a=1d(ax+b) xdx=- edx=d(e) d(n x) Cosx dx=d(Sinx), Sinx dx=-d(Cos x) odx=Sec xdx=d(gx) dx=Csc2xdx=-d(ctg) 例10:求不定积分∫ecxa和 jcsc xdx COS X 解1:| sec xdx d (sin x) dx COS x In 21-sin x 解2:∫ cOS x d(tan dx=2 X COS 1+tan cos-+ sin In COS x-2x2 = +C=Insec x + tan x+c cosx 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分 ⚫ 凑微分法的基本思路是，先做小积分，即，使得 f (x)dx = g(u(x))u (x)dx = g(u)du 凑成己有的积分公式  g(u)du = G(u(x) + c 形式。 ⚫ 常用凑微分公式： x dx d(x + b)  + =  +1 1 1 ; d(ax b) a dx = + 1 ; ( ) 2 2 1 xdx = d x , d( x ) x dx = 2 ( ) x x e dx = d e , d( x) x dx = ln ; Cosxdx = d(Sin x), Sinx dx = −d(Cos x), dx Sec xdx d(tgx) Cos x = = 2 2 1 , dx Csc xdx d(ctgx) Sin x = = − 2 2 1 . 例 10: 求不定积分 sec xdx 和  csc xdx. 解 1:  sec xdx    − = = = x d x dx x x x dx 2 2 1 sin (sin ) cos cos cos c x x + − + = | 1 sin 1 sin ln | 2 1 = ln |sec x + tan x | +c 解 2:  sec xdx  = x dx cos   − = − = 2 1 tan ) 2 (tan 2 2 sin 2 cos 1 2 2 2 x x d dx x x c x x x x c x x + − + + = − + = 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos ln 2 1 tan 2 1 tan ln = c x x c x x + = + + + = ln sec tan cos 1 sin ln

第五章不定积分 解2 COSx COS tan 42 42 2 42 tan 7 x =-hnItan +c=-h tan cOS-+ sin +c=hn cos r/+c=In/secx+ tan xi+c coSo-sn a 解4 sec=[ sec x(sec x+tgx) secx + iga sec x+ sec x 二x -d(secx+tgx)In sec x+tanx|+c sec xt igx 同样的方法可以得到 cscxdx= In cscx-cot x +c Cos T8=InTg+ 例4:求不定积分 解:由于1 2 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分 解 2:  sec xdx  = x dx cos         −      − = dx x x dx 4 2 sin 4 2 2cos           −               − = −        −      −       − − = 4 2 tan 4 2 tan 4 2 sin 4 2 2cos 4 2 2 x x d dx x x x d      c x x c x + + −  + = −      = − − 2 1 tan 2 1 tan ln 4 2 ln tan  = c x x c x x c x x x x + = + + + + = − + = ln sec tan cos 1 sin ln 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos ln 解 4:  sec xdx  + + = x tgx x x tgx sec sec (sec ) dx x tgx x x tgx  + +  = sec sec sec 2 d( x tgx) x tgx + + =  sec sec 1 = ln |sec x + tan x | +c 同样的方法可以得到 xdx = x − x +c  csc ln | csc cot | ;  csc xdx          = = = 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 x d x Tg x Cos dx x Cos x Sin Sinx dx c x Tg x d Tg x Tg  = +       2 ln 2 2 1 例 4:求不定积分  − 2 2 a x dx 解:由于       − + + = a − x a a x a x 1 1 2 1 1 2 2

第五章不定积分 dx 2a(a+ n1+x-h|-x)+c=.h(+x+c 例11:求∫ 因为 = arctan u+c,所以 d( arctan -+c 1+()2a 1d+x2) +x +c dx=lI 1+x2 -dx=? +bx +c 例12:求 解:因为∫ arcsin ll+c,所以 do arcsin -+c 求 1r-d-1x2) 1-(l/x) -(/x3y --0/x 例13: clg√x+c 1+x 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分  − 2 2 a x dx       − + +  =      − + + =    a x dx a x dx a dx a a x a x 2 1 1 1 2 1 = ( ) c a x a x a x x c a + − + + − − + = ln 2 1 ln |1 | ln |1 | 2 1 例 11:求  + 2 2 a x dx .因为  = + + u c u du arctan 1 2 ,所以 解:  + 2 2 a x dx c a x a a x a x d a = + + =  arctan 1 1 ( ) ( ) 1 2 . ( ) ( x ) c x d x x xdx = + + + + = +   2 2 2 2 ln 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) dx x arctgx c x dx x x x x dx  = − +      + = − + + − = +   2  2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 = + + +  dx ax bx c ex f 例 12:求  − 2 2 a x dx 解:因为 u c u du  = + − arcsin 1 2 ,所以  − 2 2 a x dx c a x a x a x d = + − =  arcsin 1 ( ) ( ) 2 求 ( ) ( ) ( ) ( ( ) )    − − =       − = − 3 2 2 2 3 3 2 3 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 x d x x x dx x dx ( ( ) ) c x x c x x c + − − + = − − = − − + = − − 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 例 13: ( ) ( ) arctg x c x d x x x dx = +       + = +   2 1 2 1 2

第五章不定积分 例14:∫ dx 1+(e) arctge +C dx 例15 dx[din x=NgiNx+c In x In x 例16: tx x2+1 +x√2+ dx -dx kx2-x√2+1) x FullSimplify Arctan x Arctan 1 ben a Cos x b x FullSimplify C S bc ad x ac bd log d cos x Sin x 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分 例 14: ( ) arctg e c e de e e dx x x x x x = + + = +  −  2 1 2 ( ) c e e e de e e dx x x x x x x + − + = − − = − −  −  1 1 ln 2 1 1 2 例 15: x c x d x x x dx = = +   ln ln ln ln ln 例 16:       −  +      − = + + = + +    x d x x x dx x x x dx x x 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 = c x x arc tg +        − 2 1 2 1 2 . ( ) dx x x x dx x x   + − + = + + 2 2 2 2 4 2 1 2 1 1 1 = ( ) ( ) ( )( ) dx x x x x x x x x  + + − + + + + − + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 =         − + + + +   dx x x dx x x 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 =                 +         − + +         +   dx x dx x 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 x 2 1 x4 x FullSimplify ArcTan 1 2 x ArcTan 1 2 x 2 a Cos x b Sin x c Sin x d Cos x x FullSimplify b c a d x a c b d Log d Cos x c Sin x c2 d2

第五章不定积分 Log Tan x FullSimplify Sin x Cos x 1 g Tan 第五章不定积分

第五章 不定积分 第五章 不定积分 Log Tan x Sin x Cos x x FullSimplify 1 2 Log Tan x 2