《数学分析》第十五讲 Newton－Leibniz 公式与定积分的计算（一）

5六章定积分 第六章定积分 CThe definite integration 第十五讲 Newton- Leibniz公式与定积分的计算 课后作业: 阅读:第六章63:pp168-174 预习:64,6.5,6.6:pp176-193 练习p.174-176:习题6.3:1,7,8中的单数序号小题 作业p174-176:习题6.3:1,(2),(6);2,(2);4;5;7,(4^,(6,(10 (12);8,(4),(8);9,ll;12;14;16;17;20. 6-3牛顿( Newton)-莱布尼兹 leibnitz)公式 6-3-1变上限定积分 (一)变上限积分 设∫∈ab],Vx∈[ab,F(x)=「f()t是定义在ab]上 的一个函数,称之为变上限积分 这里有一个十分重要的结果:变上限积分总是连续函数。 定理:若∫∈Ranb]→F(x)=f()∈Cab 证明:∫∈R[a,b]→∫在[a,b上有界,设界为A x∈[ab],△F(x)=|f()dt-|f(m)dt AF(x)=(054Jd=4△x-0 进一步,若加强条件,则有另一个重要结论 定理:设∫∈Ia,b1,则F(x)=「f(h,(a≤x≤b)可导,且 yx∈[a,b],F(x)=f(x) 这样F(x)=()在区间b上是f(x)的一个原函数 证明:Vx∈(a,b),有 F(x)=mF(x+△x)-F(x)= 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 第六章 定积分 (The definite integration ) 第十五讲 Newton－Leibniz 公式与定积分的计算 课后作业： 阅读：第六章 6.3: pp168---174. 预习：6.4, 6.5, 6.6: pp176---193. 练习 pp.174---176: 习题 6.3 : 1, 7, 8 中的单数序号小题. 作业 pp.174---176: 习题 6.3 : 1, (2), (6); 2, (2); 4; 5; 7, (4^, (6), (10), (12); 8, (4), (8); 9, 11; 12; 14; 16; 17; 20. 6-3 牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibnitz)公式 6-3-1 变上限定积分 (一 )变上限积分 设 f  R[a, b],  x [a, b] ,  = x a F(x) f (t)dt 是定义在 [a, b] 上 的一个函数, 称之为变上限积分. 这里有一个十分重要的结果：变上限积分总是连续函数。 定理: 若 f  R[a, b] F(x) f (t)dt C[a,b] x a  =   。 证明： f  R[a, b]  f 在 [a,b] 上有界，设界为 A ,      = − + x a x x a x [a,b], F(x) f (t)dt f (t)dt , ( ) ( ) 0  =  =  ⎯⎯→⎯0→ + +   x x x x x x x F x f t dt A dt A x . 进一步，若加强条件，则有另一个重要结论。 定理: 设 f C[a, b],则  = x a F(x) f (t)dt , ( a  x  b )可导，且:  x [a,b], F(x) = f (x) ； 这样  = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a,b] 上是 f (x) 的一个原函数. 证明:  x (a, b), 有 x F x x F x F x x  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 =

5六章定积分 [f(dt-/ f(odt Ax→+0△X 因∫(x)在[x,x+Δx]连续,由积分中值定理,存在ξ∈[x,x+△x],使 ∫o=f()Ar,5在x和x+△x之间 F(x)=imn「f(=/()Ax Im f()=f(x) Ax→0 当x为a,b时,可以。分别用右、左导数定义类似地证明。 显然地,有以下结果:若∫∈C[a,b],vx∈[a,b] (C/00)=(.,dC02-/x (/o)=-,.(/0o)=-/(h (a r()-/(uu(). d(ra fod ='()du(x) f(odt+ f(o)dt (a r(dt-J()='( )u(3-f()v 例1:求极限lim 解:由洛比塔法则, tdt tdt - lim =-lim sin x. cosx →03x 3x0(x2)6x COS x =lm costdtdy)1.cos( in x (x2) 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 = [ ( ) ( ) ] 1 lim 0   −  +  → x a x x x a f t dt f x dx x  +  →  = x x x x f t dt x ( ) 1 lim 0 因 f (x) 在 [x, x + x] 连续,由积分中值定理, 存在  [x, x + x] ,使 f t dt f x x x x =   + ( ) () ,  在 x 和 x + x 之间, F(x) = 0 lim x→ f t dt f x x x x x =    + ( ) ( ) 1  lim ( ) ( ) 0 f f x x = =  →  当 x 为 a, b 时,可以。分别用右、左导数定义类似地证明。 显然地，有以下结果：若 f C[a, b], x [a,b], ⚫ f (t)dt f (x) x a =         , d f t dt f x dx x a ( )  = ( )       ⚫ f (t)dt f (x) b x = −         , d f t dt f x dx b x ( )  = − ( )       ⚫ f t dt f u u (x) u x a =          ( ) ( ) ( ) , d f t dt f u du(x) u x a ( ) ( ) ( )  =        ⚫        = +           ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x a a v x u x v x f t dt f t dt f t dt =        −   ( ) ( ) ( ) ( ) u x a v x a f t dt f t dt = f (u)u (x)− f (v)v (x) 例 1: 求极限 3 0 0 sin 0 lim x tdt dy x y x         → 解:由洛比塔法则, 3 0 0 sin 0 lim x tdt dy x y x         → = ( )                 → 3 0 0 sin 0 lim x tdt dy x y x 6 sin cos 1 6 1 ( ) ( ) lim 3 1 3 lim 2 0 sin 0 2 0 sin 0 =  =   = =   → → x x x x tdt x tdt x x x x x x x tdtdy x x x x x cos(sin ) lim 6 1 ( ) ( cos ) lim 3 cos lim 0 2 0 sin →0 →0 → =   = 

章定积分 63-2N一L公式 定理:(牛顿一菜布尼茨公式)设f∈C[a,b],G(x)是f(x) 在[a,b]上的一个原函数,则有 ∫∫(x)dx=G(b)-G(a) 证明:因f∈C[ab],则变上限积分F(x)=「f()在区间[ab 上是∫(x)的一个原函数,并且按照F(x)的定义有 b ∫f(x)dx=F(b)-F(a) 今G(x)是f(x)在[a,b上另一个原函数,则存在常数c,使得 F(x)≡G(x) 再利用条件F(a)=「f(o)t=0,确定常数c F(a=G(a)+c=0=c=-G(a 于是,F(x)≡G( f(x)dx= F(b)-F(a=G(b)-G(a) f(x)dx=G(b)-G(a) 这就是 Newton-- Leibniz公式,又称微积分基本公式。 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 dF(x)=F(b)-F(a 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的,所以称之为牛顿一莱布 尼茨公式.这个公式把计算定积分与求原函数,这两个看来不太有关的 问题联系在一起,从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。G(b)-G(a)=F(b)-F(a),因此对于f(x) 在[a,b]上的任何一个原函数都有 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 ∫dF(x)=F(b)-F( 例2:计算定积分 解:因为√1+x2在区间[O,是被积函数X一个原函数,根 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 6-3-2 N－L 公式 定理 : ( 牛顿—莱布尼茨公式) 设 f C[a,b], G(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数, 则有 f (x)dx G(b) G(a) b a  = − . 证明：因 f C[a, b], 则变上限积分  = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a,b] 上是 f (x) 的一个原函数, 并且按照 F(x) 的定义有 f (x)dx F(b) F(a) b a  = − . 今 G(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上另一个原函数, 则存在常数 c ,使得 F(x)  G(x) + c。 再利用条件 ( ) = ( ) = 0  a a F a f t dt , 确定常数 c : F(a) = G(a) + c = 0  c = −G(a), 于是, F(x)  G(x) − G(a), f (x)dx F(b) F(a) G(b) G(a) b a = − = −  写成： b a b a f (x)dx = G(b) − G(a) = G(x)  这就是 Newton---Leibniz 公式，又称微积分基本公式。 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a  = − 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的, 所以称之为牛顿—莱布 尼茨公式. 这个公式把计算定积分与求原函数, 这两个看来不太有关的 问题联系在一起, 从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。 G(b) −G(a) = F(b) − F(a),因此对于 f (x) 在 [a, b] 上的任何一个原函数都有 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a  = − . 例 2:计算定积分  + 1 0 2 1 dx x x 解: 因为 2 1+ x 在区间 [0,1] 是被积函数 2 1 x x + 一个原函数，根

5六章定积分 据牛顿一菜布尼茨公式得到 最好与不定积分求原函数结合起来 + 2√l+ 例2计算定积分「√1- cosxdx 2sn=,0<x 解:-cosx=2sm x<0 1- cos xdx=-√2 sin -dx+√2|sndx= √2 4(√2-1) 例3计算 cos x SIn x 解 cos xsin xdx=cos xd(cos x COS x COS 1+x 例4:计算 dx dx 2 actg 1+xd=-1+x d x 11+x 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 据牛顿—莱布尼茨公式得到  + 1 0 2 1 dx x x 1 1 1 1 0 2 1 1 0 2 = + x = + − + = − . 最好与不定积分求原函数结合起来：  + 1 0 2 1 dx x x = ( ) = + +  1 0 2 2 2 1 1 x d x 1 1 1 1 0 2 1 1 0 2 + x = + − + = − 例 2:计算定积分  − − 2 2 1 cos   xdx 解:        − −     − = = 0 2 , 2 2 sin 2 , 0 2 2 sin 2 1 cos 2sin 2 x x x x x x    − − 2 2 1 cos   xdx = − + =   − 2 0 0 2 2 2 sin 2 2 sin   dx x dx x = 4( 2 1) 2 2 2 cos 2 2 2 cos 2 0 0 2 − = − −   x x 例 3: 计算  2 0 5 cos sin  x x dx 解: = ( ) =   2 0 2 5 0 5 cos sin cos cos   x xdx x d x 6 1 cos 0 2 cos 6 1 cos 6 1 6 6 2 0 6  =      = − = − −   x . 例 4: 计算 − + 1 + 1 4 2 1 1 dx x x . 解: ( ) ( )   − − − − − − − − + − = + + = + + 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 4 2 2 1 1 1 x x d x x dx x x x dx x x = 0 2 2 1 1 1 1 = − − − x x arctg ; ⚫    + + + + + = + + − − 1 0 4 2 0 1 4 2 1 1 4 2 1 1 1 1 1 1 dx x x dx x x dx x x =

5六章定积分 araigltarcig-l' 2 lim arct lm arct (?) m2: 2(x2+xy2+/× adx 2(+2+24+-52+2 arctan aran/2x+√2 arctan x √2 arctan√2+ rctanlx√2 + arcta x4++1 √2 arctan arctan n(2+)2=2=n 2+1 √2 可以验证: 2√2x(1-x2)1+x arcing 1+x 2√2x(1-x actg x4-4x2+1=0有根 ±√2-3=0517638和±√2+3=±193185 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 =         − + − − 1 0 2 0 1 2 2 1 2 1 2 1 x x arctg x x arctg = =                 − −        − → − → + 2 1 lim 2 1 lim 2 1 2 0 2 0 x x arctg x x arctg x x (? ) = 2 2 2 2 1     =      + 。 ⚫ ( ) dx x x x dx x x   + − + = + + 2 2 2 2 4 2 1 2 1 1 1 == ( ) ( ) ( )( ) dx x x x x x x x x  + + − + + + + − + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 =         − + + + +   dx x x dx x x 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 = ( ) ( )         − + + + +   dx x dx x 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 =                 + +         − 2 2 2 arctan 2 2 2 arctan 2 1 x x , = (arctan( 2 1) arctan( 2 1)) 2 1 x − + x + ⚫  − + + 1 1 4 2 1 1 dx x x = ( ( ) ( )) 1 1 arctan 2 1 arctan 2 1 2 1 = =− − + + x x x x = (arctan( 2 1) arctan( 2 1)) 2 2 − + + = ( ) 2 2 2 arctan 2 1 2 1 1 arctan 2 2  =          + + + = 2  ⚫ 可以验证： ( ) 4 2 4 2 2 1 1 4 1 2 2 (1 ) 2 2 1 x x x x x x arctg + + =          − + − , 0 4 1 2 2 (1 ) 2 2 1 1 1 1 0 4 2 1 2 0 4 2 = − + − = + + = =  x x x x x x dx arctg x x , 4 1 4 2 x − x + =0 有根 :  2 − 3 = 0.517638 和  2 + 3 = 1.93185

5六章定积分 其中x=V2-√3=0.517638∈[0 即函数G(x)=n/=arcg 在[0,1内不连续, 有间断点x0=√2-3=0517638∈[0,1,因而发生了问题 例:计算f(x)=[1y-xtr 三种情形 2)x1,则f(x)=-「r(t-x)d 3)0≤x≤1,则 f(x)=|(t-x)-|1(t-x)d= 323 x<0 f(x)=「4-xdt= 23,0≤x≤1 <x 解2:这样做行吗?: (x)=[1-xd=(-)g-x知= 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 其中 2 3 0.517638 [0,1] x0 = − =  , 即函数 ( 4 1) 2 2 (1 ) 2 2 1 ( ) 4 2 − + − = x x x x G x arctg 在 [0,1] 内不连续， 有间断点 2 3 0.517638 [0,1] x0 = − =  , 因而发生了问题。 例 4: 计算  = − 1 0 f (x) t t x dt . 解 1：分三种情形： 1) x1, 则  = − − = − + 1 0 3 2 1 ( ) ( ) x f x t t x dt 3) 0 x  1, 则 3 1 3 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 0 = − − − = − +   x x f x t t x dt t t x dt x x          − +  − +   −  = − =  x x x x x x x f x t t x dt 1 3 2 1 , 0 1 3 1 3 2 , 0 3 2 1 ( ) 1 3 0 解 2：这样做行吗？：  = − 1 0 f (x) t t x dt = ( ) ( )  − − 1 0 t t x Sgn t x dt = = ( ) Sgn( x) x x Sgn t x t t t t  −      − = −         − = = 1 3 2 1 3 2 1 0 3 2